Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

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2 2−D
r
C Dr =exp−∣L C∣
PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES
Par exemple, pour les fonctions d'autocorrélation les plus utilisées, on montre que :
−2 r2
2
Lc W er =TF −1
[ TF C e]∝K 0 r
L c
W gr =TF −1
[ TF C g]∝e ... avec K0 la fonction de Bessel de seconde espèce à l'ordre 0.
Remarque : Pour accélérer le calcul numérique, la convolution est déterminée en calculant la FFT inverse
du produit des FFT correspondant aux deux séries. Ceci est d'autant plus important pour la
convolution des surfaces ou des volumes.
La figure 2 montre deux profils engendrés par une la fonction d'autocorrélation
respectivement gaussienne et exponentielle. Nous constatons lors de ce type d'essai qu'avec la
même série de nombres aléatoires, la fonction d'autocorrélation exponentielle engendre un profil
plus chaotique que la fonction d'autocorrélation gaussienne. Cela s'explique par la dérivée de Ce en
zéro qui est discontinue alors que Cg présente une tangente horizontale.
La figure 4 montre que les fonctions d'autocorrélations souhaitées et calculées coïncident
parfaitement pour |x|LC les fonctions calculées présentent un certain nombre
d'oscillations. Ceci est dû à la longueur finie des profils calculés. Plus le support du profil est grand
et plus les oscillations s'estompent. Il est communément admis que LC est correctement définie pour
un profil supérieur à 10LC [4].
Figure 2 : exemple de réalisation de profils
stochastiques
Figure 3 : densité de probabilité théorique et
calculée à partir des profils figure 2
(7)
(8)