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Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 117
L'intégration de l'équation précédente suivant ρ et la condition limite sur Ez à la surface du
conducteur (Ez(ρ=a)=0) permet d'obtenir une expression de Ez fonction de ρ (Ez est indépendant de
θ et de z respectivement par symétrie de rotation et de translation selon l'axe z). On pose également
L l'inductance linéique associée au fil.
∂ I
E z = L ∂ t v2 ∂Q
∂ z
L =
ln 2 a
(52.a)
(52.b)
Pour obtenir l'équivalence d'un champ moyen au sein de la cellule et éliminer la dépendance
en 1/ρ, l'équation (52) doit être moyennée sur la surface d'une cellule ΔxΔy. On remarquera que
cette équation (52) permet la prise en compte des interactions entre le courant et le champ
électrique.
∂ I
E z = L moy ∂ t v2 ∂Q
∂ z
L moy =
2
∫ ln x y , a
a cos d d
x y
Par ailleurs, l'équation de conservation de la charge impose :
(53.a)
(53.b)
∂ I ∂Q
= 0 (54)
∂ z ∂ t
Finalement, les équations (53) et (54) constituent un système d'équations liées qui peut se
résoudre via une méthode numérique telle que la FDTD. Les densités de charges Q et le courant I
sont décalés spatialement d'une demi­maille et sont calculés à des instants différents. Le fil seul se
comporte comme un circuit série avec une self et une capacité mais le formalisme de Holland offre
la possibilité d'ajouter des circuits localisés tel que générateur de tension, résistances, selfs et
capacités (en modifiant simplement les valeurs obtenues pour le fil seul). Il est même possible de
coupler la FDTD avec un code de C.A.O. de type Spice pour introduire des circuits complexes ou
des éléments non linéaires [76][77].
Pour gérer l'extrémité d'un fil non connecté et la jonction entre un fil et un conducteur parfait
on applique respectivement I=0 et Q=0.
Il existe à ce jour des formulations plus complexes qui permettent de prendre en compte
plusieurs fils dans une même cellule, des fils situés ailleurs que sur les arêtes, des fils obliques dans
un milieu homogène [73], des jonctions entre plusieurs fils... On peut également citer une étude
effectuée à l'INRIA [71] qui propose un modèle basé sur une approximation quasi­statique du
champ électrique au voisinage d'un fil. Cette étude est complétée par la détermination de
l'inductance optimale qui est un paramètre clé de la méthode. Une formule explicite est donnée dans