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Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 19
2­ Génération de surfaces rugueuses et de milieux hétérogènes
Nous présenterons dans cette section diverses techniques permettant d'introduire de la
rugosité au niveau d'une interface et comment générer des milieux hétérogènes. Dans un premier
temps, nous rappellerons les méthodes stochastiques. Ensuite, une introduction sur les fractales
nous conduira à la description de quelques algorithmes itératifs.
2.1­ Les méthodes stochastiques
2.1.a Génération d'une échelle de rugosité
Les méthodes stochastiques sont historiquement les plus anciennes pour générer des surfaces
rugueuses. Elles sont simples à mettre en oeuvre et font directement intervenir les paramètres de la
rugosité ce qui permet de les caractériser facilement.
Cette méthode consiste à convoluer une suite de nombres aléatoires i ,i∈I à répartition
gaussienne avec une autre suite i ,n∈I calculée à partir de la fonction W telle que i =W i.r
. Cette fonction W a sa densité spectrale de puissance égale à la racine carrée de la densité spectrale
de puissance d'une fonction d'autocorrélation choisie. Cette méthode permet d'obtenir une suite de
hauteur hn qui peut être considérée comme l'échantillonnage du profil et dont la fonction
d'autocorrélation sera celle choisie par avance.
h n =∑ i∈I
i n−i (5)
Principalement deux fonctions d'autocorrélation sont rencontrées : la gaussienne Cg et
l'exponentielle Ce.
r
C gr =exp− 2
L c
r
C er=exp−∣ L c∣
Cependant, pour mieux approcher les mesures expérimentales, on introduit parfois la
fonction de Karmann CD (7). Cette forme plus générale fait intervenir le paramètre D correspondant
à une dimension fractale pour les hautes fréquences spatiales [20] (le terme de "dimension fractale"
sera défini ultérieurement page 23). On peut remarquer que les fonctions d'autocorrélations
gaussienne et exponentielle correspondent à des cas particuliers de fonction de Karmann avec
respectivement D=1 et D=1,5.
(6.a)
(6.b)