Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

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PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES
une courbe f(x) on considère un intervalle Δx=1 correspondant à une variation verticale Δf=1, alors
f est auto­affine si le changement λΔx transforme Δf en λ H Δf où H≠1, alors que pour une fractale
autosimilaire, il lui correspondrait une transformation de λΔf. Une dimension fractale D peut être
définie par la méthode des boîtes. on aboutit dans ce cas à la relation (12).
D = d T −H (12)
Si l'on considère une courbe du plan, la dimension topologique est dT=2 mais la propriété se
généralise à un espace de dimension quelconque (sous réserve qu'elle soit finie) avec dT la
dimension topologique de l'espace dans lequel est plongé l'objet fractal.
Malheureusement, la fractalité auto­affine n'est pas aussi triviale que la fractalité autosimilaire.
On peut lui attribuer une dimension fractale, mais par une procédure plus difficile que
celle que nous avons vu pour les fractales auto­similaires. En particulier, les différentes définitions
de dimension fractale (Bouligand­Minkowski, Hausdorff­Besicovitch...) conduisent à des résultats
différents. Il est aussi possible de définir une dimension dite globale ce qui rend l'interprétation de
la dimension fractale caduque. Le lecteur intéressé par de plus amples explications se référera aux
références citées en bibliographie, en particulier [7] où les différentes dimensions sont introduites
de façon rigoureuse.
Figure 10 : Exemple de fractale auto­affine déterministe. En partant d'un rectangle découpé en 2 verticalement
et en 4 horizontalement et en remplaçant chaque fois la diagonale par les diagonales des rectangles comme
indiqué, on fabrique une figure qui est invariante sous une dilatation horizontale d'un facteur 4 (affinité
horizontale) suivie d'une dilatation verticale de facteur 2 (affinité verticale). D=2−ln 2/ln 4
Pour conclure ce paragraphe, rappelons un théorème étonnant liant les deux types de
fractales : la coupe par un plan d'une surface fractale auto­affine est une courbe fractale autosimilaire
[7 ­ p54][8 ­ p213].
2.2.b.iii Autre exemple : la courbe de Takagi
La courbe de Takagi (1903) ­ également appelée courbe de van Der Waerden (1930) ­ est la
représentation de la fonction (13) où d(x) désigne la distance de x à l'entier le plus proche.
y x = ∑ k=0
∞ d 2 k ⋅x
2 k
(13)