Mathieu Boudreault, Hélène Cossette, David Landriault, Eti

CLASSICAL AND RENEWAL MODELS
WITH TIME DEPENDENT CLAIM AMOUNTS
Par:
Mathieu Boudreault, Hélène Cossette, David Landriault, Etienne Marceau
Mathieu Boudreault
École d’actuariat (local 1620)
Université Laval
Sainte-Foy, Québec
G1K 7P4, Canada
Courriel : mathieu.boudreault@act.ulaval.ca
Hélène Cossette
Ecole d’actuariat (local 1620)
Université Laval
Sainte-Foy, Québec
G1K 7P4, CANADA
Courriel : helene.cossette@act.ulaval.ca
David Landriault
Department of Statistics and Acturial Science
University of Waterloo
Waterloo, Ontario
N2L 3G1, CANADA
Courriel : dlandria@uwaterloo.ca
Etienne Marceau
École d’actuariat (local 1620)
Université Laval
Sainte-Foy, Québec
G1K 7P4, CANADA
Courriel : etienne.marceau@act.ulaval.ca
Résumé:
Nous proposons une extension au modèle classique de risque (Poisson composé) et au modèle
classique de risque de renouvellement. On fait souvent référence à ces modèles dans la littérature
actuarielle respectivement par les modèles de risque de Cramer-Lundberg et de Sparre Andersen.
Le modèle de Sparre Andersen est un modèle de renouvellement dans lequel le processus de
dénombrement des sinistres {N(t), t = 0} est supposé un processus de renouvellement défini par
N(t) = sup {k∈ℵ + :
k
∑T ≤ t} où les temps d’attente entre chaque sinistre sont représentés par la
j
j=
1
suite {Tj, j∈ℵ + } de variables aléatoires indépendantes et positives . Plus précisément, T1 est le

temps d’attente avant que le premier sinistre se produise et Tj est le temps d’attente entre le (j-
1)ième sinistre et le jième sinistre pour j=2,3,… Le modèle de Cramer-Lundberg est un cas
particulier du modèle de Sparre-Andersen où les temps d’attente obéissent à une loi exponentielle
ce qui implique que le processus de dénombrement des sinistres {N(t), t = 0} est un processus de
Poisson. Dans le cas de la sévérité, {Xj, j∈ℵ + } est une suite de variables aléatoires positives,
indépendantes et identiquement distribuées représentant le montant d’un sinistre. Dans le modèle
classique de risque de renouvellement, on y fait l’hypothèse que {Tj, j∈ℵ + } et {Xj, j∈ℵ + } sont
indépendants ce qui est équivalent à dire que le temps écoulé depuis le dernier événement n’a
aucune influence sur le montant du prochain sinistre. Ces modèles classiques sont notamment
présentés dans Grandell (1991), Rolski et. al (1999) et Asmussen (2000).
L’hypothèse d’indépendance entre le temps d’attente et le montant d’un sinistre peut s’avérer
inadéquate dans certains contextes notamment en assurance contre les catastrophes. Dans les
extensions proposées, on permet une relation de dépendance entre le temps écoulé depuis le
dernier sinistre et le montant du prochain sinistre. Plus précisément, on fait l’hypothèse que le
comportement stochastique du jième sinistre dépend du temps d’attente entre le (j-1)ième et
jième sinistre. Donc, la variable aléatoire du montant du jième sinistre Xj est fonction de Tj
(j∈ℵ + ) mais les couples {(Xj,Tj), j∈ℵ + } forment une suite de variables aléatoires bivariées
indépendantes. Différentes structures de dépendance pouvant être appropriées pour lier le temps
écoulé entre deux sinistres et le montant d’un sinistre sont étudiées. On désigne par {S(t), t = 0}
le processus du montant total des sinistres où S(t) = X1+…+XN(t) est le montant total des sinistres
sur une période (0,t]. On étudie différentes propriétés de ce processus, notamment les moments et
la fonction génératrice des moments (lorsqu’elle existe), dans le cadre du modèle proposé
permettant une dépendance entre le temps d’attente et le montant d’un sinistre.
On désigne le processus de surplus par {U(t), t = 0}. Le niveau du surplus au temps t est donné
par U(t) = u + ct – S(t) où u est le surplus initial et c (c ∈ℜ + ) le taux de prime. On suppose que le
taux de prime c respecte certaines conditions. On étudie différentes propriétés du processus de
surplus afin de mieux connaître son comportement et surtout améliorer la connaissance pour une
compagnie d’assurance du risque associé au portefeuille qu’elle détient. En théorie de la ruine, on
s’intéresse à l’évaluation de la probabilité de ruine en supposant un surplus initial u désignée par
ψ(u). Celle-ci correspond à la probabilité que le surplus tombe sous zéro au moins une fois. Dans
le modèle Poisson composé, il existe des distributions pour le montant d’un sinistre qui
permettent d’obtenir une forme explicite de la probabilité de ruine. Pour les autres distributions,
on peut obtenir des bornes exponentielles de Lundberg lorsque la fonction génératrice des
moments existe ou l’on peut avoir recours à des méthodes numériques (voir e.g. Rolski et. al et
Klugman et. al (2004)) pour évaluer la probabilité de ruine. Des bornes exponentielles de
Lundberg sont de la forme ψ(u) ≤ exp{-Ru} où R est le coefficient d’ajustement (voir e.g. Rolski
et. al (1999)). Un exemple de méthode numérique est l’utilisation du modèle binomial composé
de Gerber (1988a,b) pour approximer le modèle Poisson composé (voir e.g. Dickson (1994) et
DeVylder et Marceau (1996)). Dans le modèle classique de renouvellement, il a été démontré
(voir e.g. Dickson et Hipp (1998) et Asmussen (2000)) qu’il est possible d’obtenir une forme
explicite de la probabilité de ruine pour certains choix de distributions du temps d’attente entre
les sinistres et du montant d’un sinistre. Des bornes exponentielles de Lundberg pour la
probabilité de ruine ont aussi été obtenues dans le cadre de ce modèle lorsque les fonctions
génératrices des moments du temps écoulé entre deux sinistres et du montant d’un sinistre

