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24 PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES Plusieurs définitions possibles de la dimension métrique ont été ainsi proposées, plus ou moins aisées à obtenir en pratique et ne donnant pas toutes le même résultat. Ces dimensions métriques (à priori différentes des dimensions topologiques pour les objets fractals) peuvent être chacune prise comme définition de la dimension fractale de l'objet en question. Ainsi, les dimensions de BouligandMinkowski, de Tricot (aussi appelée d'entassement), de Hausdorff Besicovitch, ne conduisent pas toujours à une même valeur ce qui rend problématique la définition et l'interprétation de la dimension fractale D. motif de base 1 ère itération 2 ème itération
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 25 d'une courbe est la méthode des boîtes avec N(l) le nombre de pavés de côté l recouvrant la courbe. Les méthodes du compas et des boîtes figure 8 sont compatibles entre elles (elles aboutissent à la même limite) et permettent de déterminer une dimension fractale parfois désignée sous le nom de dimension de BouligandMinkowski (10). La dimension de BouligandMinkowski est en réalité définie de manière bien plus générale dans un espace de dimension quelconque où des boules de diamètre l remplacent les règles ou les pavés cités cidessus. ln N l D=lim l 0 ln l Figure 8 : Mesure de la dimension fractale d'une courbe par la méthode du compas avec deux règles de longueurs différentes (à gauche) et par la méthode des boîtes (à droite) Une autre définition possible de la dimension fractale souvent retenue est celle de Hausdorff Besicovitch. Dans le cas simple d'une structure fractale autosimilaire (cf. exemples figure 9), la dimension de HausdorffBesicovitch égale la dimension de Mandelbrot (encore appelée dimension de similarité) notée DS. Par exemple, quand la fractale est construite à partir d'un procédé géométrique itératif elle se détermine avec la formule (11). À l'étape de croissance i, la structure est constituée de répliques de celle obtenue à l'étape (i1), chaque réplique étant réduite d'un rapport d'homothétie k. Ce type de fractale a la propriété d'être exactement semblable à ellemême à une dilatation près : on parle alors de similitude interne ou de fractale autosimilaire. ln DS = ln 1 /k l1 l2 Pour Mandelbrot, une structure est fractale si elle possède une dimension métrique strictement supérieure à la dimension topologique. Rappelons ici que si les objets géométriques sont constitués d'un ensemble de points, la dimension topologique est dT=0 ; si ils sont constitués d'éléments de courbe, dT=1, d'éléments de surfaces, dT=2, d'éléments de volumes, dT=3. Or d'après l'expression (11) et contrairement aux objets usuels euclidiens, la dimension d'un objet fractal est généralement non entière. Remarque : Dans la pratique, la dimension fractale est en générale comprise entre la dimension topologique et la dimension euclidienne c'estàdire entre dT et dT+1. En effet, si la dimension fractale d'une courbe (dT=1) est supérieure à 2 cela veut dire qu'elle contient une infinité de points doubles. (10) (11)
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