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148 3 Inversion du problème à une dimension PARTIE III : INTERPRETATION DES ECHOS RADAR PROBLEME INVERSE Après une introduction générale sur les problèmes inverses et les algorithmes génétiques, nous utiliserons le modèle stratifié à une dimension vu précédemment pour inverser des données. Elles proviendront d'abord du modèle analytique puis de données bruitées déterminées par FDTD. Les différents cas proposés mettent en scène des configurations réalistes de sols martiens avec interfaces rugueuses et milieux hétérogènes. 3.1 Introduction au problème inverse D'après J.B Keller [80], deux problèmes sont dits inverses l'un de l'autre si la formulation de l'un met l'autre en cause. Cette définition comporte une part d'arbitraire et fait jouer un rôle symétrique aux deux problèmes considérés. Une définition plus opérationnelle est qu'un problème inverse consiste à déterminer des causes connaissant des effets ; ainsi, ce problème est l'inverse de celui appelé problème direct qui consiste à déduire les effets lorsque les causes sont connues. Nous sommes plus habitués à étudier des problèmes directs et il faut s'attendre à ce que la résolution de problèmes inverses pose un certain nombre de nouveaux problèmes. Pour avoir de bonnes chances d'inverser le problème, les mêmes causes doivent produire les mêmes effets. Or, il est facile d'imaginer, et nous en verrons quelques exemples, que les mêmes effets peuvent provenir de causes différentes. Cette idée contient en germe la principale difficulté de l'étude des problèmes inverses : ils peuvent avoir plusieurs solutions et il faut disposer d'informations supplémentaires pour les discriminer. Dans notre cas, le problème direct consiste à déterminer les champs électromagnétiques dans tout ou partie de l'espace connaissant la source et le sol. La résolution du problème inverse consiste à retrouver les paramètres du sol en tout point, en particulier permittivité et conductivité, connaissant la source et la mesure du champ en un ou plusieurs points de l'espace. Une difficulté pratique de l'étude des problèmes inverses est qu'elle demande souvent une bonne connaissance du problème direct, ce qui se traduit par le recours à une grande variété de notions tant physiques que mathématiques. Le succès dans la résolution d'un problème inverse repose en général sur des éléments spécifiques à ce problème. Il existe toutefois quelques techniques qui possèdent un domaine d'application étendu. La plus importante est la formulation d'un problème inverse sous la forme de minimisation d'une fonction d'erreur entre les mesures réelles et les mesures synthétiques (c'estàdire les solutions de problèmes directs). Il sera commode de distinguer les problèmes linéaires et des problèmes nonlinéaires. Précisons ici que la nonlinéarité fait référence au problème inverse luimême et non au problème direct. Par exemple les équations de Maxwell sont linéaires au vu du problème direct et nonlinéaires en considérant le problème inverse !
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 149 Dans le cas des problèmes linéaires, le recours à l'algèbre linéaire et à l'analyse fonctionnelle permet d'obtenir des résultats précis et des algorithmes efficaces. L'outil fondamental est ici la décomposition en valeurs singulières de l'opérateur considéré. Les problèmes nonlinéaires sont plus difficiles et il existe moins de résultats généraux ; c'est pour cela qu'on tentera de résoudre notre problème à l'aide d'un algorithme génétique. Mais avant d'aller plus loin sur l'inversion, arrêtons nous sur la notion de problème mal posé. Dans un livre, Hadamard [81] introduit dès 1923 la notion de problème bien posé. Il s'agit d'un problème dont la solution : ● Existe. ● Est unique. ● Dépend continûment des données. Dans ce même livre Hadamard laissait entendre (et c'est une opinion largement répandue) que seul un problème bien posé pouvait modéliser correctement un phénomène physique. Après tout, ces trois notions semblent très naturelles. En fait, les problèmes inverses ne vérifient pas souvent l'une ou l'autre des conditions, voire les trois ensembles. Après réflexion, cela n'est pas si surprenant : ● Un modèle physique étant fixé, les données expérimentales dont on dispose sont en général bruitées, et rien ne garantit que de telles données proviennent de ce modèle, même pour un autre jeu de paramètres. ● Si une solution existe, il est parfaitement concevable que des paramètres différents conduisent aux mêmes observations. ● Le fait que la solution d'un problème inverse puisse ne pas exister n'est pas une difficulté sérieuse. Il est habituellement possible de rétablir son existence en admettant une tolérance sur la fonction d'erreur. ● La nonunicité est un problème plus sérieux. Si un problème a plusieurs solutions, il faut un moyen de choisir entre elles. Pour cela, il faut disposer d'informations supplémentaires : soit en effectuant plus de mesures soit en ajoutant des hypothèses. Mais ces hypothèses ne pourront pas toujours être validées. En d'autres termes, la solution dépend des hypothèses donc du résultat espéré. ● Le manque de continuité est sans doute le plus problématique, en particulier en vue d'une résolution approchée ou numérique. Cela veut dire qu'il ne sera pas possible d'approcher de façon satisfaisante la solution du problème inverse puisque les données disponibles seront bruitées donc proches mais différentes des données réelles.
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