Télécharger (5Mb) - Université du Québec à Trois-Rivières

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC
MÉMOIRE PRÉSE TÉ À
L'U IVERSITÉ DU QUÉBEC À TROIS-RIVIÈRES
COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN
MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE APPLIQUÉES
PAR
VINCENT GARANT-PELLETIER
ENSEMBLES DE MANDELBROT ET DE JULIA REMPLIS CLASSIQUES,
GÉNÉRALISÉS AUX ESPACES MULTICOMPLEXES ET THÉORÈME DE
FATOU-JULIA GÉNÉRALISÉ
Mars 2011

Université du Québec à Trois-Rivières
Service de la bibliothèque
Avertissement
L’auteur de ce mémoire ou de cette thèse a autorisé l’Université du Québec
à Trois-Rivières à diffuser, à des fins non lucratives, une copie de son
mémoire ou de sa thèse.
Cette diffusion n’entraîne pas une renonciation de la part de l’auteur à ses
droits de propriété intellectuelle, incluant le droit d’auteur, sur ce mémoire
ou cette thèse. Notamment, la reproduction ou la publication de la totalité
ou d’une partie importante de ce mémoire ou de cette thèse requiert son
autorisation.

CE MÉMOIRE A ÉTÉ ÉVALUÉ
PAR UN JURY COMPOSÉ DE:
M. Dominic Rochon, directeur du mémoire
Département de mathématiques et d'informatique
M. Sébastien Tremblay, juré
Département de mathématiques et d'informatique
M. Alfred Michel Grundland, juré
Département de mathématiques et d'informatique

ENSEMBLES DE MANDELBROT ET DE JULIA REMPLIS
CLASSIQUES, GÉNÉRALISÉS AUX ESPACES MULTICOMPLEXES
ET THÉORÈME DE FATOU-JULIA GÉNÉRALISÉ
Vincent Garant-Pelletier
SOMMAIRE
Les fractales sont un domaine des mathématiques pour lequel la popularité ne cesse
de grandir. Le plus souvent, c'est le rendu visuel de tels objets qui capte l'attention. En
effet, les images de fractales sont riches en structure et intéressantes à explorer de par
le caractère irrégulier et fragmenté de ces objets. Parmi les fractales les plus connues,
on compte l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia remplis.
Historiquement, deux approches ont été utilisées pour définir ces ensembles: l'ap-
proche de la dynamique et l'approche des familles normales de fonctions. Ce mémoire
parcourera ces deux approches afin de montrer que les définitions d'ensemble de Julia
rempli sont équivalentes. Les principales caractéristiques de l'ensemble de Mandelbrot
et des ensembles de Julia remplis seront également démontrées en détails et on citera
le théorème de Fatou-Julia qui est un résultat très important en dynamique complexe.
Ce mémoire proposera également une généralisation de ces ensembles fractals aux
espaces des nombres multicomplexes. On trouvera une généralisation du théorème de
Fatou-Julia et on pourra visualiser certaines coupes tridimensionnelles des ces ensembles
fractals généralisés.

CLASSICAL MANDELBROT AND FILLED-JULIA SETS,
GENERALIZATION TO MULTICOMPLEX SPACES AND
GENERALIZED FATOU-JULIA THEOREM
Vincent Garant-Pelletier
ABSTRACT
Fractals are a domain of mathematics which is still gaining in popularity. Most of
the time, it's t heir visual structure that is of first interest. In facts, the images of such
objets have a broken and irregular structure that make them interesting to explore.
Among the most famous fractals we have the Mandelbrot and filled-Julia sets.
Historically, there have been two approaches to define these sets : the dynamical
approach and the normal families approach. This master thesis will get trough these two
approaches to show that the definitions obtained for the filled-Julia sets are equivalent.
We will demonstrate in details the principal caracteristics of both the Mandelbrot set
and the filled-Julia sets. We will also treat the Fatou-Julia theorem, an important result
in complex dynamics.
This thesis will also propose a generalization of these fractal sets to multicomplex
spaces. There will be a generalization of the Fatou-Julia theorem, thus we will be able
to visualize 3D slices of these generalized fractal sets.
11

AVANT-PROPOS
Durant mon baccalauréat, j'ai eu la chance de m'initier à la recherche en mathé­
matiques. Ayant déjà à cette époque une passion pour l'analyse, il était naturel pour
moi de choisir mon enseignant d'analyse, le Dr Dominic Rochon, comme directeur de
recherche. Celui-ci m'a introduit aux nombres bicomplexes de même qu'aux ensembles
de Julia remplis et de Mandelbrot. Ça m'a immédiatement fasciné.
Au début, il s'agissait uniquement de généraliser certains résultats du Dr Rochon.
Ensuite, on a choisi d'inclure à ce mémoire les résultats dans le plan complexe. En effet,
plusieurs volumes traitent l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia remplis,
mais rares sont ceux qui reprennent la démarche dans tous ses détails. On trouvait
donc intéressant de présenter un ouvrage qui contiendrait une introduction complète
à la dynamique complexe et plus particulièrement à l'ensemble de Mandelbrot et aux
ensembles de Julia remplis. Bref, on voulait un ouvrage pour lequel l'étudiant débutant
désirant connaitre la dynamique complexe pourrait se retrouver.
Je tiens à remercier mon directeur de recherche, le Dr Dominic Rochon, d'une part
pour tout le support qu'il m'a apporté à la rédaction de ce mémoire, mais également
pour la parution d'un article dans la revue Fractals et pour l'expérience formidable qu'il
m'a permis de vivre en allant en Grèce pour une conférence internationale.
Je tiens également à remercier mon enseignant de mathématiques au centre d'études
collégiales de Montmagny, M. Bernard Lapointe, qui a su réveiller ma passion des
III

mathématiques et révéler mon potentiel.
Un remerciement particulier à Alexandre Brizard pour son travail sur le logiciel
d 'exploration de fractales 3D qui a permi la génération des images de fractales tridi­
mensionnelles de ce mémoire.
Finalement, je t iens ft remercier le Conseil de recherches en sciences naturelles ct
en génie (CRSNG) du Canada pour l'aide financière qu'il m 'a apporté durant mon
baccalauréat et ma maitrÎse.
IV

Table des matières
Introduction
1 Systèmes dynamiques complexes
1.1 Points fixes et bassins d'attraction .
1.2 Ensemble de Mandelbrot . . . . . .
1.3 Ensembles de Julia remplis et théorème de Fatou-Julia
1.4 Cardioïde principale de l'ensemble de Mandelbrot
2 Familles Normales de fonctions
2.1 Convergence normale, fonctions localement
bornées et équicontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Familles normales de fonctions holomorphes,
théorème de Montel et critère fondamental de normalité.
2.3 Familles normales de fonctions méromorphes
2.4 Systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . .
3 Nombres multicomplexes 59
3.1 Construction des nombres multicomplexes 60
3.2 Représentation idempotente . . . . . . . . 66
3.3 Conjuguaison des nombres multicomplexes 71
3.4 Nombres multicomplexes non inversibles . 84
3.5 Les nombres multicomplexes comme une sous-algèbre d'une algèbre de
Clifford .......... . ...... 86
3.6 Sous-espaces des nombres tricomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Dynamique multicomplexe : Ensembles de Mandelbrot, de Julia remplis
et théorème de Fatou-Julia 93
4.1 Ensemble de Mandelbrot généralisé . . 94
4.2 Ensembles de Julia remplis généralisés 99
4.3 Théorème de Fatou-Julia généralisé . . 103
4.4 Coupes principales de l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe 110
4.5 L'ensemble de Mandelbrot tricomplexe au point de vue fractal 124
Conclusion 131
v
1
4
5
9
19
28
34
35
44
53
56

Bibliographie
Annexe : Suite diagonale
VI
133
135

Liste des tableaux
3.1 Produits des unités imaginaires bicomplexes
3.2 Produits des unités imaginaires tricomplexes
3.3 Table du groupe (t, 0)
3.4 Table du groupe (+,0) ........... .
vii
61
63
74
77

4.16 Exploration du Tétrabrot sur l'axe réel : on trouve une forme approchant
celle du Tétrabrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 129
4.17 Exploration de la première coupe de l'ensemble de Julia rempli K3,-1.754878 130
ix

Liste des symboles
n À moins d'indication contraire, n est un domaine ouvert et connexe dans
le plan complexe.
E Désigne la fermeture de l'ensemble E.
BE Désigne la frontière de l'ensemble E.
U Désigne le disque ouvert de rayon unitaire centré à l'origine. L'ensemble U'
désigne le disque U auquel on a enlevé l'origine.
c Inclusion stricte (exclue la possibilité que les ensembles soient égaux).
x

Introduction
Les fractales sont un domaine des mathématiques pour lequel la popularité ne cesse
de grandir. Le plus souvent, c'est le rendu visuel de tels objets qui capte l'attention. En
effet, les images de fractales sont riches en structure et intéressantes à explorer de par
le caractère irrégulier et fragmenté de ces objets. Parmi les fractales les plus connues,
on compte l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia remplis.
Historiquement, deux approches ont été utilisées pour définir ces ensembles: l'ap­
proche de la dynamique et l'approche des familles normales de fonctions. Cet ouvrage
propose de parcourir ces deux approches.
La première approche permettant d'obtenir l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles
de Julia remplis, celle des systèmes dynamiques, a d'abord été développée parallèlement
par Gaston Julia et Pierre Fatou au début du 20 e siècle. Un peu plus tard, Benoît
Mandelbrot apporte sa contribution et c'est à lui que l'on doit principalement l'éclosion
de ce domaine des mathématiques.
Le premier chapitre de ce mémoire est dédié à cette approche. On y donnera la
définition, d'un point de vue dynamique de l'ensemble de Mandelbrot et des ensembles
de Julia remplis. On démontrera également les propriétés fondamentales de ces en­
sembles, notamment on présentera le théorème de Fatou-Julia, théorème fondamental
à ce mémoire, caractérisant les ensembles de Julia remplis à partir de l'ensemble de
Mandelbrot.

La deuxième approche permettant d'obtenir l'ensemble de Mandelbrot et les en­
sembles de Julia remplis est celle des familles normales de fonctions. Cette manière
d'obtenir les ensembles fractals a été développée, entre autre, par Schiff [24] à partir
de la théorie sur les familles normales de fonctions développée principalement par Paul
Montel au tout début du 20 e siècle. Le deuxième chapitre de ce mémoire portera sur
cette approche. On y verra tout d'abord les familles normales de fonctions holomorphes
et méromorphes, puis on tentera de retrouver les ensembles fractals présentés dans le
premier chapitre à partir de ces concepts.
En 1982, Norton [15] donne un tout premier algorithme pour générer et visualiser des
fractales tridimensionnelles. Pour la première fois , on s'intéresse à l'itération de quater­
nions, structure de nombres de dimension quatre [11], et Gomatam et al. [10] donnent
une généralisation de l'ensemble de Mandelbrot pour cette structure de nombres. Cepen­
dant, en 1995, Bedding et Briggs [2] établissent que l'intérêt au point de vue dynamique
de cette approche avec des quaternions est limitée. En effet, les structures ainsi obtenues
n'offraient pas la même richesse fractale que leurs homologues dans le plan complexe.
L'objectif premier de ce mémoire est de généraliser les résultats de dynamique com­
plexe à une structure de nombre encore peu utilisée, les nombres multicomplexes, afin
d'en faire ressortir, contrairement à l'approche utilisant les quaternions, une structure
fractale aussi riche que celle des ensembles fractals complexes. Ce genre de travail a été
effectué pour les nombres bicomplexes par Rochon [18, 19] et il s'agit, dans le dernier
chapitre de ce mémoire, de pousser l'exercice plus loin. Le résultat le plus important
que l'on généralisera aux nombres multicomplexes est sans contredit le théorème de
Fatou-Julia. Ça nous permettra de visualiser et d'explorer de nouvelles fractales tridi­
mensionnelles.
Finalement, avant de pouvoir généraliser les résultats de dynamique complexe, on doit
aborder la structure des nombres multicomplexes. C'est l'objet du troisième chapitre
2

de cet ouvrage. Les nombres multicomplexes sont encore très peu connus. En 1997,
Rochon [20] développe les nombres bicomplexes, qu'il appelle alors tétranombres, à
partir desquels seront basés ses travaux subséquents. Avant Rochon, Price en 1991 [16]
abordera également les nombres bicomplexes. Il poussera l'exercice plus loin et donnera
quelques propriétés des nombres multicomplexes.
En ce qui concerne ce mémoire, on présentera les propriétés les plus importantes
des nombres multicomplexes, notamment la conjugaison et l'inversion de nombres mul­
ticomplexes. On présentera cette structure de nombres comme une sous-algèbre d'une
algèbre de Clifford et on donnera une représentation idempotente qui sera extrêmement
utile dans le dernier chapitre.
3

