Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

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➢ Inversion
PARTIE III : INTERPRETATION DES ECHOS RADAR ­ PROBLEME INVERSE
Ce paragraphe reprend les paramètres de l'exemple traité page 144 (tableau 8). Rappelons
que quatre couches géologiques composent le sol. La permittivité et la conductivité de la première
sont connues alors que la quatrième strate est supposée infinie.
L'algorithme est paramétré pour déterminer les caractéristiques des trois couches inconnues,
c'est­à­dire autant de couches qu'il en existe réellement. Cela fait donc au total 9 variables. Dans un
deuxième temps, nous chercherons plus de strates qu'il y en a dans le modèle direct. Le programme
a été lancé 20 fois avec une population de 100 individus sans l'option gérant les sous­populations.
Après avoir obtenu les 20 meilleurs individus correspondant aux 20 simulations, un algorithme de
minimisation par gradient conjugué permet de converger vers le minimum local environnant.
Rappelons que l'algorithme génétique donne toujours des individus compris dans un domaine choisi
par l'utilisateur. Ainsi, les produits hini sont recherchés dans l'intervalle [10 ; 400] alors que les ni et
les logarithmes de σi sont respectivement recherchés dans [1 ; 9] et [­6 ; ­1]. En revanche, la
minimisation par gradient conjugué utilisée ici n'impose aucune restriction sur le domaine
d'appartenance des différentes variables. De sorte que la minimisation par gradient conjugué risque
conduire à des matériaux improbables aux conductivités nulles ou aux indices négatifs...
Remarque : Il aurait été tout à fait possible de réaliser un programme mettant en oeuvre la méthode du
gradient conjugué tout en imposant des domaines de restriction ou de validité (information à
priori) aux différentes variables.
Le tableau suivant et la figure 150 montrent quelques configurations de sols qui permettent
de coller presque parfaitement au signal recherché. L'algorithme a permis de déterminer 12 minima
locaux et le minimum global n'a été trouvé qu'une seule fois. Dans un cas, cette méthode a abouti à
une divergence dans l'espace des solutions, entendons par là l'obtention de paramètres induisant des
coefficients de réflexions supérieurs à 1 en valeur absolue !
h 1n 1 h 2n 2 h 3n 3 n 2 n 3 n 4 log(σ 2) log(σ 3) log(σ 4) 1000.ε
Solution réelle (1) 360 112 73.5 2.24 2.45 2.00 ­5.00 ­3.30 ­4.52 0
Proposition 1 (2) 360 112 62.8 2.24 2.45 2.83 ­4.99 ­3.30 ­4.47 0.014
Proposition 2 (1) 360 108 62 2.24 2.16 2.87 ­5.07 ­3.34 ­5.76 0.122
Proposition 3 (1) 360 111 37 2.24 2.30 2.06 ­4.89 ­3.26 ­3.00 2.79
Proposition 4 (3) 361 111 112 2.24 2.50 3.05 ­13.6 ­3.37 ­2.86 6.24
Proposition 5 (2) 361 104 120 2.24 2.00 4.75 ­17.1 ­3.45 ­2.29 6.37
Tableau 10 : Position des principaux minima locaux (n1=2, σ1=0 S.m ­1 ). Le chiffre entre parenthèse après le
numéro de la solution indique le nombre de fois que l'algorithme a convergé vers cette solution (sur 20 tests). La
dernière colonne représente la valeur de la fonction d'erreur multipliée par 1000.