Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

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PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES
Les fractales sont utilisées ici comme outils pour générer la rugosité. Cependant, les fractales
ne se réduisent pas à une vue de l'esprit des mathématiciens. Richarson a constaté en 1961 que de
nombreuses côtes peuvent se décrire par des fractales. Lovejoy a déterminé que les nuages
présentent une dimension voisine de 1,33 pour des échelles allant de 10 à 10 4 km (en considérant le
périmètre du projeté d'un nuage). Les travaux de Skjeltorp en Norvège (1988) ont montré que la
dimension fractale de la structure fracturée d'une monocouche de microsphères (en polystyrène
sulfoné) est de l'ordre de 1,68. Le réseau de fractures de Yucca Mountain dans le Nevada à une
dimension fractale de 1,7. Karcz et Schoz ont publié en 2003 [9] une étude sur les stylolites 1 : ils ont
mesurés des dimensions fractales allant de 1,12 à 1,25 suivant leur provenance. Des poumons
pouvant contenir un volume de 5 litres d'air possèdent une surface d'échange de 140m 2 : cette
surface possède une dimension fractale proche de 3 afin de remplir au mieux le volume et
d'optimiser les échanges gazeux. Des modèles fractals sont désormais fréquemment utilisés pour
décrire la percolation, les milieux poreux, les polymères, les aérogels, la diffusion des particules
dans un matériau, ou encore la croissance des arbres, fougères et autres mycéliums... Tous ces
exemples ont été discutés par Mandelbrot [5][6], Gouyet [7], Sapoval [8] et bien d'autres.
L'application la plus directe et la plus simple de la géométrie fractale est la caractérisation et
la mesure de l'irrégularité. La dimension fractale ne permet pas à elle seule de définir une géométrie
mais la détermination de la dimension fractale et de ses coupures inférieure et supérieure, c'est­àdire
de la plus petite taille non fractale et de la taille jusqu'à laquelle la géométrie est fractale peut
constituer une caractérisation utile.
2.2.b Fractales déterministes
2.2.b.i fractale autosimilaire
La propriété que possède une partie d'un objet d'être exactement semblable à l'objet luimême
à une dilatation près, s'appelle la similitude interne ou l'autosimilarité. C'est le type de
fractale qui vient en premier à l'esprit, elles s'obtiennent généralement par un processus itératif. Les
représentants les plus connus de cette classe de fractales sont les courbes de Peano­Hilbert et de
Von Koch, le tapis de Sierpinski sans oublier les poussières de Cantor, les éponges de Menger...
Leur dimension fractale se détermine simplement à partir de la dimension de Mandelbrot (11) ; en
outre, il a été montré qu'en présence d'autosimilarité, cette définition est compatible avec les autres
méthodes de détermination de la dimension.
1 Les stylolites ou stylolithes ­ du grec stulos : colonne et lithos : pierre ­ sont des structures en forme de
colonnettes s'interpénétrant au sein des roches calcaires ou marno­calcaires en dessinant des joints irréguliers,
généralement soulignés par une surface noirâtre ou brunâtre (produits charbonneux ou argileux). Ce terme
provient de l'aspect des sections à travers ces roches, qui fait ressembler les surfaces stylolitiques aux
oscillations d'un stylet sur l'oscillogramme.