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26 PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES Les fractales sont utilisées ici comme outils pour générer la rugosité. Cependant, les fractales ne se réduisent pas à une vue de l'esprit des mathématiciens. Richarson a constaté en 1961 que de nombreuses côtes peuvent se décrire par des fractales. Lovejoy a déterminé que les nuages présentent une dimension voisine de 1,33 pour des échelles allant de 10 à 10 4 km (en considérant le périmètre du projeté d'un nuage). Les travaux de Skjeltorp en Norvège (1988) ont montré que la dimension fractale de la structure fracturée d'une monocouche de microsphères (en polystyrène sulfoné) est de l'ordre de 1,68. Le réseau de fractures de Yucca Mountain dans le Nevada à une dimension fractale de 1,7. Karcz et Schoz ont publié en 2003 [9] une étude sur les stylolites 1 : ils ont mesurés des dimensions fractales allant de 1,12 à 1,25 suivant leur provenance. Des poumons pouvant contenir un volume de 5 litres d'air possèdent une surface d'échange de 140m 2 : cette surface possède une dimension fractale proche de 3 afin de remplir au mieux le volume et d'optimiser les échanges gazeux. Des modèles fractals sont désormais fréquemment utilisés pour décrire la percolation, les milieux poreux, les polymères, les aérogels, la diffusion des particules dans un matériau, ou encore la croissance des arbres, fougères et autres mycéliums... Tous ces exemples ont été discutés par Mandelbrot [5][6], Gouyet [7], Sapoval [8] et bien d'autres. L'application la plus directe et la plus simple de la géométrie fractale est la caractérisation et la mesure de l'irrégularité. La dimension fractale ne permet pas à elle seule de définir une géométrie mais la détermination de la dimension fractale et de ses coupures inférieure et supérieure, c'estàdire de la plus petite taille non fractale et de la taille jusqu'à laquelle la géométrie est fractale peut constituer une caractérisation utile. 2.2.b Fractales déterministes 2.2.b.i fractale autosimilaire La propriété que possède une partie d'un objet d'être exactement semblable à l'objet luimême à une dilatation près, s'appelle la similitude interne ou l'autosimilarité. C'est le type de fractale qui vient en premier à l'esprit, elles s'obtiennent généralement par un processus itératif. Les représentants les plus connus de cette classe de fractales sont les courbes de PeanoHilbert et de Von Koch, le tapis de Sierpinski sans oublier les poussières de Cantor, les éponges de Menger... Leur dimension fractale se détermine simplement à partir de la dimension de Mandelbrot (11) ; en outre, il a été montré qu'en présence d'autosimilarité, cette définition est compatible avec les autres méthodes de détermination de la dimension. 1 Les stylolites ou stylolithes du grec stulos : colonne et lithos : pierre sont des structures en forme de colonnettes s'interpénétrant au sein des roches calcaires ou marnocalcaires en dessinant des joints irréguliers, généralement soulignés par une surface noirâtre ou brunâtre (produits charbonneux ou argileux). Ce terme provient de l'aspect des sections à travers ces roches, qui fait ressembler les surfaces stylolitiques aux oscillations d'un stylet sur l'oscillogramme.
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 27 ln 2 un ensemble de Cantor DS = ln 3 ≈0.63 flocon de Von Koch D ln 4 S = ln 3 ≈1.26 ln 8 exemple de tapis de Sierpinski DS = ln 3 ≈1.9 tétraèdre de Sierpinski D ln 4 S = ln 2 =2 Figure 9 : exemples de fractales autosimilaires et dimension fractale de HausdorffBesicovitch associée 2.2.b.ii fractale autoaffine Les fractales autoaffines ont des propriétés de similarité particulières : au lieu d'être invariantes par transformation homothétique comme les fractales autosimilaires, les fractales autoaffines restent identiques pour des dilations différentes selon les axes. En d'autres termes, si pour
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