Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...
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158 ➢ Inversion PARTIE III : INTERPRETATION DES ECHOS RADAR PROBLEME INVERSE Ce paragraphe reprend les paramètres de l'exemple traité page 144 (tableau 8). Rappelons que quatre couches géologiques composent le sol. La permittivité et la conductivité de la première sont connues alors que la quatrième strate est supposée infinie. L'algorithme est paramétré pour déterminer les caractéristiques des trois couches inconnues, c'estàdire autant de couches qu'il en existe réellement. Cela fait donc au total 9 variables. Dans un deuxième temps, nous chercherons plus de strates qu'il y en a dans le modèle direct. Le programme a été lancé 20 fois avec une population de 100 individus sans l'option gérant les souspopulations. Après avoir obtenu les 20 meilleurs individus correspondant aux 20 simulations, un algorithme de minimisation par gradient conjugué permet de converger vers le minimum local environnant. Rappelons que l'algorithme génétique donne toujours des individus compris dans un domaine choisi par l'utilisateur. Ainsi, les produits hini sont recherchés dans l'intervalle [10 ; 400] alors que les ni et les logarithmes de σi sont respectivement recherchés dans [1 ; 9] et [6 ; 1]. En revanche, la minimisation par gradient conjugué utilisée ici n'impose aucune restriction sur le domaine d'appartenance des différentes variables. De sorte que la minimisation par gradient conjugué risque conduire à des matériaux improbables aux conductivités nulles ou aux indices négatifs... Remarque : Il aurait été tout à fait possible de réaliser un programme mettant en oeuvre la méthode du gradient conjugué tout en imposant des domaines de restriction ou de validité (information à priori) aux différentes variables. Le tableau suivant et la figure 150 montrent quelques configurations de sols qui permettent de coller presque parfaitement au signal recherché. L'algorithme a permis de déterminer 12 minima locaux et le minimum global n'a été trouvé qu'une seule fois. Dans un cas, cette méthode a abouti à une divergence dans l'espace des solutions, entendons par là l'obtention de paramètres induisant des coefficients de réflexions supérieurs à 1 en valeur absolue ! h 1n 1 h 2n 2 h 3n 3 n 2 n 3 n 4 log(σ 2) log(σ 3) log(σ 4) 1000.ε Solution réelle (1) 360 112 73.5 2.24 2.45 2.00 5.00 3.30 4.52 0 Proposition 1 (2) 360 112 62.8 2.24 2.45 2.83 4.99 3.30 4.47 0.014 Proposition 2 (1) 360 108 62 2.24 2.16 2.87 5.07 3.34 5.76 0.122 Proposition 3 (1) 360 111 37 2.24 2.30 2.06 4.89 3.26 3.00 2.79 Proposition 4 (3) 361 111 112 2.24 2.50 3.05 13.6 3.37 2.86 6.24 Proposition 5 (2) 361 104 120 2.24 2.00 4.75 17.1 3.45 2.29 6.37 Tableau 10 : Position des principaux minima locaux (n1=2, σ1=0 S.m 1 ). Le chiffre entre parenthèse après le numéro de la solution indique le nombre de fois que l'algorithme a convergé vers cette solution (sur 20 tests). La dernière colonne représente la valeur de la fonction d'erreur multipliée par 1000.
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 159 Figure 150 : Signal transitoire correspondant au sol recherché et aux 5 propositions (voir tableau 10). ➢ Conclusions : ● L'algorithme génétique offre des performances intéressantes dans la mesure où il permet de sélectionner relativement rapidement des solutions potentielles proches d'un minimum local. ● Si il n'a pas été fait mention plus haut des différents paramètres de l'algorithme génétique (paramètres de la reproduction, mutation...), c'est qu'apparemment le résultat final ne semble pas en dépendre. Les valeurs par défaut ou issues du tutorial fonctionnent correctement. Il faut toutefois veiller à utiliser une population importante, 100 individus constituant une valeur raisonnable, et effectuer au moins une quarantaine de générations. En fait, il s'agit surtout d'un compromis entre la qualité des solutions que l'on souhaite obtenir et le temps de calcul que l'on est prêt à dépenser. Plus il y a d'individus et plus l'algorithme a de chances de converger vers le minimum global mais plus le calcul est lent. ● Loin d'être une configuration favorable (4 milieux), cet exemple montre la délicatesse du problème inverse. Dans le cas où aucun bruit ne vient perturber le signal, c'est le cas ici, il semblerait que la fonction d'erreur n'admette qu'une solution X telle que ε(X)=0. En revanche, cette solution est extrêmement difficile à trouver en raison de la multitude de minima locaux. Pour corser la difficulté, certains de ces minima aboutissent à des erreurs presque nulles. Par ailleurs, Il a été montré par LazaroMancilla [90] que la solution à ce problème n'était pas unique : la réponse d'un contraste de permittivité peut être approchée
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Figure 150 : Signal transitoire correspondant au sol recherché et aux 5 propositions (voir tableau 10).<br />
➢ Conclusions :<br />
● L'algorithme génétique offre <strong>de</strong>s performances intéressantes dans la mesure où il permet<br />
<strong>de</strong> sélectionner relativement rapi<strong>de</strong>ment <strong>de</strong>s solutions potentielles proches d'un minimum<br />
local.<br />
● Si il n'a pas été fait mention plus haut <strong>de</strong>s différents paramètres <strong>de</strong> l'algorithme génétique<br />
(paramètres <strong>de</strong> la reproduction, mutation...), c'est qu'apparemment le résultat final ne<br />
semble pas en dépendre. Les valeurs par défaut ou issues du tutorial fonctionnent<br />
correctement. Il faut toutefois veiller à utiliser une population importante, 100 individus<br />
constituant une valeur raisonnable, et effectuer au moins une quarantaine <strong>de</strong> générations.<br />
En fait, il s'agit surtout d'un compromis entre la qualité <strong>de</strong>s solutions que l'on souhaite<br />
obtenir et le temps <strong>de</strong> calcul que l'on est prêt à dépenser. Plus il y a d'individus et plus<br />
l'algorithme a <strong>de</strong> chances <strong>de</strong> converger vers le minimum global mais plus le calcul est lent.<br />
● Loin d'être une configuration favorable (4 milieux), cet exemple montre la délicatesse du<br />
problème inverse. Dans le cas où aucun bruit ne vient perturber le signal, c'est le cas ici, il<br />
semblerait que la fonction d'erreur n'admette qu'une solution X telle que ε(X)=0. En<br />
revanche, cette solution est extrêmement difficile à trouver en raison <strong>de</strong> la multitu<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
minima locaux. Pour corser la difficulté, certains <strong>de</strong> ces minima aboutissent à <strong>de</strong>s erreurs<br />
presque nulles. Par ailleurs, Il a été montré par LazaroMancilla [90] que la solution à ce<br />
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