Chapitre 1
Systèmes dynamiques complexes
L'approche la plus naturelle lorsque l'on désire traiter des ensembles fractals tels
que l'ensemble de Mandelbrot ou les ensembles de Julia remplis est celle des systèmes
dynamiques. L'objectif de ce chapitre sera de présenter les résultats principaux issus de
la dynamique complexe et portant sur ces ensembles fractals.
On définira donc l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia remplis d'un
point de vue dynamique. On présentera également les caractéristiques les plus impor­
tantes de ces ensembles telles le fait que ces ensembles sont bornés et fermés.
Un résultat important en dynamique complexe et primordial à ce mémoire est le
théorème de Fatou-Julia. Ce résultat fait un lien entre la connexité des ensembles de
Julia remplis et les points de l'ensemble de Mandelbrot. Un des objectifs de ce mémoire
est d 'offrir une généralisation de ce t héorème aux espaces mult icomplexcs, ce qui sera
fait dans le chapitre 4. À ce point-ci, on s'assurera de bien exposer les implications du
théorème de Fatou-Julia dans le plan complexe.
La dernière section de ce chapitre portera quant à elle sur une région particulière de
l'ensemble de Mandelbrot, celle qui lui donne en grande partie sa forme: la cardioïde
principale de l'ensemble de Mandelbrot.
4

Avant de pouvoir définir l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia remplis
d 'un point du vue dynamique, on doit présenter un concept fondamental en dynamique,
celui de point fixe.
1.1 Points fixes et bassins d'attraction
L'étude des systèmes dynamiques complexes est intimement liée à la notion de point
fixe. Nous devons donc traiter ce concept, et par le fait même le concept de bassin
d'attraction, avant de nous attaquer à l'ensemble de Mandelbrot et à ses propriétés.
Avant d'aborder ces concepts et pour la suite du mémoire, il est nécessaire de rappeler
quelques définitions et théorèmes issus de la topologie ainsi que de l'analyse complexe.
On aurait pu rappeler plusieurs autres notions pertinentes telles que le concept de
fonction holomorphe, cependant il aurait été interminable d'effectuer tous les rappels
et donc on s'est concentré sur des notions qui seront importantes tout au long de ce
chapitre et pour les chapitres subséquents (la plupart tirés de [8]). Le premier concept
que l'on aimerait rappeler est celui de connexité simple.
Rappel 1 Un ensemble connexe est dit simplement connexe si pour toute boucle à
l'intérieur de l'ensemble, tous les points à l'intérieur de la boucle sont aussi à l'intérieur
de l'ensemble.
Remarque: Une paramétrisation a est dite simple si et seulement si la fonction a
restreinte à l'interval ouvert (a, b) est injective. On dira qu'il s'agit d'une boucle si
a(a) = a(b).
Lorsqu'une paramétrisation a est une boucle, on dit aussi que c'est une paramétrisa­
tion fermée. Graphiquement , une boucle est représentée dans le plan complexe par
une courbe fermée sur elle même qui ne se croise pas, c'est-à-dire que si x 0/= y, alors
a (x) 0/= a(y), \Ix, y E (a, b).
5

Graphiquement, un ensemble simplement connexe est un ensemble connexe qui ne
possède pas de « trou ;$> à l'intérieur. Dans le cas d'un ensemble non connexe, on peut
souvent séparer l'ensemble en parties connexes. Ces parties sont appelées composantes
connexes.
Rappel 2 Définissons une relation binaire rv dans un certain ensemble X par : x rv y
si et seulement s'il existe un ensemble connexe C ç X tel que x et y sont dans C. Cette
relation est réflexive, symétrique et transitive, c'est donc une relation d 'équivalence. Les
classes d'équivalence de rv s 'appellent les composantes connexes de X.
Cette définition, qui n'est pas très intuitive, nous indique que les composantes
connexes d'ensembles non connexes sont les plus gros « morceaux ;$> connexes de l'en­
semble. Dans le cas d'un ensemble connexe, la seule composante connexe est l'ensemble
lui-même.
Théorèm e 1.1 Si X est un ensemble ouvert dans le plan complexe alors les compo­
santes connexes de X sont aussi des ensembles ouverts du plan complexe [17j.
Intuitivement, on remarque que l'ensemble considéré sera en fait l'union de ses com­
posantes connexes. On sait que l'union d'ensembles ouverts résultera en un ensemble
ouvert. Inversement, si une des composantes connexes n'est pas un ensemble ouvert,
alors l'ensemble lui-même ne pourra être ouvert. Les composantes connexes d'un en­
semble ouvert sont donc des ensembles ouverts.
Lorsque les composantes connexes d'un ensemble sont des singletons, alors l'en­
semble est totalement non connexe. Un ensemble totalement non connexe auquel on
va s'intéresser est l'ensemble de Cantor.
D éfinition 1.1 Ensemble de Cantor
Un sous-ensemble de]Rn compact, parfait et totalement non connexe est appelé ensemble
de Cantor.
6

FIGURE 1.1 - Ensemble de Mandelbrot, M
La partie noire de la figure 1.1 représente l'ensemble de Mandelbrot. Le caractère
fractal, c'est-à-dire irrégulier et fragmenté, de la frontière de l'ensemble saute immédiate­
ment aux yeux. Il peut apparaitre surprenant que le processus d 'itération d 'un simple
polynôme de degré deux résulte en un ensemble pour lequel la frontière est si irrégulière.
On remarque aussi sur la figure que l'ensemble est symétrique par rapport à l'axe
des réels et on note la structure autosimilaire de la frontière. L'autosimilarité est une
caractéristique importante des objets fractals. Elle est discernable à toutes les échelles
c'est-à-dire que peu importe l'agrandissement que l'on utilise pour visualiser une partie
de l'ensemble, cette partie présentera une structure similaire à l'ensemble lui-même.
La figure 1.2 montre l'ensemble de Mandelbrot ainsi que trois agrandissements diffé-
\
rents. Le premier agrandissement (image 2.) correspond au rectangle blanc dans l'image
1. Le deuxième agrandissement (image 3.) correspond au rectangle blanc dans l'image
2. et c'est la même chose pour le troisième agrandissement. La figure 1.3 correspond
à l'encadré blanc de la 4 e image de la figure 1.2. On peut ainsi apprécier la structure
11

autosimilaire à tous les niveaux de l'ensemble de Mandelbrot.
FIGURE 1.2 - Exploration de l'ensemble de Mandelbrot
L'ensemble de Mandelbrot possède plusieurs propriétés très intéressantes, que nous
allons démontrer dans cette section. La première propriété nécessite le résultat suivant:
Lemme 1.5 Soit Ici> 2, alors
Preuve:
IP;(O)I 2: Ici (Ici - It- 1 avec n 2: 1.
Nous allons effectuer la preuve par induction. Pour n = 1, on a
et donc la proposition est vraie pour n = 1. Supposons qu'elle soit vraie pour n = k,
c'est-à-dire que
IPck(O)1 2: 1c1(lcl- l)k-l.
12

Cc dépend totalement du paramètre c. La figure 1.5 nous montre l'ensemble de Julia
rempli associé au paramètre c = 0.36237 + 0.32i.
FIGURE 1.5 - Ensemble de Julia rempli /CO.36237+0.32i
On a vu précédemment un critère simple permettant de déterminer si un nombre
complexe n'appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot. Il existe un critère tout aussi
simple pour les ensembles de Julia remplis.
Théorème 1.13 Pour tout complexe z appartenant à l'ensemble de Julia rempli /Cc,
on a Iz i ::; r := max{lcl, 2} .
Preuve:
Soit cE e et zE e tels que Iz l > max{l cl, 2}. Alors il existe un nombre E > 0 tel que
Iz l = 2 + E. De plus, par l'inégalité du triangle,
IZ2 1 = IZ2 + c - cl ::; IZ2 + cl + Ici.
21

2. On peut t rouver le théorème de Fatou-Julia (pas nécessairement sous ce nom)
dans [4] ou dans [14] et on peut trouver la preuve dans [5] .
Bien que la preuve serait pertinente à présenter, on a fait le choix de l'omettre en
raison de son niveau de difficulté.
Dans le cas où l'ensemble de Julia rempli est connexe, on précise qu'il est alors
simplement connexe.
Théorème 1.17 Si la suite {P; (O)} est bornée, alors l'ensemble JCc est simplem ent
connexe.
Preuve:
Supposons que la suite {P; (O)} est bornée c'est-à-dire que l'ensemble de Julia rempli
JCc est connexe selon le théorème de Fatou-Julia. Comme P; (z) est un polynôme de
degré n de la variable z, il s'agit d'une fonction holomorphe non constante sur C.
Considérons le complément de l'ensemble de Julia rempli: C\JCc . Supposons qu'il existe
une composante connexe E de C\K-c qui soit bornée dans C. L'ensemble K-c étant fermé
(théorème 1.15), on a que l'ensemble C\JCc est un ensemble ouvert et donc, selon le
théorème 1.1, la composante connexe E est également un ensemble ouvert. De plus,
comme E est bornée, on a, selon le théorème 1.3, que P; (z ) atteint son module maximal
en un point Zo de BE et donc à l'extérieur de E puisqu'il s'agit d'un ensemble ouvert.
Ainsi, Zo appartient à JCc c'est-à-dire que IP;(zo) 1 S; r = max{l cl, 2} . Or, c'est le module
maximal de P;(z) sur E c'est-à-dire que pour tout z EE, 1P;(z) 1 S; 1P;(zo) 1 S; r et
donc z E K-c ce qui est une contradiction. Ainsi, C\K-c ne possède pas de composante
connexe bornée et donc c'est un ensemble connexe. Donc, JCc est sans trou, et comme
c'est un ensemble connexe, il est simplement connexe. 0
Le théorème de Fatou-Julia s'interprète de la manière suivante: l'ensemble de Julia
rempli K-c est connexe si et seulement si le complexe c appart ient à l'ensemble de
Mandelbrot. Inversement, l'ensemble de Julia rempli JC c est totalement non connexe si
24

0.8
-o. .4
FIGURE 1.8 - Cardioïde principale de l'ensemble de Mandelbrot
Une cardioïde est plus souvent exprimée en coordonnées polaires et donc voici l'ex­
pression de cette cardioïde en coordonnées polaires: p(e) = Hl-cos e) [3J. Le graphique
de la figure 1.9 représente cette cardioïde obtenues à l'aide de la forme polaire. Remar­
quons que cette cardioïde est centrée en (0, 0). Il faut donc lui faire faire une translation
afin que le centre soit au point (1/4, 0) pour ainsi obtenir exactement la cardioïde C.
-0.8
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
FIGURE 1.9 - Cardioïde principale de l'ensemble de Mandelbrot : p(e) = H l - cos e)
30

En utilisant la paramétrisation suivante [3] :
x(t)
y(t)
1 1
= 2 cos t (1 - cos t) + 4'
1
= 2 sin t(l - cos t) ,
on obtient la bonne cardioïde centrée au bon endroit comme en témoigne la figure 1.10.
FIGURE 1.10 - Cardioïde principale de l'ensemble de Mandelbrot équations paramétriques
Clairement, 0 E C (en effet, on a le point fixe Zc = 0 pour c = 0). En fait, la cardioïde C
est incluse dans l'ensemble de Mandelbrot c'est pourquoi nous l'appelerons la cardioïde
principale de l'ensemble de Mandelbrot.
Proposition 1.19 La cardioide C := {c).
l'ensemble de Mandelbrot. De plus, Be c M .
Preuve:
0.8
-0.8
>";2 - >..2/4 1>"1 < 1} est incluse dans
Soit cEe. Alors, il existe un point fixe attractif Zc (de facteur multipliant >"c) de P c tel
que
lim P2(z) = Zc
n--too
pour tout z dans un certain disque D(zc,

fixes définis précédemment (1.1) et correspondent donc aux paramètres c de la cardioïde
de l'ensemble de Mandelbrot. Les points périodiques de période supérieure à un corres­
pondent quant à eux à des paramètres c sit ués dans les différents bulbes que l'on peut
voir sur l'ensemble de Mandelbrot. La figure 1.11 montre les régions sur l'ensemble
de Mandelbrot qui correspondent à des points périodiques de périodes 1, 2, 3 et 4.
On peut trouver plus de détails sur la périodicité associée aux points de l'ensemble de
Mandelbrot dans [3].
FIGURE 1.11 - Régions de l'ensemble de Mandelbrot qui correspondent à des points
périodiques de périodes 1, 2, 3 et 4.
On a donc présenté les résultats les plus importants sur l'ensemble de Mandelbrot
et les ensembles de Julia remplis. Historiquement, une autre approche a également été
ut ilisée pour définir ces ensembles fractals importants : l'approche des familles normales.
Le prochain chapitre a pour objectif de retrouver estles ensembles de Julia remplis à
partir de cette approche.
33