existent (voir e.g. Grandell (1991), Rolski et al (1999), Asmussen (2000)). Dans Cossette et. al
(2004), nous proposons un algorithme pour approximer la probabilité de ruine dans le modèle
classique de renouvellement à l’aide d’une version discrète de ce modèle. On rappelle que le
modèle discret de renouvellement est une extension du modèle binomial composé étant donné
que lorsque les temps d’attente entre les sinistres obéissent à une loi géométrique, le modèle de
renouvellement en temps discret correspond au modèle binomial composé.
Dans le cadre du modèle de risque de renouvellement en temps continu permettant une
dépendance entre le temps d’attente et le montant d’un sinistre, on propose des bornes
exponentielles de Lundberg pour la probabilité de ruine à l’aide d’une méthode inductive et une
méthode basée sur les martingales. De plus, on présente et on étudie les propriétés d’une version
discrète de l’extension proposée. La probabilité de ruine obtenue avec la version discrète est
ensuite utilisée pour approximer la probabilité de ruine dans le cadre du modèle de
renouvellement proposé en temps continu. Pour illustrer notamment l’impact de la dépendance
entre les temps d’attente et le montant d’un sinistre sur la probabilité de ruine, on présente des
exemples numériques avec différents choix de distributions pour Tj et Xj ainsi que différentes
structures de dépendance entre ces deux variables. Evidemment, une attention particulière est
accordée au cas où les temps d’attente obéissent à une loi exponentielle.
Abstract :
We propose extensions to the classical Poisson risk model and the classical renewal risk model
also referred to in the actuarial literature respectively as the Cramer-Lundberg and Sparre
Andersen risk models. The Sparre Andersen risk model is a renewal model in which the claim
number process {N(t), t = 0} is assumed to be a renewal process defined as N(t) = sup {k∈ℵ + :
k
∑T j ≤ t} where the interclaim times are represented by the sequence {Tj, j∈ℵ
j=
1
+ } of independent
and positive random variables. That is, T1 is the time until the first claim occurs, and Tj is the time
between the (j-1)th and the jth claim for j=2,3,…The Cramer-Lundberg model is a special case
where the time elapsed between claims is exponentially distributed which implies that the claim
number process {N(t), t = 0} is a Poisson process. For the severity, {Xj, j∈ℵ + } is a sequence of
positive, independent and identically distributed claim amount random variables. In the classical
renewal risk model, {Tj, j∈ℵ + } and {Xj, j∈ℵ + } are supposed independent meaning that the
amount of a claim is not influenced by the time elapsed since the last claim has occurred. These
models are discussed in e.g. Grandell (1991), Rolski et. al (1999) and Asmussen (2000).
The hypothesis of independence between the time occurrence of a claim and the amount of the
claim can be inadequate in certain situations for example in catastrophe insurance. In the
extensions proposed, we allow the time elapsed since the last event to impact the amount of the
future claim. More precisely, we make the assumption that the stochastic behavior of the jth
claim depends on the time elapsed between the (j-1)th and jth claim. Hence, Xj depends on Tj
(j∈ℵ + ) but the couples {(Xj,Tj), j∈ℵ + } form a sequence of independent and identically
distributed bivariate random variables. We look at different dependence structures which can be
appropriate to link the amount of a claim to the time elapsed since the last occurrence of a claim.
We denote by {S(t), t = 0} the total claim amount process where S(t) = X1+…+XN(t) is the
aggregate claim amount over (0,t]. We study different properties of this process such as the

