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18 PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES Un autre paramètre beaucoup moins utilisé est la moyenne quadratique de la dérivée du profil mrms (3). Ce paramètre est peu commode puisque la valeur de mrms peut dépendre de la définition de la dérivée spatiale h et la mesure montre que le résultat dépend du pas d'échantillonnage [2]. Notons ici que si la valeur de la dérivée change selon la finesse de la mesure, alors cela traduit le caractère fractal des objets réels (contour continu mais pas dérivable). = mrms 1 i=n [h' i −〈h' i 〉] 2 (3) n ∑ i=1 Le paramètre mrms donne une relation entre la dimension verticale et la dimension horizontale mais nous venons de dire que la dérivée est parfois difficile à déterminer. Il est souvent plus commode d'utiliser le rapport hrms/LC dont le calcul ne pose aucun problème [30]. Enfin, le spectre spatial (4) permet également d'obtenir des indications intéressantes sur les propriétés de la surface. En particulier, la représentation du spectre spatial en coordonnées loglog intervient fréquemment pour rendre compte de mesures effectuées sur le terrain car elle permet de visualiser rapidement l'ordre de grandeur des "défauts" de la surface. H dB f s=20 log∣TF h r ∣ (4)
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 19 2 Génération de surfaces rugueuses et de milieux hétérogènes Nous présenterons dans cette section diverses techniques permettant d'introduire de la rugosité au niveau d'une interface et comment générer des milieux hétérogènes. Dans un premier temps, nous rappellerons les méthodes stochastiques. Ensuite, une introduction sur les fractales nous conduira à la description de quelques algorithmes itératifs. 2.1 Les méthodes stochastiques 2.1.a Génération d'une échelle de rugosité Les méthodes stochastiques sont historiquement les plus anciennes pour générer des surfaces rugueuses. Elles sont simples à mettre en oeuvre et font directement intervenir les paramètres de la rugosité ce qui permet de les caractériser facilement. Cette méthode consiste à convoluer une suite de nombres aléatoires i ,i∈I à répartition gaussienne avec une autre suite i ,n∈I calculée à partir de la fonction W telle que i =W i.r . Cette fonction W a sa densité spectrale de puissance égale à la racine carrée de la densité spectrale de puissance d'une fonction d'autocorrélation choisie. Cette méthode permet d'obtenir une suite de hauteur hn qui peut être considérée comme l'échantillonnage du profil et dont la fonction d'autocorrélation sera celle choisie par avance. h n =∑ i∈I i n−i (5) Principalement deux fonctions d'autocorrélation sont rencontrées : la gaussienne Cg et l'exponentielle Ce. r C gr =exp− 2 L c r C er=exp−∣ L c∣ Cependant, pour mieux approcher les mesures expérimentales, on introduit parfois la fonction de Karmann CD (7). Cette forme plus générale fait intervenir le paramètre D correspondant à une dimension fractale pour les hautes fréquences spatiales [20] (le terme de "dimension fractale" sera défini ultérieurement page 23). On peut remarquer que les fonctions d'autocorrélations gaussienne et exponentielle correspondent à des cas particuliers de fonction de Karmann avec respectivement D=1 et D=1,5. (6.a) (6.b)
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