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Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

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3­ Inversion du problème à une dimension<br />

PARTIE III : INTERPRETATION DES ECHOS RADAR ­ PROBLEME INVERSE<br />

Après une introduction générale sur les problèmes inverses et les algorithmes génétiques,<br />

nous utiliserons le modèle stratifié à une dimension vu précé<strong>de</strong>mment pour inverser <strong>de</strong>s données.<br />

Elles proviendront d'abord du modèle analytique puis <strong>de</strong> données bruitées déterminées par FDTD.<br />

Les différents cas proposés mettent en scène <strong>de</strong>s configurations réalistes <strong>de</strong> sols martiens avec<br />

interfaces rugueuses et milieux hétérogènes.<br />

3.1­ Introduction au problème inverse<br />

D'après J.B Keller [80], <strong>de</strong>ux problèmes sont dits inverses l'un <strong>de</strong> l'autre si la formulation <strong>de</strong><br />

l'un met l'autre en cause. Cette définition comporte une part d'arbitraire et fait jouer un rôle<br />

symétrique aux <strong>de</strong>ux problèmes considérés. Une définition plus opérationnelle est qu'un problème<br />

inverse consiste à déterminer <strong>de</strong>s causes connaissant <strong>de</strong>s effets ; ainsi, ce problème est l'inverse <strong>de</strong><br />

celui appelé problème direct qui consiste à déduire les effets lorsque les causes sont connues.<br />

Nous sommes plus habitués à étudier <strong>de</strong>s problèmes directs et il faut s'attendre à ce que la<br />

résolution <strong>de</strong> problèmes inverses pose un certain nombre <strong>de</strong> nouveaux problèmes. Pour avoir <strong>de</strong><br />

bonnes chances d'inverser le problème, les mêmes causes doivent produire les mêmes effets. Or, il<br />

est facile d'imaginer, et nous en verrons quelques exemples, que les mêmes effets peuvent provenir<br />

<strong>de</strong> causes différentes. Cette idée contient en germe la principale difficulté <strong>de</strong> l'étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s problèmes<br />

inverses : ils peuvent avoir plusieurs solutions et il faut disposer d'informations supplémentaires<br />

pour les discriminer.<br />

Dans notre cas, le problème direct consiste à déterminer les champs électromagnétiques dans<br />

tout ou partie <strong>de</strong> l'espace connaissant la source et le sol. La résolution du problème inverse consiste<br />

à retrouver les paramètres du sol en tout point, en particulier permittivité et conductivité,<br />

connaissant la source et la mesure du champ en un ou plusieurs points <strong>de</strong> l'espace.<br />

Une difficulté pratique <strong>de</strong> l'étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s problèmes inverses est qu'elle <strong>de</strong>man<strong>de</strong> souvent une<br />

bonne connaissance du problème direct, ce qui se traduit par le recours à une gran<strong>de</strong> variété <strong>de</strong><br />

notions tant physiques que mathématiques. Le succès dans la résolution d'un problème inverse<br />

repose en général sur <strong>de</strong>s éléments spécifiques à ce problème. Il existe toutefois quelques<br />

techniques qui possè<strong>de</strong>nt un domaine d'application étendu.<br />

La plus importante est la formulation d'un problème inverse sous la forme <strong>de</strong> minimisation<br />

d'une fonction d'erreur entre les mesures réelles et les mesures synthétiques (c'est­à­dire les<br />

solutions <strong>de</strong> problèmes directs). Il sera commo<strong>de</strong> <strong>de</strong> distinguer les problèmes linéaires et <strong>de</strong>s<br />

problèmes non­linéaires. Précisons ici que la non­linéarité fait référence au problème inverse luimême<br />

et non au problème direct. Par exemple les équations <strong>de</strong> Maxwell sont linéaires au vu du<br />

problème direct et non­linéaires en considérant le problème inverse !

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