Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

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PARTIE III : INTERPRETATION DES ECHOS RADAR ­ PROBLEME INVERSE
4­ Décomposition d'un signal en signaux élémentaires
Lorsque les conductivités des différentes couches géologiques sont très faibles, le signal ne
subit aucune déformation durant la propagation. Dans ce cas particulier, le signal reçu peut s'écrire
comme une somme de diracs convoluée par un signal de référence :
N
s t = s ref t ∗∑ i=1
A i t−t i
Une partie du processus d'inversion consiste à déterminer des amplitudes Ai et des retards ti.
Dans le cas d'un sol stratifié, τi est directement lié à l'épaisseur électrique des couches
géologiques alors que le lien entre les amplitudes et les valeurs (εi, σi) est plus subtil. La
décomposition du signal en signaux élémentaires réduit le nombre de variables de la fonction
d'erreur utilisée par l'algorithme génétique et accélère la minimisation par gradient conjugué.
Les paragraphes suivants explorent différentes approches pour identifier les inconnues (Ai,
τi). La première méthode utilise les transformées de Fourier tandis que la seconde s'appuie sur une
résolution par la méthode de Prony.
4.1­ Méthode par TF et TF ­1
Dans le domaine fréquentiel, l'équation (79) devient :
G f =
S f
N
S ref f = ∑ i=1
A i e − j2 f t i
En raison de la limitation en bande passante, la relation précédente ne se vérifie que sur un
certain intervalle de fréquence. Il faut donc faire intervenir une fonction porte W(f) qui limite la
relation à la bande utile du radar. La fonction porte peut être une simple fenêtre rectangulaire, une
fenêtre de Hanning ou autre ...
G bande f = W bande f ⋅∑ i=1
N
(79)
(80)
A i e − j2 f t i (81)
Si le spectre du signal s'étendait à l'infini alors g(t), la transformée de Fourier inverse de G
(f), serait une simple somme de diracs. Malheureusement, la transformée inverse de la fenêtre étale
et mélange les signaux. L'importance du choix de la fenêtre est ici clairement mis en évidence et les
contraintes sont analogues à celles des appareils du type analyseur de spectre (en remplaçant retard
ti par fréquence fi). La fenêtre rectangulaire offre la meilleure résolution en temps mais a une
moindre sensibilité sur l'amplitude.