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Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 17
notre application orientée rugosité naturelle dans le cadre du radar géologique, nous nous
intéresserons uniquement au second type de rugosité. Afin de caractériser ces surfaces rugueuses
aléatoires, il convient de définir un ensemble de paramètres et de fonctions permettant de donner
des indications sur leurs propriétés spatiales.
Pour ne pas alourdir le texte, les différents concepts seront définis dans le cadre d'un profil
rugueux sachant qu'ils sont généralisables aux surfaces rugueuses et aux volumes hétérogènes.
Suivant le cas, le paramètre r désignera l'une des entités suivantes :
● si l'on désire obtenir un profil rugueux dans un espace à deux dimensions, alors r
représente l'abscisse de la courbe ;
● si l'on désire construire une surface définie par l'ensemble des points M(x,y) alors :
r= x 2 y 2 ;
● dans le cas d'un milieu hétérogène défini par l'ensemble des valeurs de permittivité et de
conductivité en chaque point M(x,y,z) de l'espace : r= x 2 y 2 z 2 .
Un profil rugueux est donc défini par une fonction h(r) ou par un échantillonnage h(i.dr)=hi.
Le paramètre le plus connu et très influent sur le rayonnement rétrodiffusé est la hauteur
moyenne quadratique hrms (1). Ce paramètre renseigne sur la verticalité du profil. Si deux surfaces
ne se différencient que par hrms, alors celle dont hrms est la plus grande est probablement la plus
rugueuse. En désignant la hauteur moyenne du profil par , alors hrms est calculable à l'aide de :
hrms = lim
1
L ∞ L ∫
L
h r −〈h〉
r=0
2
dx ou hrms = 1
n ∑ i=n
[h i.dr −〈h〉 ]
i=1
2
avec L la longueur du profil ou n le nombre de points.
L'autre paramètre largement répandu dans la littérature est la longueur de corrélation LC
(2) : elle renseigne sur l'horizontalité du profil en désignant la longueur caractéristique d'un défaut.
Elle est définie par le décalage pour lequel la fonction d'autocorrélation normalisée du profil vaut
1/e. Rappelons que la fonction d'autocorrélation normalisée d'une surface rugueuse est décroissante.
Elle vaut 1 en r=0 (maximum de corrélation) et tend vers 0 lorsque r tend vers l'infini. Si deux
surfaces ne se différencient que par LC, alors elle est d'autant plus rugueuse que LC est petite.
Corr r = 1
2
hrms Corr L C = 1
e
1
lim
L∞ L ∫ L
h x−〈h〉⋅h rx−〈h〉 dx (2.a)
0
Remarque : Pour les surfaces on devrait plutôt parler de contour de corrélation CC. Mais si la rugosité est
isotrope alors CC est un cercle et son rayon correspond à LC. Si le contour est une ellipse alors
on donnera le demi­grand axe et le demi­petit axe.
(1)
(2.b)