Chapitre 2
Familles Normales de fonctions
Historiquement, une deuxième approche a été utilisée pour obtenir les ensembles
fractals présentés au chapitre 1, celle des familles normales. L'étude de la normalité
d'une famille de fonctions est un vast e sujet en soi et on en présentera seulement les
grandes lignes. Le lecteur désirant trouver les preuves qui ont été omises les trouvera
dans [24].
La première section aura pour objectif de présenter différents concepts en lien avec
les familles normales tels le concept de famille de fonctions localement bornée et celui
d'équicontinuité. On présentera ensuite les familles normales de fonctions holomorphes
puis de fonctions méromorphes en traitant dans les deux cas le théorème de Montel de
même que le critère fondamental de normalité. Ces deux théorèmes sont centraux dans
la théorie des familles normales.
Ultimement, et c'est l'objectif principal de ce chapitre, on présentera les ensembles
fractals présentés au chapitre 1 du point de vue des familles normales. On verra que les
ensembles de Julia remplis ainsi obtenus sont exactement les mêmes qu'avec l'approche
dynamique. Commençons tout d'abord par quelques notions préliminaires.
34

les points de la sphère sur le plan complexe. Cette projection est conforme c'est-à-dire
qu'elle préserve les angles.
Définition 2.1 Soit Pl, P 2 sur la sphère de Riemann correspondant respectivement à
Zl, Z2 dans le plan complexe étendu Cu { 00 }. La distance euclidienne entre Pl et P 2, qui
est la longueur de la corde reliant les deux points, définie une distance dans C U {oo} ,
appelée distance de corde :
et
si Zl E C et Z2 = 00.
En fait, si Zl f---7 Pl , Z2 f---7 P 2, alors on a IPI - P 2 1 = X(ZI, Z2 ) c'est-à-dire que X est une
métrique dans C. En fait, c'est même une métrique dans Cu {(x)} contrairement à la
norme euclidienne, d'où l'intéret de cette nouvelle métrique. Pour la suite, on référera
à X en utilisant le terme métrique sphérique puique c'est le terme employé dans la
majorité des ouvrages.
De manière évidente, on a X(ZI, Z2 ) < IZI - z21, Zl, Z2 E C. De plus, cette métrique
possède les propriétés suivantes :
où Zl, Z2 ECU {oo}. La première propriété découle du fait que X(ZI,Z2) correspond
à la distance euclidienne entre deux points se situant sur une sphère dont le diamètre
est 1. La deuxième propriété se démontre rapidement en faisant quelques manipula­
tions algébriques. On va donc, pour la suite, traiter de convergence en regard de cette
métrique.
36

Définition 2.2 Une suite de f onctions Un} converge (sphériquement) unifor­
m ément vers une fonction f sur un ensemble E ç C si, pour tout E > 0, il existe
un nombre no tel que n > no implique que
pour tout z EE.
If n(z ) - f(z )1 < E, [X(Jn(z ), f( z )) < E],
La proposition qui suit fait le lien entre la convergence uniforme et la convergence
sphérique uniforme. Par la suite, on redéfinira le concept de fonction continue en regard
de la métrique sphérique.
Proposition 2.1 Si la suite U n} converge uniformém ent vers une fo nction f sur un
ensemble E ç C, alors U n} converge sphériquem ent uniformém ent vers f sur E.
Inversement, si la suite {fn} converge sphériquem ent uniformém ent vers une fonction
bornée f sur un ensemble E ç C, alors U n} converge uniformém ent vers f sur E .
On remarque dans la deuxième partie de la proposition 2.1 qu'on a besoin que la
fonction f soit bornée pour que la suite {fn} soit uniformément convergente, contrai­
rement à la première implication de la proposit ion.
Définition 2.3 Une fonction f est sphériquem ent continue au point Zo E C sz
pour tout E > 0, il existe 8 > a tel que Iz - zol < 8 implique que X(J(z ), f(zo)) < t.
Remarque: Une fonction [sphériquement] continue sur un ensemble compact est uni­
formément [sphériquement] continue sur cet ensemble compact .
Cette remarque nous amène vers un concept fondamental dans la théorie des familles
normales, celui de convergence normale.
Définition 2.4 Une suite de fonctions, U n}, converge [sphériquem ent} uniformé­
ment sur les sous-ensembles compacts d 'un domaine n vers une fonction f si,
37

famille de fonctions F est équicontinue sur les ensembles compacts de n. 0
Bien entendu, une famille de fonctions équicontinue n'est pas nécessairement loca-
lement bornée.
On peut à partir de maintenant developper le concept de famille normale dans le cas
des fonctions holomorphes. On verra entre autres le théorème de Montel ainsi que le
critère fondamental de normalité qui nous donneront deux critères relativement simples
pour déterminer si une famille de fonctions holomorphes est normale ou non.
2.2 Familles normales de fonctions holomorphes,
théorème de Montel et critère fondamental de
normalité
Nous allons maintenant présenter les résultats sur les familles normales de fonctions
holomorphes. Le premier t héorème important de cette section est le théorème de Montel.
Il nous donnera un critère simple pour déterminer la normalité d'une famille de fonctions
holomorphes. L'autre résultat important de cette section est le critère fondamental de
normalité, résultat également développé par Paul Montel [24]. Le critère fondamental
de normalité a conduit à plusieurs résultats par la suite. Avant de présenter ces deux
résultats, présentons tout d'abord la défini tion de famille de fonctions holomorphes
normale.
D éfinition 2.8 Une famille F de fonctions holomorphes sur un dom aine n ç C est
normale dans n si pour chaque suite de f onctions U n} ç F , il existe soit une sous­
suite qui converge unifo rm ém ent sur chaque compact de n vers une f onction f =1- 00,
soit une sous-suite qui converge uniformément sur chaque compact de n vers 00.
Remarque : Dans le cas où la sous-suite {fnk } converge uniformément vers 00, cela
signifie que pour chaque compact K e n et pour chaque constante M > D, il existe
44

Exemple 2.10 Soit S := {f 1 f est holomorphe et univalente dans U, f(O) = 0,1'(0) =
l}. Ces fonctions sont connues comme les « fonctions de Schlicht normalisées» sur U.
On a, pour z E U, que
Izl
If(z)1 ::; (1-lzl)2'
Ainsi, S est localement bornée et donc normale.
voir [24}.
On peut trouver plusieurs autres exemples dans [24]. Avant de passer au concept de
famille normale de fonctions méromorphes, on va présenter quelques résultats supplémen­
taires, le plus important étant le critère fondamental de normalité. Tout d'abord,
présentons le théorème de Vitali-Porter, résultat équivalent au théorème de Montel.
Théorème 2.11 Vitali-Porter
Soit Un} une suite de fonctions holomorphes localement bornée dans un domaine n telle
que limn-too fn(z) existe pour tout z dans un certain ensemble E ç n qui possède un
point d'accumulation dans n. Alors {fn} converge uniformément s'ur les sous-ensembles
compact de n vers une fonction holomorphe.
Théorème 2.12 Soit Un} une suite de fonctions localement bornée dans un domaine
n telle que chaque sous-suite convergente de fonctions converge vers une fonction g.
Alors {fn} converge uniformément sur les compacts vers g sur n et g est holomorphe.
On peut maintenant énoncer le critère fondamental de normalité (FNT, de l'anglais
Fundamental Normality Test).
Théorème 2.13 Critère fondamental de normalité
Soit F , une famille de fonctions holomorphes sur un domaine n qui ne prend pas deux
valeurs fixes a et b de C. Alors, F est normale dans n.
Lorsque l'on dit qu'une valeur a est prise par une fonction f , c'est qu'il existe au
moins un point du domaine qui envoie f sur a. Lorsque l'on dit qu'une valeur a n'est
pas prise par une famille de fonctions F , c'est que a n'est prise par aucune fonction f
52

de F . Le FNT est au coeur de la théorie des familles normales. Il permet, entre autre,
de démontrer le théorème de Picard.
D éfinition 2.10 Une fonction à valeurs complexes est dites entière si elle est définie
et holomorphe sur tout le plan complexe.
Théorème 2.14 Théorèm e de P icard
Une fonction entière non constante prends toutes les valeurs du plan complexe excepté
au maximum une valeur.
Remarque : Une formulation équivalente de ce théorème est la suivante:
Si f est une fonction entière et s'il existe deux nombres complexes distincts qui ne sont
pas pris par f , alors f est constante.
La preuve originale de E. Picard en 1879 a été reprise par Montel en 1912, mais en
utilisant plutôt le FNT. On peut trouver cette preuve, ainsi que d'autres conséquences
importantes du FNT dans [24]. Dans la prochaine section, on s'intéressera à la normalité
d 'une famille de fonctions, mais dans le cas de fonctions méromorphes.
2.3 Familles normales de fonctions méromorphes
Rappelons tout d'abord la définition de fonction méromorphe.
D éfinition 2.11 Une fonction f est appelée méromorphe dans un domaine n s'il
existe un ensemble A c n tel que
1. A ne possède pas de point d'accumulation dans n,
2. f est holomorphe dans n\A,
3. f a un pôle à chaque point de A .
Rappel 6 Soit Zo E C, un point singulier d 'une fonction f. Alors, Zo est appelé pôle
de la fonction f si et seulement si limz-tzo 1 f (z) 1 = 00.
53

La définition de fonction méromorphe n'exclue pas la possibilité que A = 0. Ainsi, si
f est holomorphe dans n, elle est également méromorphe dans n. Aussi, l'ensemble A
est au plus dénombrable. Le prochain théorème donne une défini tion équivalente, mais
plus simple pour les fonctions méromorphes [22].
Théorème 2.15 Une fonction f est méromorphe dans un domaine n si et seulement
s 'il existe deux fonctions g et h holomorphes dans n telles que f = g/ h .
L'étude de la normalité d'une famille de fonctions méromorphes se fait plus natu­
rellement avec la métrique sphérique. Le dernier résultat avant de pouvoir définir la
normalité d'une famille de fonctions méromorphes est plutôt intéressant, bien que peu
intuit if.
Proposition 2.16 Si f (z) est méromorphe dans un domaine n, alors f est sphérique­
ment continue dans n.
Donnons maintenant la définition de normalité dans le cas d'une famille de fonctions
méromorphes.
Définition 2.12 Une famille de fonctions méromorphes F dans un domaine n est
normale dans n si chaque suite U n} ç F possède une sous-suite qui converge sphéri­
quement unifo rmément sur les sous-ensembles compacts de n.
Corollaire 2.17 Soit Un} une suite de fonctions méromorphes sur n qui converge
sphériquement uniformément sur les sous-ensembles compacts de n vers une fo nction
f . A lors f est soit méromorphe dans n, soit identiquement 00 .
Ainsi, la différence entre la définition de famille normale de fonctions holomorphes
et celle de famille normale de fonctions méromorphes réside dans la métrique qui est
utilisée. En effet, dans le cas des familles de fonctions holomorphes, la sous-suite est uni­
formément convergente sur les sous-ensembles compacts alors qu'elle est sphériquement
uniformément convergente dans le cas des familles de fonctions méromorphes.
54

La distinction entre les deux est importante. Lorsque l'on traitera de la normalité
d 'une famille de fonctions méromorphes, on utilisera le terme convergence normale
pour désigner la convergence sphérique uniforme sur les sous-ensembles compacts.
Sans surprise, on peut substituer les fonctions méromorphes pour des fonctions ho­
lomorphes dans le dernier corollaire et le résultat reste valide.
Si la définition de famille normale de fonctions méromorphes est semblable à celle de
famille normale de fonctions holomorphes, le théorème de Montel, quant à lui, ne trouve
pas d'exacte réplique dans le cas des fonctions méromorphes. En effet, le concept de fa­
mille localement bornée n 'est pas très intéressant dans le cas des fonctions méromorphes.
On peut cependant le remplacer par l'équicontinuité sphérique et on optient le théorème
suivant, analogue au t héorème de Montel, mais pour les fonctions méromorphes:
Théorème 2.18 Une famille F de fo nctions méromorphes dans un domaine n est
normale si et seulement si elle est sphériquement équicontinue dans n.
Contrairement au cas des fonctions holomorphes où le théorème de Montel avait des
limitations, ici l'implication est dans les deux sens, ce qui explique en partie le fait que
les familles normales de fonctions sont plus naturellement étudiées dans le contexte des
fonctions méromorphes.
Le critère fondamental de normalité a lui aUSSI son analogue pour les fonctions
méromorphes.
Théorème 2.19 Critère fondamental de normalité
Soit F une famille de fonctions mémmorphes dans un domaine n qui ne prend pas tmis
valeurs distinctes a, b et c dans C. Alors, F est normale dans n.
Remarquons que ce critère fondamental de normalité fonctionne également pour
n ç Cu {oo}. Finalement, voici l'analogue du théorème de Vitali-Porter :
55

