Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 21
Figure 4 : fonction d'autocorrélation gaussienne (à gauche) et exponentielle (à droite) théorique et calulée à
partir des profils figure 2
Par ailleurs, les méthodes stochastiques permettent de connaître la loi de répartition des
hauteurs (ou de la pondération en permittivité...). La densité de probabilité de cette répartition est
une fonction gaussienne.
p h=
1
hrms 2 ⋅e
− h2
2
2 hrms L'expression du spectre des surfaces stochastiques est déduite simplement puisque ces
surfaces s'obtiennent à partir de la convolution entre un bruit blanc Gaussien et une fonction W. Le
spectre est alors égal à la transformée de Fourier de la fonction W.
La richesse du spectre traduit le caractère multi­échelle de la surface. D'après la figure 5, les
surfaces à fonction d'autocorrélation exponentielle ont un spectre plus varié que celles à fonction
d'autocorrélation gaussienne. La fonction de Karmann permet quant à elle d'obtenir toute les
nuances entre ces deux résultats et même au delà. Nous verrons plus loin que la pente de
l'asymptote à la courbe pour des fréquences tendant vers l'infini est liée à une dimension fractale
(équation 25 page 47).
(9)