Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 23
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Figure 6 : Dans le cas d'un champ nous avons affaire à deux types de rugosité : la rugosité des mottes de terre
se superpose aux sillons parfaitement réguliers creusés par la charrue. On pourrait aussi imaginer l'action de
l'érosion qui a pour effet de lisser les reliefs et de creuser des ravines.
2.2­ Introduction aux fractales
Le terme "fractal" n'a été introduit qu'en 1975 par B.B. Mandelbrot et signifie : qui a été
fractionné à l'infini, du latin "fractus" dérivé du verbe "frangere", briser. Il s'agit là d'une définition
très générale qui offre de nombreuses libertés.
Un objet fractal présente des détails quel que soit le facteur d'échelle considéré. Et c'est bien
là l'intérêt des modèles fractals par rapport aux méthodes stochastiques. Leur intérêt est encore
accru pour l'étude de la diffraction d'une impulsion électromagnétique large bande puisque par
définition, cette dernière contient une grande variété de longueurs d'ondes. De plus, les études
initiées par Benoît B. Mandelbrot [5][6] puis J.F. Gouyet [7] ou B. Sapoval [8] ont montré que de
nombreux objets naturels peuvent se décrire par des modèles fractals.
2.2.a Dimension fractale
La courbe de Peano­Hilbert résultant d'un processus itératif se confond à l'infini avec une
surface (cf. figure 7). Or, partant du principe qu'une ligne est de dimension 1 et qu'une surface est
de dimension 2, il y a là un sérieux problème nécessitant la remise en question du concept de
dimension. Les plus grands mathématiciens de l'époque comme Lebesgue, Brouwer, Hausdorff,
Poincaré, ... se penchèrent sur le problème dans les années 1910­1920 en cherchant à définir une
dimension pour des espaces topologiques et métriques abstraits qui généraliserait la dimension
euclidienne. La difficulté réside dans la nécessaire coïncidence, non seulement avec cette dernière,
mais aussi avec la dimension que l'on rencontre dans les espaces vectoriels "usuels".