Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

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4.2.a.ii Rappel sur le formalisme de Holland
PARTIE II : RADAR GPR ­ ETUDE D'ANTENNES
Holland et Simpson [70] ont proposé un formalisme pour intégrer dans la méthode FDTD
des fils de diamètre 2a inférieur à la taille de la cellule élémentaire. Considérons un tronçon de fil
au sein d'une cellule dirigé suivant l'axe (Oz) comme le montre la figure 116. Holland propose
d'évaluer le courant I et la densité linéique de charge Q dans la cellule en fonction du champ
électromagnétique en supposant que l'on peut appliquer les lois de la statique.
H = I
2
E = Q
2 0
z
2a
Q(k+1)
I(k+1/2)
Q(k)
Figure 116 : Tronçon de fil sur une arête d'une
cellule.
z
I
V g
R
1/ L zv 2
L z
Figure 117 : Schéma électrique équivalent du
tronçon de fil.
Eρ et Hθ sont deux composantes du champ dans un repère en coordonnées cylindriques (ρ ,θ ,
z) dont l'origine est sur le fil. Ensuite, on utilise l'équation de Maxwell­Faraday exprimée en
coordonnées cylindriques. De celle­ci, on retient seulement l'équation projetée qui contient les
composantes Hθ, Eρ, Ez, c'est­à­dire les composantes qui interagissent avec un fil infiniment long
orienté suivant Oz :
− ∂ H
∂ t = ∂ E
∂ z − ∂ E z
∂
En posant I le courant circulant sur le fil, Q la densité linéique de charge et v la vitesse du
courant. On peut réécrire l'équation (50) en substituant Hθ et Eρ à l'aide des deux équations de la
statique (48) et (49) :
∂ I
2 ∂ t v2 ∂Q
∂ z = ∂ E z
∂
(48)
(49)
(50)
(51)