Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...
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174 PARTIE III : INTERPRETATION DES ECHOS RADAR PROBLEME INVERSE Les figures 159, 160 et 161 montrent les performances intéressantes de l'algorithme. Il est difficile d'imaginer que le signal figure 159 résulte en réalité de la combinaison de quatre signaux élémentaires et pourtant la méthode permet de retrouver précisément les différentes amplitudes et les différents retards. Notons que dans cet exemple, le signal de référence est un sinus de fréquence fondamentale 2MHz modulé par une gaussienne d'une microseconde de large. D'autres exemples où s(t) est composé de deux impulsions de plus en plus proches permettent de dire que cette méthode a une résolution temporelle liée à la fréquence maximale du signal. Ici, la résolution de 0.1µs correspond à une demi période de la fréquence la plus haute (5MHz) : cette propriété est une conséquence du théorème de Shannon. ➢ Conclusion ● Cette méthode est stable et offre une bonne résolution. La principale contrainte concerne ses conditions d'applications. Tout phénomène entraînant une dispersion du signal rend caduque son utilisation : conductivité, rugosité, hétérogénéité... Par ailleurs, il faut connaître le signal de référence sref(t) mais cela ne constitue en rien une contrainte supplémentaire par rapport à la méthode d'inversion vue précédemment. En effet, connaître sref revient à connaître le plus précisément possible l'impédance et le gain de l'antenne au moins dans la direction du nadir. ● En l'absence de dispersion fréquentielle, cette méthode pourrait être utilisée en préambule à l'algorithme génétique pour définir ou initialiser les épaisseurs électriques des couches géologiques. Pour inverser le problème avec un modèle stratifié, il est inconcevable d'interpréter les amplitudes Ai comme des coefficients de réflexion ou des contrastes entre couches. En effet, d'après les hypothèses, les conductivités correspondent à l'approximation des milieux à faibles pertes donc il est impossible de faire la différence entre l'atténuation dûe aux pertes lors de la propagation et l'effet de la réflexion entre deux strates. 4.2 Méthode de Prony La méthode de Prony consiste à développer un signal réel sous la forme d'une somme de sinusoïdes amorties. Cette technique est couramment utilisée pour retrouver les modes de résonance propre d'une antenne avec leur coefficient de qualité respectif. Pour notre problème, la méthode de Prony doit être appliquée à la partie réelle ou à la partie imaginaire de G(f) de l'équation (80). La méthode de Prony est non linéaire. Elle fournit dans certains cas de meilleurs résultats que la méthode précédente ; en revanche elle est beaucoup moins stable notamment lorsque le signal contient deux signaux très proches l'un de l'autre. Ceci est lié au côté mal posé du problème.
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 175 Si deux signaux sont très proches, cela va se traduire dans le domaine fréquentiel par un battement de la partie réelle (ou imaginaire) de G(f). La méthode de Prony, et c'est normal, ne permet pas de faire la différence entre deux cosinus aux fréquences très proches qui forment un battement ou un seul cosinus atténué (enveloppe exponentielle). Pour pallier à ce problème, il existe des méthodes qui forcent les racines du polynôme caractéristique à être sur le cercle trigonométrique [93] et donc à approcher la courbe uniquement avec des cosinus sans enveloppe... De plus, le système matriciel peut être résolu via la méthode des moindres carrés ou une variante plus performante dite LTS (Least Trimmed Square) qui élimine les points les plus défavorables du calcul [94][95]. Tout comme la méthode précédente, son utilisation est limitée à la validité de l'équation (79). Pour finir, notons que les algorithmes habituellement employés pour augmenter la résolution des radars GPR sont : MUSIC (Multiple Signal Classification), MEM (Minimum Entropy Method), MLM (Maximum Likelihood Method)... [97]
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Samuel BESSE : Étu<strong>de</strong> Théorique <strong>de</strong> Radars Géologiques Analyses <strong>de</strong> sols, d'antennes et interprétation <strong>de</strong>s signaux 175<br />
Si <strong>de</strong>ux signaux sont très proches, cela va se traduire dans le domaine fréquentiel par un battement<br />
<strong>de</strong> la partie réelle (ou imaginaire) <strong>de</strong> G(f). La métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> Prony, et c'est normal, ne permet pas <strong>de</strong><br />
faire la différence entre <strong>de</strong>ux cosinus aux fréquences très proches qui forment un battement ou un<br />
seul cosinus atténué (enveloppe exponentielle). Pour pallier à ce problème, il existe <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s<br />
qui forcent les racines du polynôme caractéristique à être sur le cercle trigonométrique [93] et donc<br />
à approcher la courbe uniquement avec <strong>de</strong>s cosinus sans enveloppe... De plus, le système matriciel<br />
peut être résolu via la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s moindres carrés ou une variante plus performante dite LTS<br />
(Least Trimmed Square) qui élimine les points les plus défavorables du calcul [94][95].<br />
Tout comme la métho<strong>de</strong> précé<strong>de</strong>nte, son utilisation est limitée à la validité <strong>de</strong> l'équation (79).<br />
Pour finir, notons que les algorithmes habituellement employés pour augmenter la résolution<br />
<strong>de</strong>s <strong>radars</strong> GPR sont : MUSIC (Multiple Signal Classification), MEM (Minimum Entropy Method),<br />
MLM (Maximum Likelihood Method)... [97]
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