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Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 25
d'une courbe est la méthode des boîtes avec N(l) le nombre de pavés de côté l recouvrant la courbe.
Les méthodes du compas et des boîtes figure 8 sont compatibles entre elles (elles aboutissent à la
même limite) et permettent de déterminer une dimension fractale parfois désignée sous le nom de
dimension de Bouligand­Minkowski (10). La dimension de Bouligand­Minkowski est en réalité
définie de manière bien plus générale dans un espace de dimension quelconque où des boules de
diamètre l remplacent les règles ou les pavés cités ci­dessus.
ln N l
D=lim
l 0 ln l
Figure 8 : Mesure de la dimension fractale d'une courbe par la méthode du compas avec deux règles de
longueurs différentes (à gauche) et par la méthode des boîtes (à droite)
Une autre définition possible de la dimension fractale souvent retenue est celle de Hausdorff­
Besicovitch. Dans le cas simple d'une structure fractale auto­similaire (cf. exemples figure 9), la
dimension de Hausdorff­Besicovitch égale la dimension de Mandelbrot (encore appelée dimension
de similarité) notée DS. Par exemple, quand la fractale est construite à partir d'un procédé
géométrique itératif elle se détermine avec la formule (11). À l'étape de croissance i, la structure est
constituée de répliques de celle obtenue à l'étape (i­1), chaque réplique étant réduite d'un
rapport d'homothétie k. Ce type de fractale a la propriété d'être exactement semblable à elle­même à
une dilatation près : on parle alors de similitude interne ou de fractale auto­similaire.
ln
DS =
ln 1 /k
l1 l2 Pour Mandelbrot, une structure est fractale si elle possède une dimension métrique
strictement supérieure à la dimension topologique. Rappelons ici que si les objets géométriques sont
constitués d'un ensemble de points, la dimension topologique est dT=0 ; si ils sont constitués
d'éléments de courbe, dT=1, d'éléments de surfaces, dT=2, d'éléments de volumes, dT=3. Or d'après
l'expression (11) et contrairement aux objets usuels euclidiens, la dimension d'un objet fractal est
généralement non entière.
Remarque : Dans la pratique, la dimension fractale est en générale comprise entre la dimension
topologique et la dimension euclidienne c'est­à­dire entre dT et dT+1. En effet, si la dimension
fractale d'une courbe (dT=1) est supérieure à 2 cela veut dire qu'elle contient une infinité de
points doubles.
(10)
(11)