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Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 139
P U = 1
2 ℜ R g r ⋅∣I r∣ 2
(70.c)
Les équations (69) et (70) permettent d'écrire facilement la relation qui existe entre le
module du champ électrique incident et le module du courant dans la charge Rgr. Pour retrouver le
terme de phase, il faut raisonner sur les tensions plutôt que directement sur le courant. Le champ
incident induit un générateur de tension Va au niveau de l'antenne. La phase de Va est liée à la phase
de E et à la phase du gain complexe de l'antenne. La phase du courant Ir est donc égale à la phase de
Va moins la phase de la charge totale matérialisée par Rgr et Zar (convention générateur), d'où
l'équation suivante :
I r =E⋅ G r 2
Z m 4 ⋅1−∣S 11r∣ 2
ℜ R g r ⋅e − j R g r Z a r (71)
Pour exprimer la relation entre les courants d'émission et de réception, il faut combiner les
expressions (67) et (71). Il faut ensuite introduire le coefficient de réflexion en champ R pour tenir
compte de la réflexion sur l'interface. Les pertes dans le diélectrique sont prises en compte en
introduisant l'épaisseur de peau δ. On aboutit finalement au courant complexe de réception (72).
I r =I e
∣S 11 e∣=∣
ℜ Z a e
ℜ R g r 1−∣S 11 r∣ 2
⋅e
Z a e−R g e
Z a eR g e∣
j
R g r
R g r Z a r
−
D
⋅G eG r⋅R⋅e Total⋅
∣S 11 r∣=∣
Z a r−R g r
Z a rR g r∣
c
j 4 DTotal r f
j 2 f
e−
(72.a)
(72.b)
Dans la plupart des applications radar GPR, les antennes d'émission et de réception sont
identiques ce qui simplifie fortement les expressions précédentes.
Dans le cas particulier où il n'y a que deux types de sols (figure 133), la distance totale
parcourue DTotal est égale à deux h. Le retard τ est le temps mis par l'onde pour faire l'aller retour
entre l'antenne et l'interface.
Remarque 1 : La formulation vue ci­dessus ne s'applique que si DTotal satisfait la condition de champ lointain
(DTotal et non h).
Remarque 2 : A priori, le coefficient de réflexion R est complexe et est fonction de la fréquence. Les gains
des antennes sont complexes, ils sont aussi fonctions de la fréquence et dépendent du milieu sur
lequel repose l'antenne. Il faudra donc les déterminer pour un couple (εr, σ) donné.
2.2­ Sommation de tous les parcours
Plus généralement, il n'y aura pas seulement deux couches géologiques mais N couches
chacune caractérisée par son épaisseur hi, sa permittivité relative moyenne εi, sa conductivité σi et
éventuellement sa perméabilité relative μi. L'indice du milieu est alors n i = i i .