Théorème 2.20 Soit Un} une suite appartenant à une famille de fonctions méromor­
phes sphériquement équicontinue telle que limn-too fn (z) existe pour tout z dans un
certain ensemble E ç st qui possède un point d'accumulation dans st. Alors, Un}
converge sphériquement uniformément sur les sous-ensembles compacts de st.
Finalement, la dernière section de ce chapitre, présentera les ensembles de Julia
remplis en utilisant les familles normales de fonctions. Il s'agit d'une approche différente
de celle présentée au chapitre 1, mais qui donne les mêmes ensembles.
2.4 Systèmes dynamiques
On a vu dans le chapitre 1 que l'ensemble de Julia est en fait la frontière de l'en­
semble de Julia rempli qui lui correspond. On rappelle que l'ensemble de Julia rempli
correspondant au paramètre cEe correspond à l'ensemble des points pour lesquels les
itérés de la fonction Pe(z) := Z2 + c restent bornés. Il s'agit là d'une définition d'un
point de vue dynamique, mais on peut également définir ces ensembles fractals du point
de vue des familles normales.
Le point de départ pour pOUVOlr ensuite définir les autres ensembles fractals est
l'ensemble de Julia.
Définition 2.13 Ensemble de Julia
Soit la fonction Pe(z) = Z 2 + c. On définit l'ensemble de Julia associé au paramètre c,
noté Je, de la manière suivante :
:le := {z E CI {P;} n'est pas normale en z}.
L'ensemble de Julia associé au paramètre c est donc l'ensemble des points irréguliers
de la famille de fonctions {P;-}.
On a vu dans la section 1.3 que l'ensemble de Fatou associé au paramètre c est défini
comme étant le complément de l'ensemble de Julia Je' Cette définition reste valide et
on peut donc donner la définition suivante :
56

Chapitre 3
Nombres multicomplexes
Dans ce chapitre, on présentera une généralisation des nombres complexes, encore
peu connue de nos jours : les nombres multicomplexes. Cette structure de nombres
est celle que l'on utilisera dans le prochain chapitre pour généraliser les ensembles de
Mandelbrot et de Julia remplis.
Dans la première section, nous allons faire une présentation générale des nombres
bicomplexes (multicomplexes d'ordre n = 2), puis des nombres tricomplexes (multicom­
plexes d'ordre n = 3), pour finalement présenter, de manière plus générale, les nombres
multicomplexes d'ordre n . Pour les sections qui suivront, l'on présentera différentes pro­
priétés importantes, respectivement pour les ordres 2,3 et n. Nous ne nous contenterons
pas seulement de présenter les notions qui seront utilisées pour le chapitre suivant, nous
allons également présenter plusieurs autres caractéristiques intéressantes de ces struc­
tures de nombres.
La dernière section, quant à elle, portera sur certains sous-espaces des nombres tri­
complexes. Ces ensembles seront utiles dans le chapitre 4 lorsque viendra le temps
de définir et de comparer les différentes coupes tridimensionnelles de l'ensemble de
Mandelbrot généralisé. Commençons donc par présenter ce que sont les nombres mul­
ticomplexes.
59

(-1)( -1) = 1. L'addition et la multiplication de deux nombres bicomplexes sous leur
Wl + W2 '- ( Zl + Z3 ) + (Z2 + z4)i2 ,
W l . W2 '- (Zl Z3 - Z2 Z4 ) + ( Z l Z4 + Z2 Z3 )i2 .
Aussi, comme on s'y at tend, on a W l = W2 si et seulement si Zl = Z3 et Z2 = Z4 . Ces
propriétés sont vraies pour les nombres multicomplexes en général et donc nous ne les
répétrons pas plus loin vu leur trivialité. Pour effectuer l'addition ou la multiplication de
nombres bicomplexes sous la forme 3.2, on utilise les règles classiques de distributivité.
Le résultat des divers produits entre les différentes unités imaginaires qui composent
les nombres bicomplexes est décrit dans le tableau 3.1.
TABLE 3.1 - Produits des unités imaginaires bicomplexes
1 . Il il 1 i2 1 jl 1
Il -1 JI -12
i2 jl -1 -h
JI -12 - 11 1
Ces dernières propriétés permettent de remarquer que l'addition de même que la mul­
tiplication de nombres bicomplexes sont associatives et commutatives.
Remarque: Si on utilise l'unité hyperbolique jl plutôt que l'unité imaginaire h dans
la définition des nombres complexes, on obtient l'ensemble suivant :
définit comme ét ant l'ensemble des nombres duplexes ou hyperboliques [13] .
(3.3)
Comme nous avons pu le constater, les nombres bicomplexes sont, en quelque sorte,
le résultat de la complexification des nombres complexes à l'aide de l'unité imaginaire
h. Nous pouvons répéter le processus une autre fois afin d'obtenir une stucture de
61

imaginaires de la façon suivante :
M(3) := {( = Xo + x1h +X2i2 + X3 i3 + X4 i4 + x5h + x6h +x7h 1 Xi E M(O), i = 0, ... , 7} .
(3.6)
On remarque donc qu'un nombre tricomplexe possède un membre réel, quatre membres
imaginares et trois membres hyperboliques. Les divers produits des unités imaginaires
se retrouvent dans le t ableau 3.2.
TABLE 3.2 - Produits des unités imaginaires tri complexes
1 . Il h 1 i2 1 i3 1 i4 1 jl 1 h 1 h 1
Il -1 JI J2 -J3 -i2 -i3 i4
i2 jl -1 j3 -J2 -il 14 -13
i3 h h -1 -jl 14 -Il -12
i4 -h -h -jl -1 i3 12 Il
JI -12 -Il i4 i3 1 -h -j2
h -i3 i4 -il i2 -j3 1 -JI
J3 14 -i3 -i2 Il -j2 -jl 1
Lorsque l'on veut additionner ou multiplier deux nombres tricomplexes dans les
représentations 3.5 ou 3. 6, on utilise les règles de distributivité de même que le tableau
ci-dessus pour la multiplication. Tout comme pour les nombres bicomplexes, l'addition
et la multiplication de nombres tricomplexes sont associatives et commutatives.
Les nombres bicomplexes et tri complexes sont en fait des cas part iculiers de nombres
multicomplexes. Nous nous att arderons ici sur la structure multicomplexe la plus généra­
le : les nombres multicomplexes d'ordre n . En voici la notation classique :
(3.7)
Comme le produit d'unités imaginaires et le produit de nombres réels sont commuta­
tifs, le produit de deux nombres multicomplexes d'ordre n est lui aussi commutatif. C'est
une propriété que la plupart des systèmes de nombres hypercomplexes ne possèdent pas.
Répétons maintenant le procédé de décomposition que l'on a utilisé pour les nombres
63

L'addition de nombres mult icomplexes d'ordre n se fait toujours selon les règles ha­
bituelles peu importe la représentation utilisée. Lorsqu'on mult iplie deux nombres mul­
ticomplexes d'ordre n sous une représentation différente de celle présentée en 3.7, on
utilise la distributivité ainsi que la règle de multiplication des unités imaginaires.
Dans la prochaine section, nous allons traiter une autre not ation importante pour
les nombres multicomplexes, soit la représentation idempotente. Cette représentation
des nombres multicomplexes sera primordiale pour démontrer plusieurs résultats du
chapitre 4.
3.2 Représentation idempotente
Une notion fondamentale de la théorie des nombres multicomplexes est la représenta­
tion idempotente. Un nombre ( E M(n) est appelé idempotent lorsque (2 = ( . On
verra qu'il est possible d'exprimer les nombres multicomplexes comme une combinaison
linéaire d'éléments idempotents. De plus, on définira un produit cartésien multicomplexe
à partir de cette représentation idempotente. On sera à même de constater dans le
chapitre 4 toute l'importance de la représentation idempotente de même que celle de
ce produit cartésien.
Comme on l'a fait lorsqu'on a présenté les nombres multicomplexes, l'on commencera
par présenter la notation idempotente pour les nombres bicomplexes et tricomplexes en
premier. Considérons les nombres bicomplexes suivants:
'Yl := (3.9)
Ces deux nombres ont les propriétés suivantes:
66

La propriété a) est la propriété d'idempotence. La propriété c) est la propriété d'ortho­
gonalité entre les nombres 'Y1 et 1 1. Ces deux nombres bicomplexes nous permettent de
réécrire un nombre bicomplexe W = Zl + Z2i2 de la manière suivante:
(3.10)
Les propriétés d'idempotence et d'orthogonalité nous permettent de multiplier des
nombres bicomplexes sous forme idempotente terme à terme. En effet, soit Wl =
Zl + Z2i2 = (Zl - z2h h 1 + (Zl + Z2 i1)11 et W2 = Z3 + Z4i2 = (Z3 - z4h h 1 + (Z3 + z4h )11 '
alors
Il Y a également une représentation idempotente pour les nombres tricomplexes et, plus
généralement, pour les nombres multicomplexes d'ordre n. Considérons les nombres
tri complexes suivants :
qui sont idempotent et orthogonaux par les propriétés suivantes:
1- h
2
On peut alors réécrire un nombre tricomplexe ( = Wl + W2i3 de la manière suivante:
(3.11)
(3.12)
De plus, on a Wl = Zl + Z2i2 et W2 = Z3 + Z4i2 ' Zl, Z2, Z3, Z4 E M(l). En remplaçant
dans ( on obtient ( = (Zl + Z2i2 - ( Z3 + Z4i2 )i2h2 + (Zl + Z2i2 + (Z3 + Z4i2 )i2 )12 =
(Zl + Z4 + (Z2 - z3) i2h2 + (Zl - Z4 + (Z2 + z3) i2)12, mais (Zl + Z4 + (Z2 - z3)h ) et
(Zl - Z4 + (Z2 + z3) i2) sont des nombres bicomplexes c'est-à-dire que l'on peut les
67

éécrire sous la forme idempotente:
Zl + Z4 + (Z2 - z3 )i2
Zl - Z4 + (Z2 + z3 )i2
((Zl + Z4) - (Z2 - z3)i1){1 + ((Zl + Z4) + (Z2 - z3) h);;Yl ,
((Zl - Z4 ) - (Z2 + z3 )i1){1 + ((Zl - Z4) + (Z2 + z3)h);;Yl'
Ainsi, on a la représentation idempotente à quatre éléments idempotents d'un nombre
tricomplexe :
( = (( Zl + Z4) - ((Z2 - z3 )h){l1'2 + ((Zl + Z4) + ((Z2 - z3) h));;Yli2
+ ((Zl - Z4) - ((Z2 + z3) h))'Yl;;Y2 + ((Zl - Z4) + ((Z2 + z3) h));;Yl;;Y2'
Les nombres '1'1 'Y2, 'YI ;;Y2, ;;Y(Y2, ;;Yl;;Y2 sont idempotents et orth9gonaux deux à deux en
vertue des propriétés énoncées précédemment. Établissons une notation abrégée pour
cette représentation. Soit ( = Wl + W2i3 = Zl + Z2i2 + Z3i3 + z4h E M(2). On définit les
nombres complexes suivants:
W'Yl'Y2
W'Y02
W'Yl'Y2
W'Yl'Y2
'- (Zl + Z4) - (Z2 - z3)h,
'- (Zl + Z4 ) + (Z2 - z3) h , (3.13)
'- (Zl - Z4) - (Z2 + z3) h,
'- (Zl - Z4) + (Z2 + z3) h.
On remarque alors que le nombre tricomplexe ( peut s'exprimer en fonction de quatre
éléments idempotents de la manière suivante :
(3.14)
Les représentations idempotentes 3.12 et 3.14 permettent, entre autre, d'additionner et
de multiplier les nombres tricomplcxes terme à terme. Similairement à ce qu'on a fait
avec les nombres bicomplexes et tricomplcxes, considérons les nombres multicomplexes
d'ordre n suivants:
qui sont idempotents et orthogonaux par les propriétés suivantes :
68
(3.15)

a)
"12 - 'V •
In-1 - rn-l,
b) "(n-1 + 1n-1 = 1;
-2 -
"(n-1 = "(n- 1;
c) "(n-11n-1 = 1n-1 "(n-1 = Q.
On peut alors réécrire les nombres multicomplexes de la manière suivante:
(3.16)
Dans le cas des nombres tricomplexes, on a vu une décomposition en terme de quatres
éléments idempotents. Bien entendu cette décomposition est également possible pour
les nombres multicomplexes d'ordre n, n > 3. En fait, comme il y a une multitude
de représentations possibles pour les nombres multicomplexes, il y a également une
multitude de représentations possibles à l'aide d'éléments idempotents. Construisons
n - 1 ensembles Sb ... , Sn-l, d'éléments idempotents:
Sl '- {"(n-1,1n-d,
S2 '- { "(i"fj l "(i E {"(n-2, 1n-2 } ,"(j E Sd '
Sk '- { ,,(i"fj l "(i E {"(n-k,1n-k} ,"(j E Sk-d,
(3.17)
L'ensemble Sk contient 2 k éléments, chacun étant le produit de k nombres idempo-
tents correspondant aux dimensions supérieures. Par exemple, pour n = 5, les éléments
idempotents de l'ensemble S3 sont "(2"(3"(4, "(2"(314, "(213"(4, 12"(3"(4, "(21314' ... Les éléments
de Sk sont tous idempotents et orthogonaux deux à deux. Ainsi, on pourra représenter
( E M(n) comme une combinaison linéaire des 2 k nombres idempotents de Sk par des
coefficients multicomplexes d'ordre n - k. Allons voir plus en détails la représentation à
l'aide de quatre nombres idempotents, c'est-à-dire celle correspondant à l'ensemble S2.
Soit ( = (1 + (2in-l + (3in + (4.Ïn. Alors les éléments suivants:
69

( Yn- 2'Yn- l .- ((1 + (4) - ((2 - (3)in- 2,
('Yn-2'Yn-l
('Yn 2'Yn-l
.- ((1 + (4) + ((2 - (3)in- 2,
.- ((1 - (4) - ((2 + (3)in- 2,
('Yn-2'Yn- l .- ((1 - (4) + ((2 + (3)in- 2,
(3.18)
nous permettent de représenter 'fJ à l'aide des quatre éléments idempotents de 52 de la
manière suivante:
(3.19)
Encore une fois, peu importe la représentation idempotente multicomplexe utilisée, on
pourra effectuer la multiplication de deux nombres multicomplexes d 'ordre n terme à
terme.
Un autre avantage de la représentation idempotente est qu'elle permettra de faire
aisément les preuves de plusieurs résultats dans le prochain chapitre. Ce que nous
allons utiliser le plus souvent est une sorte de produit cartésien multicomplexe.
Définition 3.1 On dit que l'ensemble X ç M(n) est l'ensemble produit cartésien­
M(n) déterminé par Xl, X 2 ç M(n - 1) si
X:= Xlx 'Yn_lX2:= {(I+(2in E M(n) 1 (1+(2in = UOn-I+U2'Yn-l, (UI,U2) E X I XX2}.
Ainsi, X = Xl X'Yn _ l X 2 représente l'ensemble des nombres multicomplexes d 'ordre
n que l'on peut former en prenant un nombre multicomplexe d'ordre n - 1 dans Xl
comme coefficient de Î'n- l et un autre dans X 2 comme coefficient de 'Yn-l. Il apparait
alors que M(n) = M(n - 1) x'Yn- l M(n - 1). Aussi, si on a un ensemble X ç M(n),
alors des ensembles Xl, X 2 E M(n - 1) tels que X ç Xl X 'Yn_ l X 2 existent. Remarquons
également que l'application suivante:
M(n)2 = M(n) x M(n) -'4 M(n) x'Yn- l M(n) = M(n + 1)
((l, (2) f------7 (On-l + (2'Yn-l '
70

constitue un homéomorphisme. Il s'agit là d'une propriété que l'on utilisera pour mon­
trer la connexité de l'ensemble de Mandelbrot généralisé ainsi que celle des ensembles
de Julia remplis généralisés.
Ce produit cartésien multicomplexe sera très utile dans le prochain chapitre. En
général, on aura besoin de décomposer l'ensemble initial (multicomplexe d'ordre n) à
l'aide du produit cartésien multicomplexe une seule fois. Entre autres, on se servira des
produits cartésiens bicomplexes (3.20) et tricomplexes (3.21).
Xl X'Yl X 2 := { Zl + Z2i 2 E M(2) 1 Zl + Z2 i 2 = Ul'YI + U2'YI, (UI, U2) E Xl X X 2}, (3.20)
X 3 X'Y2 X 4 := {WI +W2i 3 E M(3) 1 WI + W2i 3 = Ul'Y2 +U2'Y2, (UI, U2) E X 3 x X 4 }, (3.21)
où Xl, X 2 ç M(l) et X 3 , X 4 ç M(2). On verra dans le chapitre suivant comment
utiliser ce produit cartésien multicomplexe afin de démontrer les différents résultats de
dynamique multicomplexe.
3.3 Conjuguaison des nombres multicomplexes
Nous avons vu dans les sections précédentes que la structure des nombres multi­
complexes d'ordre n est associative et commutative sous l'addition et la multiplication.
Les prochaines sections traiterons d'autres propriétés générales de cette structure de
nombres en commençant par la conjugaison.
Avec les nombres complexes est apparu la notion de conjugaison. Qu'advient-il lorsque
l'on veut conjuguer les nombres multicomplexes? Considérons le nombre bicomplexe
W = Zl +z2h. Ainsi, on peut utiliser la même méthode qui a été utilisée pour conjuguer
les nombres complexes et définir un conjugué multicomplexe de la manière suivante :
W = Zl + Z2i2 := Zl - Z2 i 2. Par contre, comme Zl et Z2 sont complexes, on peut également
les conjuguer et donc on aurait pu définir la conjugaison d'un nombre bicomplexe de
cette façon : W = Zl + Z2 i 2 := Zï + Z2 i 2 . Puis pourquoi ne pas utiliser les deux façons
en même temps : W = Zl + Z2 i2 := Zl - z2h ? En fait ces trois façons de conjuguer
71

un nombre bicomplexe possèdent les propriétés recherchées pour un conjugué. On les
considérera donc comme trois manières différentes de conjuguer un nombre bicomplexe.
Définition 3.2 Soit W = Zl + z2i2 E M(2) et Zl, Z2 les conjugués comple.us.
1. On définit le conjugué bicomplexe de w selon h de la manière suivante:
2. On définit le conjugué bicomplexe de w selon i2 de la manière suivante :
3. On définit le conjugué bicomplexe de w selon h et i 2 de la manière suivante:
Lorsque l'on écrit le nombre bicomplexe W avec des coefficients réels, on obtient
Ces trois formes de conjugaison des nombres bicomplexes ont les propriétés suivantes:
Proposition 3.2 Soit Wl, W2 E M(2). Alors on a
a) (Wl ± W2)ti = Wl ti ± W2 ti ,
b) (wti )ti = Wl,
pouri=1, 2,3.
Preuve:
Pour chacune des trois propriétés, nous allons effectuer la preuve pour le troisième
conjugués. Les preuves pour les deux autres conjugués sont similaires. Tout d'abord, on
a Wl, W2 E M(2) , c'est-à-dire qu'il existe Zl , Z2, Z3 et Z4 E M(l) tels que Wl = Zl + z2i2
et W2 = Z3 + z4i2.
72

• (h = Wl t + W2 t i 3 ,
• (b = Wl - W2i3 ,
• (h = Wl t - W2 t i 3 ,
où Wl t ,W2t représentent les conjugués de Wl et W2 dans M(2). Cependant, comme nous
l'avons vu, il y a trois formes de conjugaisons dans M(2). Il en découle donc que les
trois formes de conjugaisons énoncées précédemment ne sont pas complètes. Voici donc
les sept formes de conjugaison dans M(3).
Définition 3.3 Soit ( = Wl + W2i3 E M(3) et h, h, ts les trois conjuguaisons bicom­
plexes. Il existe sept conjugués tricomplexes de ( :
1. Çl:l := Wl- W2i 3 ,
2. ç!:2 := Wlh + W2tIi 3,
3. çl:J := Wlb + w2 bi 3,
4. Çl:4 := Wlh + w2 h i 3,
5. (h := Wlh - W2 tIi3,
6. (t6 := Wlb- w2 b i 3,
7. (h := Wlh- w2 h i3.
Ces sept formes de conjugaisons possèdent également les propriétés propres aux conjugués.
Proposition 3.5 Soit (1 , (2 E M(3). Alors on a :
a) ((1 ± (2)ti = (lti ± (2 ti ,
b) (di)ti = (1,
c) ((1' (2)ti = (1 ti . (2 ti ,
pour i = 1, ... , 7.
Preuve:
75

a) Démontrons la propriété a) pour le conjugué h Les autres conjugués se démontrent
similairement. On a (1, (2 E M(3), c'est-à-dire qu'il existe Wl, W2, W3, W4 E M(2)
tels que (1 = Wl + W2i3 et (2 = W3 + W4i3 ' Alors, ((1 ± (2):1:2 = (Wl + W2 i3 ± (W3 +
W4i3 )):1:2 = (( Wl ± W3) + (W2 ± w4) i3):1:2 = (Wl ± W3) h + (W2 ± W4) h i3 par définition
de :1:2- Ainsi, (Wl ± W3)h + (W2 ± W4) t1 i3 = (Wl h ± W3 h ) + (W2 h ± W4 h )i3 par la
propriété a) de la proposition 3.2. Ainsi, ((1 ± (2)+2 = (Wl h + W2h i3 ) ± (W3 h +
W4 t1 i3) = (1+ 2 ± (2+ 2 .
b) Démontrons la propriété b) pour le conjugué +6. Les autres conjugués se démontrent
similairement. On a (1 E M(3), c'est-à-dire qu'il existe Wl, W2 E M(2) tels que
(1 = Wl + W2i3' Alors, ((1+ 6 )+6 = ((Wl + W2i3 )+6)+6 = (Wl h - W2h i3 )+6 = (Wl h)h +
(W2h)h i3 = Wl + W2i3 = (1 par la propriété b) de la proposition 3.2.
c) Démontrons la propriété c) pour le conjugué h- Les autres conjugués se démontrent
similairement. On a (1, (2 E M(3), c'est-à-dire qu'il existe Wl, W2, W3, W4 E M(2)
tels que (1 = Wl + W2i3 et (2 = W3 + W4i3' Alors, ((1 ' (2)+s = ((Wl + W2i3) . (W3 +
W4i3 ))+5 = (((Wl 'W3)-(W2'W4))+(( Wl 'W4)+( W2'W3)) i3 )+5 = (( Wl'W3)-(W2'W4))h­
((Wl 'W4)+(W2'W3))t Q3 par définition de h- Aussi, par les propriétés a) et c) de la
proposition 3.2, ((Wl . W3) - (W2' w4))h - ((Wl . W4) + (W2' w3))h i3 = (Wl h . W3 h -
w2h'W4h)_(Wlh'W4h+W2h'W3h)i3 = (wlh-W2h i3 )'(W3h-W4hi3) = (1+ 5 ·(2+s.
o
Tout comme pour les nombres bicomplexes, on définit un conjugué tricomplexe
identité +0 comme suit: (+0 := (, ( E M(3). Les relations entre les conjugués tricom­
plexes sont données par la proposition suivante:
Proposition 3.6 Le résultat de la composition de deux conjugués tricomplexes est
donné par le tableau suivant:
76

Preuve:
L'écriture et la comparaison des différentes tables de Cayley suffit à nous convaincre du
résultat. 0
Si on exclu les conjugués identités, on a vu qu'il existe trois différentes formes de
conjugaison pour les nombres bicomplexes et qu'il en existe sept pour les nombres
tricomplexes. La proposition suivante nous indique combien il y en a dans le cas des
nombres multicomplexes d'ordre n.
Proposition 3.9 Il existe 2 n - 1 manières de conjuguer les nombres multicomplexes
d'ordre n. Soit (l, (2 E M(n), alors les conjugués multicomplexes sont tels que
i) ((1 ± (2)tn,i = (1 tn,i ± (2 tn ,i ,
ii) (dn,i )tn,i = (l,
iii) ((1' (2)tn ,i = (ltn,i . (2 tn,i,
pour i = 1, ... , 2 n - 1.
Remarque : Le symbôle tn,i signifie le ième conjugué d 'ordre n . L'ensemble des
conjugués d'ordre n sera désigné par t n. Lorsqu'aucune dinstinction sur le conjugué
n 'est nécessaire et lorsqu'il n 'y a pas matière à confusion, on utilisera également tn
pour désigner un conjugué quelquonque d'ordre n.
Preuve:
Effectuons la preuve par induction. Pour n = 1, alors ( E M(I) = C et il existe une
seule forme de conjugaison dans C, c'est-à-dire 2 1 - 1 = 1. De plus, le conjugué com­
plexe possède les propriétés (i) , (ii) et (iii). Supposons que pour ( E M(k), il existe
2 k - 1 façons de conjuguer (. Soit ( E M(k + 1). Alors ( = (1 + (2 ik+b (l, (2 E M(k).
On peut donc conjuguer ( de trois façons:
a) (tk+l,a = (lh + (2h ik+b
b) (h+l,b = (1 - (2ik+b
79

les conjugués multicomplexes d 'ordres supérieurs à trois où l'on n 'a pas pris la peine
de les décrire formellement. On sait cependant combien il y en a et la structure qui
régit leurs relations. On traitera dans la prochaine section des nombres multicomplexes
inverses. On verra, entre autre, que les différents conjugués multicomplexes permettent
de calculer ces inverses.
3.4 Nombres multicomplexes non inversibles
Un avantage de la structure des nombres multicomplexes est qu'il s'agit d'une struc­
ture de nombres commutative sous la multiplication. C'est une propriété souvent ab­
sente dans le cadre général des nombres hypercomplexes. Un inconvénient de cette
structure de nombres est qu'il y a des diviseurs de zéro, c'est-à-dire des éléments qui
ne possèdent pas d 'inverse multiplicatif. C'est l'objet de cette section. L'on aurait pu
élaborer davantage sur le suj et, mais on tenait seulement à présenter le concept et les
propriétés les plus importantes puisqu'il s'agit d'un sujet qu'on ne pouvait omettre de
traiter. Rochon [20] de même que Price [16] fournissent plus de détails sur les éléments
non inversibles des nombres multicomplexes.
On dit qu'un nombre multicomplexe ( E M(n) est inver sible ou encore non singu­
lier s'il existe un unique nombre multicomplexe rJ E M (n) tel que ( . rJ = 1. Le nombre
rJ est appelé inverse m ultiplicatif, ou simplement inverse, du nombre multicomplexe (.
L'ensemble des nombres multicomplexes d 'ordre n inversibles est donc
M(n)-l := { ( E M(n) 1 :3! rJ E M(n), (. rJ = 1}. (3.22)
Ainsi, l'ensemble des nombres multicomplexes d 'ordre n non inversibles est NC n :=
On := (M(n) - l y = { ( E M(n) 1 ( . 1] =1- 1, V1] E M(n)}. La représentation idempotente
nous aidera à caractériser les éléments non inversibles.
84

élém ents idempotents (3. 13) et on obtient, sous la représentation idempotente (3.14),
la réécriture ( = (4 + 4h )1'l1'2, c'est-à-dire qu 'on a trois coefficients qui sont nuls et
donc ce nombre tricomplexe n'est pas inversible.
Remarquons également que 0 0 C 0 1 C ... C On C ... , c'est-à-dire que les nombres
multicomplexes d'ordre n qui ne sont pas inversibles ne sont pas plus inversibles lors­
qu'on les considère dans le cadre des nombres multicomplexes d'ordre m 2 n, ce qui
est conforme à ce qu'on attendait.
Des derniers résultats, on peut déduire un autre critère pour les nombres bicomplexes.
Corollaire 3.14 Soit w = Xl + x2 h + X3 i2 + x4.h E M(2). Alors, west non inversible
si et seulem ent si (Xl = X4 et X2 = -X3) ou (Xl = -X4 et X2 = X3).
Finalement, les conjugués multicomplexes nous permettent de calculer les nombres mul­
ticomplexes inverses et nous fournissent donc également un critère pour vérifier qu'un
nombre est inversible. En effet , soit ç = (1 + (2in un nombre multicomplexe d'ordre n
et considérons, par exemple, le conjugué ( t = (1 - (2in. Ainsi, le nombre (t / (a + (n
est l'inverse du nombre ( et il existe si et seulement si (r + a -=1 O. Le conjugué qu'on
a utilisé ici est probablement la manière la plus simple de vérifier qu'un nombre multi­
complexe est inversible. Remarquons qu'il est également possible de calculer l'inverse, et
donc de trouver un critère d'inversion, à l'aide de chacun des conjugués multicomplexes.
3.5 Les nombres multicomplexes comme une sousalgèbre
d 'une algèbre de Clifford
Afin de faire un lien avec une théorie bien connue, nous allons présenter les nombres
multicomplexes comme une sous-algèbre d'une algèbre de Clifford réelle. Commençons
tout d'abord par donner quelques notions préliminaires sur les algèbres de Clifford [23].
Tout d'abord, considérons {el , e2, .. . , en }, la base canonique de l'espace vectoriel eu­
clidien }Rn et Clo,n l'algèbre de Clifford réelle correspondante. Les unités ei, i = 1, ... , n,
86

mentionnées plus haut (3.23). Définissons les unités imaginaires suivantes:
h '- ele2,
i2
'- e3e4,
13 ' - e5e6,
jl '- ele2e3e4,
h
'- ele2e5e6,
j3 '- e3e4e5e6,
i4 ' - el e2e3e4e5e6 ·
(3.24)
Ainsi, la base {l, il> i2 , i3,jl>h,ja, i4} forme un sous-ensemble de la base de l'algèbre
de Clifford réelle Clo ,6. De plus, en multipliant les éléments 3.24, les propriétés 3.23
nous permettent de retrouver le tableau 3.2, c'est-à-dire que les éléments de cette
base possèdent toutes les caractéristiques des unités imaginaires tricomplexes. Ainsi,
les nombres tricomplexes sont une sous-algèbre de l'algèbre de Clifford réelle Clo,6.
Dans le cas le plus général, les nombres multicomplexes d'ordre n sont en fait une
sous-algèbre de l'algèbre de Clifford réelle Clo,2n'
Proposition 3.15 La structure des nombres multicomplexes d'ordre n est une sous­
algèbre de l'algèbre de Clifford r'éelle Clo,2n.
Preuve:
Pour démontrer la proposition, regardons tout d'abord l'algèbre de Clifford réelle Clo,2n.
Les unités imaginaires de cette structure de nombres sont obtenues des combinaisons des
éléments de {el, e2, ... , e2n }, où les éléments imaginaires ei possèdent les propriétés 3.23.
Exprimons maintenant les n unités imaginaires simples des nombres multicomplexes
d'ordre n à l'aide des 2n unités imaginaires ei :
88

Ce résultat nous permet de situer les nombres multicomplexes dans le cadre bien
connu des algèbres de Clifford.
Les précédentes sections ont présenté les propriétés importantes et pertinentes, à
notre point du vue, de la structure des nombres multicomplexes. La dernière section,
quant à elle, portera sur certains sous-espaces des nombres tricomplexes. Ces sous­
espaces seront utiles lorsque viendra le temps de traiter les coupes tridimensionnelles
principales de l'ensemble de Mandelbrot généralisé dans le chapitre suivant.
3.6 Sous-espaces des nombres tricomplexes
Avant de généraliser l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia remplis à
la structure des nombres multicomplexes, nous allons traiter certains sous-espaces de
l'espace des nombres tricomplexes. Les notions de cette section seviront exclusivement
à la section 4.4 de ce mémoire qui portera sur les coupes tridimensionnelles principales
de l'ensemble de Mandelbrot généralisé.
Considérons l'ensemble des nombres tricomplexes représenté à l'aide de huit coeffi­
cients réels (3.6).
Définition 3.4 On définit l'espace M(ik, il ) comme étant l'ensemble des nombres tr't­
complexes utilisant seulement les unités imaginaires ik, il E {il> i2 , i3, i4,jl,h ,h },
ik =1- il , c'est-à-dire
Par exemple, posons ik = i2 et il = h . On obtient alors l'ensemble
M(i2 ,h ) '- {w = Xl + x2b + X3.Ï 2 + X4i2h 1 Xl, X2, X3, X4 E IR}
{w = Xl + X2 i2 + X 3.Ï2 + X4 i4 1 Xl, X2, X3, X4 E IR}
90

Remarquons que contrairement aux ensembles M(ik ' il ), les ensembles 1r(ik ' il , im)
permettent la possibilité que l'une des unités imaginaires ik, il ou im soit égale à un.
De plus, contrairement aux ensembles M(ik, il), les ensembles 1r(ik, il , im) ne sont pas
fermés sous la multiplication. On remarque que 1r(ik, il , im) C M(ik, il ) si et seulement
si ikil = ±im ou ia = 1, a E {k , l, m}. Cette inclusion signifie donc que la multiplication
de nombres dans 1r(ik, il , im) demeurera toujours dans M(ik, il)' Lorsque l'inclusion n'est
pas vérifiée, c'est-à-dire que ikil i= ±im et qu'aucune des unités ik, il ou im n'est un,
alors la multiplication d'éléments de 1r(ik ' il , im) est dans M(3).
Pour le moment, ces ensembles semblent peu intéressants, mais ils seront utiles dans
le prochain chapitre lorsque viendra le temps de parler des coupes tridimensionnelles de
l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe. On est fin prêt à généraliser certains résultats
du premier chapitre aux nombres multicomplexes.
92

Chapitre 4
Dynamique multicomplexe :
Ensembles de Mandelbrot, de Julia
remplis et théorème de Fatou-J ulia
Dans ce chapitre, à l'aide de la structure des nombres multicomplexes vue dans le
chapitre précédent, on généralisera les ensembles de Mandelbrot et de Julia remplis
vus dans le chapitre 1. On va tout d'abord rappeler la généralisation faite par Rochon
[18] pour les nombres bicomplexes. Ensuite, on poursuivra le travail en généralisant
ces ensembles aux nombres tricomplexes, puis dans le cas le plus général, aux nombres
multicomplexes d'ordre n.
Le plus important résultat de ce chapitre, théorème central de ce mémoire, est le
théorème de Fatou-Julia généralisé aux nombres tricomplexes. Ce théorème associe à
chaque point de l'espace multicomplexe un « degré de connexité » pour l'ensemble de
Julia rempli multicomplexe qui lui est associé. Ce « degré de connexité » déterminera
si le point appartient à l'ensemble de Mandelbrot généralisé ou non. Bien que moins
intéressant, on présentera également la version la plus générale du théorème de Fatou­
Julia, celle pour les nombres multicomplexes d'ordre n.
Finalement, afin de visualiser l'ensemble de Mandelbrot généralisé aux nombres tri­
complexes, qui est en fait de dimension huit, on caractérisera les coupes tridimension­
nelles principales de l'ensemble de Mandelbrot généralisé. Certaines (trois) de ces coupes
93

tridimensionnelles ont déjà été traitées par Rochon [19] dans le cas des nombres bicom­
plexes. On verra qu'il existe en fait huit coupes fondamentales distinctes et qu'il est
inutile de traiter le cas des nombres multicomplexes d'ordre supérieur puisqu'aucune
nouvelle coupe tridimensionnelle ne pourrait être découverte.
4.1 Ensemble de Mandelbrot généralisé
Avant de généraliser l'ensemble de Mandelbrot aux nombres multicomplexes, don­
nons la définition de bassin d'attraction à l'infini dans M(n) puisqu'il s'agit d'un en­
semble qui sera utile tout au long de ce chapitre.
D éfinition 4.1 Le bassin d 'attraction à l'infini de Pc est défini de la manière
suivante:
An,c(oo) := {( E M(n) 1 {p;n(()} -+ oo}.
De plus, on définit de manière inductive l'ensemble
comme étant le bassin d 'attraction fort à l'infini de la fonction Pc(() = (2 + c où
SAn- I ,CI- C2 Î n _ l (00) et SAn- l,Cl +C2 În - l (00) sont des bassins d'attraction forts à l'infini
de P CI-C2 În - l (() = (2 + (Cl - C2 in- l) et PCI +C2 Î n - l (() = (2 + (Cl + C2in- l) respectivement.
Ainsi, le bassin d'attraction fort à l'infini SAn,c(oo) est fonction de tous les bassins
d'attraction forts à l'infini des dimensions inférieures et à la fin il s'exprime comme une
série de produits cartésiens multicomplexes de bassins d'attraction à l'infini complexes.
Par exemple, les bassins d'attration à l'infini pour les nombres bicomplexes et tri­
complexes sont respectivement
A2 ,C(00) .- {w E M(2) 1 {P;(w)} -+ oo},
A3,c(00) .- {( E M(3) 1 {P;(() } -+ oo},
94
(4.1)
(4.2)

Maintenant, comme le lemme est valide pour tout n, on peut réécrire l'ensemble de
Mandelbrot d'ordre n comme une suite de produits cartésiens multicomplexes de 2n-k
ensembles de Mandelbrot multicomplexes d'ordre k et ultimement comme le résultat de
n - 1 produits cartésiens multicomplexes de 2 n - 1 ensembles de Mandelbrot classiques.
Mn Mn-l X'Yn _ l Mn-l
(M n- 2 X 'Yn 2 M n- 2 ) X 'Yn 1 (Mn- 2 X'Yn 2 M n- 2 ) = ...
On peut maintenant montrer que l'ensemble de Mandelbrot multicomplexe est
connexe pour tout n.
Théorème 4 .7 L 'ensemble de Mandelbrot multicomplexe d'ordre n est connexe.
Preuve:
Pour n = 1, on a Ml = M qui est un ensemble connexe tel que discuté dans le chapitre
1. Supposons que l'ensemble de Mandelbrot d'ordre n = k est connexe pour k 2: 1 et
vérifions ce qu'il en est pour n = k + 1. Du lemme précédent, on a
Or, M k est connexe et donc M k+l est également connexe. Ainsi, on a montré par in­
duction que l'ensemble de Mandelbrot généralisé M n est connexe pour tout n 2: 1.0
Il Y aurait d'autres propriétés de l'ensemble de Mandelbrot classique qui pourraient
être intéressantes à généraliser aux espaces multicomplexes. On laissera ces propriétés
à démontrer dans des publications futures.
La prochaine section fournira la définition des ensembles de Julia remplis généralisés
aux espaces multicomplexes.
4.2 Ensembles de Julia remplis généralisés
Tout comme on l'a fait pour l'ensemble de Mandelbrot, on peut donner une générali­
sation des ensembles de Julia remplis aux nombres multicomplexes d'ordre n. Rappelons
99

De cet te définition et de celle de bassin d'attraction à l'infini présentée en début de
chapitre, on remarque que l'ensemble de Julia rempli Kn,c est en fait le complément du
bassin d'attraction à l'infini An,c(oo).
De la dernière définition s'ensuit naturellement l'écriture de l'ensemble de Julia rempli
Kn,c en terme de deux ensembles de Julia remplis multicomplexes d'ordre n - 1.
Preuve:
La preuve est similaire à celle du lemme 4.6.0
Tout comme on l'a fait pour l'ensemble de Mandelbrot multicomplexe d'ordre n,
le lemme est valide pour tout n, et donc on peut réécrire l'ensemble de Julia rempli
multicomplexe Kn,c comme une suite de produits cartésiens multicomplexes de 2n-k
ensembles de Julia remplis multicomplexes d'ordre k .
Donnons maintenant la généralisation du théorème 4.11 pour les nombres multi­
complexes d'ordre n.
Théorème 4.13 cE M n si et seulement si Kn,c est un ensemble connexe.
Preuve:
On va effectuer la preuve par par induction. Pour n = 1, le théorème de Fatou­
Julia complexe (1.16) nous assure que la proposition est vraie. Supposons qu'elle le
soit aussi pour n = k, c'est-à-dire que C E M k si et seulement si K k,c est un en­
semble connexe. Soit c = Cl + C2 ik+1 E M(k + 1), alors C E M k+l si et seulement si
102

et de manière générale, pour n'importe quels A , B ç M(k), on a
(A X1'k B)\(SAk,Cl-C2ik(OO) X1'k SAk,Cl+C2ik(OO)) (A\SAk,Cl-C2ik(OO)) X1'k B
ou
ou
ou
ou
ou
U A X1'k (B\SAk,Cl+C2ik(OO)).
De plus, Kk+1,c = K k,Cl-C2ik X 1'k Kk,Cl +C2ik est non connexe, mais pas totalement si
et seulement si
1. Kk,Cl -C2ik ou Kk,Cl +C2ik est non connexe, mais pas totalement;
ou
2. Kk,Cl -C2i k est totalement non connexe et Kk,Cl +C2ik est connexe;
ou
3. K k,Cl+C2i k est totalement non connexe et K k,Cl - C2ik est connexe.
Ainsi, 0 E Ak+l,c(OO)\SAk+l,c(OO) si et seulement si Kk+1,c est non connexe, mais
pas totalement.O
109

On a vu un peu plus tôt dans cette section une coupe tridimensionnelle de l'ensemble
de Mandelbrot. Il s'agit en fait d'une manière de visualiser l'ensemble de Mandelbrot tri­
complexe. Il existe d'autres coupes tridimensionnelles de M3 et donc d'autres manières
de visualiser l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe. C'est l'objet de la prochaine sec­
tion.
4.4 Coupes principales de l'ensemble de Mandelbrot
tricomplexe
On aimerait bien visualiser l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe, M3 , qui est en
fait de dimension huit. Pour ce faire, on devra fixer cinq des huit coefficients de la
représentation des nombres tricomplexes 3.6. En faisant cela, on peut visualiser des
coupes tridimensionnelles particulières de l'ensemble. On va se concentrer sur les coupes
pour lesquelles les cinq coefficients fixés sont fixés à zéro. On dira de ces coupes tridimen­
sionnelles de l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe que ce sont les coupes principales.
On verra également que le nombre de coupes tridimensionnelles principales de M 3
est de huit alors qu'on aurait pu s'attendre à plus. Ce phénomène sera expliqué par le
fait qu'il existe des symétries entre les différentes coupes et il en découlera que l'étude
de l'ensemble de Mandelbrot multicomplexe d'ordre supérieur à trois sera à toute fin
pratique initéressante.
On a défini à la section 3.6 des sous-espaces des nombres tricomplexes. Comme ce
sont ces espaces qui seront utilisés dans cette section, rappelons en les définitions.
M(ik ' il) '- {w = Xl + X2ik + X3il + X4ikil 1 Xl, X2, X3, X4 E IR}, (4.5)
1l'(ik, il, im) '- {xlik+X2il +X3iml xl,X2,X3EIR}. (4.6)
Comme on vient de le mentionner, il y a huit coupes tridimensionnelles principales
de l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe. On distinguera deux cas. Le premier cas est
celui des coupes pour lesquelles les itérés de la quadratique Pc( () = (2 + c pour des
110

Ainsi,
('P2 0 P C2 0 'P2 1 )(()
('P2 0 'PlO PC) 0 'PlI 0 'P2 1 )(()
(('P2 0 'Pl) 0 PC) 0 ('P2 0 'Pd- l )(()
c'est-à-dire que 11 rv 73 et donc la relation rv est transitive.
La relation rv est donc une relation d'équivalence. 0
Pour le Tétrabrot, on a les symétries suivantes: 7(1, h , i2 ) rv 7(1, ik , id, V ik , il E
{h, i2, i3, i4} , i k =1- il , et donc on peut tous les appeler Tétrabrot. Pour montrer que
ces ensembles ont la même dynamique, on considère (sans perte de généralité) C =
Cl + c2h + C3i2 E 1I'(1, h , i2), Cl = Cl + C2i3 + C3i4 E 1I'(1, i3, i4) et les deux fonctions
suivantes:
Pc : M(h , h ) -+ M(h , i2)
w t--t w 2 + C
Pc' : M(i3 , i4) -+ M(i3 , i4)
Considérons maintenant l'application suivante:
w t--t w 2 + Cl .
'P : M(h , i2) -+ M(i3 , i4)
Xl + X2i l + X3i2 + X4.ÏI t--t Xl + X2 i3 + X3i4 + X4.ÏI·
113

FIGURE 4.5 - Quatrième coupe de M3 : T(h, i2,jl)
correspondant à des ensembles de Julia remplis tricomplexes non connexes, mais pas
totalement. Ces quatre coupes sont définies comme suit (respectivement les figures 4.6,
4.7, 4.1 et 4.8) :
avec les symétries suivantes :
117
( 4.11)
( 4.12)
(4.13)
(4.14)

T (h , i 2 , i 3 )
T (h , i 2,h )
T(i1J i2, i4) "-J T (h , i3, i4) "-J T (i 2 , i3, i4),
T (i1J i2,j3) "-J T (h , i3,jl) "-J T (i1 , i3,h ) "-J T (h , i4,jl) "-J T (i1J i4,h )
T (i 2 , i3,h ) "-J T (i 2 , i3,j2) "-J T (i 2 , i4,jl) rv T (i 2 , i4,h ) rv T (i3 , i4,j2)
T (i3 , i 4 ,h ),
T (h,jl,h ) "-J T (i1J h ,j3 ) rv T (i2,jl,h ) "-J T (h,j1Jh) rv T (i2,h ,h )
T (i3,jl,h ) "-J T (i3,jl,j3 ) "-J T (i3,h ,h ) "-J T(i4,jl,h ) rv T (i4,jl,h )
T (i4 ,h ,h )·
FleURE 4.6 - Cinquième coupe de M 3 : T (h , i 2 , i 3 )
Au vu de ces coupes tridimensionnelles principales et avec les différentes symétries,
on peut se demander pourquoi les coupes T (h , i 2,jd et T (h , i 2 ,h ) n'ont pas la même
dynamique. C'est simplement en raison du fait que les itérés ne se situent pas dans
le même espace. En fait, les itérés de nombres dans 1I'(h , i2,jl) restent dans M(h , i2)
alors que ceux de nombres dans 1I'(i1J i2,h ) vont dans M(3). Cela s'explique par le
118

F IGURE 4.7 - Sixième coupe de M 3 : T (h , i 2 ,h )
fait que h = i1i 2 , mais h =1= i1i2 . Nous allons maintenant montrer que T(h , i3,jl) '"
T(i 2 , i3,j l). Soit C = clh + C2 i3 + c3.h, c/ = cl i2 + C2i3 + Csj l et considérons les deux
fonctions suivantes :
Considérons maintenant l'application
Pc : M(3) -----+ M(3)
( f---7 (2 + C,
PCI : M(3) -----+ M(3)
( f---7 (2+C/.
cp : M(3) -----+ M(3)
Xl + x2h + X3i2 + X4i3 + X5i4 + X6jl + x7h + xs.Ï3
f---7 Xl + x3h + X2i 2 + X4i3 + X5i4 + X6jl + xs.Ï2 + X7j3'
Ainsi on a (cp 0 Pc 0 cp-l)(() = PC/(() et donc T (h , i3,jl) '" T (b , i3,j l)' Toutes les
autres symétries pour les quatre coupes dont les itérés vont dans M(3) se démontrent
119

FIGURE 4.8 - Huitième coupe de M 3 : T (h ,j2 ,h )
en utilisant la même stratégie c'est-à-dire que l'application cp consiste en fait en une
permutation des coefficients de ( = X l + X2ÎI + X3i2 + X4i3 + XSi4 + x6jl + x7h + xs.Ïa ·
À ce point-ci, le lecteur avisé aura remarqué que toutes les possibilités de triplets
d 'unités imaginaires tricomplexes ont été utilisés pour former les huit coupes tridimen­
sionnelles principales de l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe. Il n'existe donc pas
d'autres coupes pour l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe.
Plus encore, les huit coupes tridimensionnelles principales définies dans cette section
sont les seules que l'on retrouverait si l'on faisait la même étude pour les ensembles de
Mandelbrot multicomplexes d'ordre supérieur à trois.
Bien entendu, on peut appliquer la technique utilisée pour visualiser l'ensemble de
Mandelbrot tricomplexe aux ensembles de Julia remplis tricomplexes. La figure 4.9
correspond à la première coupe (celle où l'on conserve les unités 1, il et i 2 ) de l'ensemble
de Julia rempli JC3,O.36237+0.32i 1 .
120

FIGURE 4.9 - Première coupe de l'ensemble de Julia rempli K 3,o.36237+0.32il
Tout comme pour l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe, il existe huit coupe tridi­
mensionnelles pour les ensembles de Julia remplis tricomplexes. La figure 4.10 corres­
pond à la deuxième coupe (celle où l'on conserve les unités 1, h et jl) de l'ensemble de
Julia rempli K 3,o.36237+0.32h.
On pourrait également afficher les autres coupes pour cet ensemble de Julia rempli
tricomplexe particulier, mais la plupart des autres coupes sont moins intéressantes.
Allons voir la première coupe pour d'autres ensembles de Julia remplis tricomplexes.
Les figures 4. 11 , 4. 12 et 4. 13 correspondent à la première coupe respectivement des
ensembles
K 3,- O.98357+0.26365i1 + O.00085i4 - O.00033js '
K 3,o.3419+ 0.0777i1
et K 3,- O.12+0.lil-0.415i2 -0.065is+ O.32i4 -0.19h - O.2j2+ 0.47js .
121

FIGURE 4.10 - Deuxième coupe de l'ensemble de Julia rempli JC3,O.36237+0.32i 1
FIGURE 4.11 - Première coupe de l'ensemble de Julia rempli JC 3,c avec c = -0.98357 +
0.26365i1 + O.00085i4 - O.00033h
122

FIGURE 4.12 - Première coupe de l'ensemble de Julia rempli K 3,0.3419+0.0777i 1
Remarquons que l'ensemble de Julia rempli K 3,0.36237+0.32i 1 se décompose selon le co­
rollaire 4. 10 de la manière suivante: ( KO.36237+0.32il X ")'1 KO.36237+0.32iJ X ")'2 (KO.36237+0.32h X ")'1
KO.36237+0.32iJ, c'est-à-dire que les quatre ensembles de Julia remplis complexes qui le
composent sont l'ensemble de Julia rempli de la fi gure 1. 5. Il est alors intéressant de
constater les ressemblances graphiques entre cet ensemble de Julia rempli complexe et
les deux premières coupes de K 3,0.36237+0.32h (figures 4.9 et 4.10).
De manière similaire, on a
et
K3, -0.98357 +0.26365h +0.00085i4 -0.00033jg
= (K- 0.98389+0.2645h X")'1 K - 0.98389+0.2645iJ X ,,),2 (K- 0.98324+0.2628h X")'1 K - 0.98324+0.2628iJ
K 3,0.3419+0.0777i 1 = (KO.3419+ 0.0777il X ")'1 KO.3419+ 0.0777h) x ")'2 (KO.3419+ 0.0777h X ")'1 KO.3419+0.0777il)
et on remarque également des ressemblances entre les figures 1.6 et 4.11 et entre les
figures 1.7 et 4.12.
123

FIGURE 4.13 - Première coupe de l'ensemble de Julia rempli J(3,c avec c = -0.12 +
O.lil - 0.415i2 - 0.065i3 + 0.32i4 - 0.19jl - 0.2h + 0.47j3
À l'opposée, l'ensemble de Julia rempli J(3,-O.12+0.1h -0.415b -O.065ia+O.32i4 -O.19jl -O.2h+0.47js
a été construit en utilisant quatre ensembles de Julia remplis complexes différents et la
coupe que l'on peut voir à la figure 4.13 ne ressemble pas à grand chose.
On va conclure ce chapitre et par le fait même cet ouvrage par une discussion sur
l'aspect fractal des ces ensembles tidimensionnels issus de la structure des nombres
tricomplexes.
4.5 L'ensemble de Mandelbrot tricomplexe au point
de vue fractal
Rappelons tout d'abord les propriétés fondamentales d'un objet que l'on qualifie de
fractal. Tout d'abord, un objet fractal ou plus simplement une fractale doit avoir une
forme irrégulière et fragmentée et ce à toutes les échelles, c'est-à-dire que l'on discernera
toujours la forme irrégulière et fragmentée de l'objet peu importe l'agrandissement avec
lequel on est en train de le regarder.
124

Comme discuté au chapitre 1, une autre propriété intéressante des fractales est l'au­
tosimilarité. Un objet présentant une structure autosimilaire est un objet pour lequel
on retrouve, en agrandissant, des parties ayant une structure approchant celle de l'objet
lui-même.
L'ensemble de Mandelbrot classique et les ensembles de Julia remplis complexes
sont des objets fractals très connus. On a dailleurs vu au chapitre 1 que ces fractales
possèdent la propriété d'autosimilarité.
On peut supposer, sans trop de craintes de se tromper, que l'ensemble de Mandelbrot
généralisé aux nombres multicomplexes est également un ensemble fractal. On a vu que
certaines des coupes principales de l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe ne sont pas
du tout fractales. Le Perplexbrot, par exemple, est un octaèdre régulier comme il a été
démontré dans [9]. La coupe T(j l, j2,j 3) , quant à elle, ne semble pas non plus fractale.
On peut supposer qu'il s'agit d'un tétraèdre régulier.
Conjecture 4 .1 La coupe tridimensionnelle T(jl, j2, h ) de l'ensemble de Mandelbrot
tricomplexe est un tétraèdre régulier.
Ces deux coupes sont donc intéressantes puisqu'elle ne sont pas fractale alors qu'on
aurait pu s'attendre à ce qu'elles le soient, mais l'intérêt s'arrête là. Les autres coupes
quant à elles sont vraissemblablement fractales et donc offrent un grand intérêt au
point de vue de l'exploration. ous allons surtout nous concentrer sur le Tétrabrot
puisque c'est, à notre point de vue, la coupe la plus intéressante. L'on tentera d'illustrer,
à l'aide d'images appropriées, le caractère fractal et autosimilaire du Tétrabrot. L'on
pourrait également utiliser les autres coupes tridimensionnelles principales de l'ensemble
de Mandelbrot tricomplexe afin d'illustrer la chose.
Rappelons tout d'abord que les points qui correspondent à des ensembles de Julia
remplis connexe sont dans l'ensemble de Mandelbrot et ne sont donc pas visibles sur
les coupes tridimensionnelles. Dans le cas du Tétrabrot (figure 4.2), la région noire
125

correspond à des ensembles de Julia remplis non connexes, mais pas tot alement, où
exactement deux des quatre ensembles de Julia remplis complexes (de la décomposition
du corrollaire 4. 10) sont connexes et les deux autres sont totalement non connexes. La
région bleue, quant à elle, correspond à des ensembles de Julia remplis tri complexes
totalement non connexes.
Explorons donc le Tétrabrot afin de voir plus clairement l'aspect fractal de cet en­
semble. Tout d'abord, avant même d'approcher l'ensemble, on remarque que l'autosimi­
larité de la fractale s'exprime d'une autre façon que dans le cas complexe. En effet, sur
la figure 4.2, on remarque que les points correspondant à des ensembles de Julia remplis
non connexe, mais pas totalement, ont une forme bien près de celle de l'ensemble de
Mandelbrot complexe, comme s'il était tatoué sur le Tétrabrot.
Aussi, lorsque l'on s'approche de la fractale et qu'on l'explore plus en profondeur, on
retrouve de ce genre de tatous un peu partout comme en témoignent les figures 4. 14 et
4. 15 qui sont toutes deux des explorations du Tétrabrot.
Il ne s'agit pas là de la seule manifestation de l'autosimilarité du Tétrabrot. En
regardant attentivement les figures 4.14 et 4. 15, on peut voir que la structure semble se
répèter lorsqu'on dirrige notre regard de l'avant vers l'arrière de la fractale. Une autre
belle manifestation de l'autosimilarité en trois dimensions du Tétrabrot est représentée
à la figure 4. 16. En effet, on trouve de petits Tétrabrots à l'intérieur de celui-ci lorsqu'on
l'explore sur l'axe des réels.
De manière générale, il est plus facile d'observer l'autosimilarité du Tétrabrot à l'aide
d 'agrandissement successif d'un endroit de la fractale, un peu comme on a fait dans le
chapitre 1 pour l'ensemble de Mandelbrot complexe.
L'autre propriété des fractales que l'on aimerait distinguer sur les coupes tridimen­
sionnelles de l'ensemble de Mandelbrot tricomplexe est le caractère irrégulier et frag­
menté. Les figure 4.15 et 4. 16 illustrent très bien cette propriété chez le Tétrabrot.
126

FIGURE 4. 14 - Exploration du T étrabrot un petit t atou en forme d 'ensemble de
Mandelbrot
En explorant les ensembles de Julia remplis tricomplexes, on remarque également
l'aspect irrégulier, fragmenté et autosimilaire comme en témoigne la figure 4.17 qui est
une exploration de la première coupe de l'ensemble JC3,-1.754878.
À la lumière des quelques images présentées dans cett e section , on se rend compte
de la richesse et de la diversité des coupes t ridimensionnelles de l'ensemble de Mandel­
brot t ricomplexe ou des ensembles de Julia remplis t ricomplexes. On a seulement tenté
d 'illustrer le caractère fractal de ces ensembles. Il y a nature à passer énormément
de temps en exploration de ces ensembles, à la recherches de nouvelles structures
intéressantes, de nouvelles images époustouflantes.
127

FIGURE 4.15 - Exploration du Tétrabrot : en violet: plusieurs tatous dont la forme
approche celle de l'ensemble de Mandelbrot
128

FIGURE 4.16 - Exploration du Tétrabrot sur l'axe réel: on trouve une forme approchant
celle du Tétrabrot
129

FIGURE 4.17 - Exploration de la première coupe de l'ensemble de Julia rempli
K:3, -1. 754878
130

Conclusion
Par ce mémoire, on a présenté des ensembles fractals très connus: l'ensemble de
Mandelbrot et les ensembles de Julia remplis. On a présenté, à partir de l'approche
des systèmes dynamiques, les principales propriétés de ces ensembles, notamment le
théorème de Fatou-Julia stipulant qu'un nombre complexe appartient à l'ensemble de
Mandelbrot si et seulement si l'ensemble de Julia rempli qui lui correspond est connexe.
On a également traité l'approche des familles normales à partir de laquelle on peut
également retrouver les ensembles de Julia, de Fatou et de Julia remplis et on a montré
que ces deux approches nous amènent bel et bien vers les mêmes ensembles fractals.
On a également présenté la structure des nombres multicomplexes qui est en fait une
sous-algèbre d'une algèbre de Clifford réelle.
Cette structure de nombres nous a permis de généraliser les ensembles fractals is­
sus de la dynamique complexe de même que leurs principales propriétés. On a donné
une généralisation du théorème de Fatou-Julia et on a vu que contrairement au cas
complexe qui n'admet que deux possibilités pour les ensembles de Julia remplis, soit
connexe ou totalement non connexe, les ensembles de Julia remplis multicomplexes
d'ordre supérieurs à un offrent une troisième possibilité, celle d'être non connexe, mais
avec des composantes connexes.
Aussi, grâce à un logiciel de visualisation de fractales tridimensionnelles, on a pu
visualiser des coupes de l'ensemble de Mandelbrot multicomplexe et des ensembles de
131

Julia remplis multicomplexes. On a vu que l'étude de ces ensembles peut se limiter
au cas tricomplexe puisqu'il n'y a pas vraiment de nouvelles structures intéressantes
ressortant de l'utilisation des nombres multicomplexes d'ordre supérieur à trois. On a
vu que les coupes tridimentionelles principales de ces ensembles sont au nombre de huit
et que certaines d'entre elles sont fractales et offrent donc un grand intérêt au niveau
de l'exploration alors que d'autres sont beaucoup plus régulières.
On a entre autre suggéré que la huitième coupe tridimensionelle de l'ensemble de
Mandelbrot tricomplexe est en fait un tétraèdre régulier, ce qui reste à démontrer.
Aussi, l'approche qui a été utilisée pour généraliser l'ensemble de Mandelbrot et les
ensembles de Julia rempli est l'approche dynamique. Il serait intéressant de refaire la
démarche en utilisant plutôt l'approche des familles normales et d'unifier encore une
fois ces deux approches.
Finalement, bien que l'on aie généralisé plusieurs propriétés de l'ensemble de Mandel­
brot et des ensembles de Julia remplis, plusieurs autres propriétés restent à démontrer.
Entre autres, on pourrait répéter la démarche qui nous a permis d'obtenir la cardioïde
principale de l'ensemble de Mandelbrot et voir ce que cela donnerait dans les espaces
multicomplexes. Bref, il reste du pain sur la planche.
132

Bibliographie
[1] A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions, (Springer-Verlag, New York, 1991).
[2] S. Bedding and K. Briggs, Iteration of quaternion maps, Internat. J. Bifur. Chaos
Appl. Sei. Engrg. 5, 877-881 (1995).
[3] John Bonobo, De la génération des fractales, Théorie et Applications,
http :j /john. bonobo.free.fr j fractalj doc. php.
[4] L. Carleson and T. W. Gamelin, Complex Dynamics, (Springer-Verlag, New York,
1993) .
[5] R. L. Devaney, Editor, Complex Dynamical Systems The Mathematics Behind the
Mandelbrot and Julia Sets, 34-36, (Proceedings of Symposia in Applied Mathema­
tics Vol. 49, AMS, 1994).
[6] A. Douady and J. H. Hubbard, Iteration des polynômes quadratiques complexes,
G.R. Acad. Sc. Paris 294, 123-126 (1982).
[7] R. Engelking, General Topology, 443-445, (PWN-Polish Scientific Publishers, Wars­
zawa, 1977).
[8] Francis J. Flanigan, Complex Variables, Harmonie and Analytic Functions (Dover
publications, 1983).
[9] V. Garant-Pelletier and D. Rochon On a generalized Fatou-Julia theorem in mul­
ticomplex spaces, Fractals 17(3), 241-255 (2009).
[10] J. Gomatam, J . Doyle, B. Steves and 1. McFarlane, "Generalization of the Mandel­
brot Set: Quaternionic Quadratics Maps", Chaos, Solitons and Fractals 5, 971-985
(1995).
133

[11] 1. 1. Kantor, Hypercomplex numbers, (Springer-Verlag, New York, 1989).
[12] É. Martineau and D. Rochon, On a Bicomplex Distance Estimation for the Tetra­
brot, International Journal of Bifurcation and Chaos, 15(9), 1- 12 (2005).
[13] W. Metzler, The "mystery" of the quadratic Manpelbrot set, American Association
of Physics Teachers, 62, No. 9, 813-814, 1994.
[14] S. Morosawa, Y. Nishimura, M. Taniguchi and T. Ueda, Holomorphic Dynamics,
(Cambridge University Press, 2000).
[15] A. Norton, Generation and Display of Geometric Fractals in 3D, Computer Gra­
phics 16, 61-67 (1982).
[16] G. B. Priee, An Introduction to Multicomplex Spa ces and Functions, (Marcel Dek­
ker Inc., New York, 1991).
[17] Hervé Queffélec, Topologie: Cours et exercices corrigés, 3e édition (Dunod, 2006).
[18] D. Rochon, A Generalized Mandelbrot Set For Bicomplex Numbers, Fractals 8 ,
No. 4, 355-368 (2000).
[19] D. Rochon, On a Generalized Fatou-Julia Theorem, Fractals 11(3), 213-219 (2003).
[20] D. Rochon, Sur une généralisation des nombres complexes: les tétranombres, (M.
Sc. Université de Montréal, 1997).
[21] C. A. Rogers, J. E. Jayne, C. Dellacherie, F. Tops4>e, J . Hoffman-J4>rgensen, D. A.
Martin, A. S. Kechris and A. H. Stone, Analytic Sets, 326-331, (Academic Press,
1980).
[22] W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3 e ed. McGraw-Hill, (1987).
[23] J. Ryan, Complexified Clifford Analysis, Complex Variables 1, 119-149 (1982).
[24] J. L. Schiff, Normal families (Springer-Verlag, New York, 1993).
134