moments and the moment generating function (when it exists) within the framework of the model
proposed with dependency between time and the amount of a claim.
We denote the surplus process by {U(t), t = 0}. The surplus level at time t is given by U(t) = u +
ct – S(t) where the initial surplus is u with a premium rate c (c ∈ℜ + ). We suppose that the
premium rate c satisfies certain conditions. We study the different properties of the surplus
process in order to help characterize its behavior and most importantly improve the knowledge of
an insurance company on the risk associated to its portfolio. In ruin theory, we are interested in
the evaluation of the ruin probability ψ(u) which corresponds to the probability that, with an
initial surplus u, the surplus process falls at least once below the level 0. In the compound
Poisson model, there exists distributions for the amount of claims leading to an explicit
expression of the ruin probability. For other distributions, one can obtain bounds such as
Lundberg exponential bounds when the moment generating function of the claim amount
distribution exists or have recourse to numerical methods (see e.g. Rolski et. al (1999) and
Klugman et. al (2004)) to evaluate the ruin probability. Lundberg exponential bounds are of the
form ψ(u) ≤ exp{-Ru} where R is the adjustment coefficient (see e.g. Rolski et. al (1999)). An
example of a numerical approach is the use of Gerber’s compound binomial risk model (see
Gerber (1988a,b)) as an approximation to the classical Poisson risk model (see e.g. Dickson
(1994) and DeVylder and Marceau (1996)). In the classical renewal model, it has been shown
(see e.g. Dickson and Hipp (1998), Asmussen (2000)) that it is possible to find an explicit
expression for the ruin probability for given distributions of the time between claims and the
amount of claims. Lundberg exponential bounds have also been derived for the ruin probability
within this model (see e.g. Grandell (1991), Rolski et. al (1999), Asmusssen (2000)) when the
moment generating functions of the interclaim times and the claim severity exist. In Cossette et al
(2004), an algorithm is proposed to approximate the ruin probability within the classical renewal
model via a discrete renewal model. Recall that the discrete-time renewal risk model is an
extension to the compound binomial model given that when the interclaim times are
geometrically distributed, the discrete-time renewal risk model corresponds to the compound
binomial model.
Within the framework of the renewal risk model with time dependent claim amounts previously
discussed, we derive Lundberg exponential bounds for the infinite-time ruin probability via an
inductive and a martingale approach. Also, we present and study the properties of a discrete
version of the extension proposed. The ruin probability obtained within the discrete version is
then used to approximate the ruin probability in the continuous model. To illustrate notably the
impact of the strength of the dependence relation between the interclaim times and the amount of
claims on the ruin probability, we present numerical examples with different choices of
distributions for Tj and Xj as well as different dependence structures between these two variables.
Evidently, attention is devoted to the case where the time elapsed between events is exponentially
distributed.
Mots-clés :
Théorie de la ruine, Modèle de Cramer-Lundberg, Modèle de Sparre Andersen, Dépendance
temporelle, Modèle de risque discret, Probabilité de ruine, Borne exponentielle de Lundberg

Bibliographie :
[1] Asmussen, S. (2000). Ruin Probabilities. Advanced Series on Statistical Science and Applied
Probability, Vol. 2. World Scientific.
[2] Cossette, H., Landriault, D. and E. Marceau (2004). Ruin probabilities in the discrete-time
renewal risk model. Submitted for publication.
[3] Dickson, D.C.M. (1994). Some comments on the compound binomial model. ASTIN Bulletin
24, 33-45.
[4] Dickson, D.C.M. and C. Hipp (1998). Ruin probabilities for Erlang (2) risk processes.
Insurance: Mathematics and Economics 22, 251-262.
[5] DeVylder, E. and E. Marceau (1996). Classical numerical ruin probabilities. Scandinavian
Actuarial Journal, 109-123.
[6] Grandell, J. (1991). Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag, New York.
[7] Gerber, H. (1988a). Mathematical fun with ruin theory. Insurance: Mathematics and
Economics 7, 15-23.
[8] Gerber, H. (1988b). Mathematical fun with the compound binomial process. ASTIN Bulletin
18, 161-168.
[9] Klugman, S.A., Panjer, H.H. and G.E. Willmot (2004). Loss Models: From Data to
Decisions. Wiley, New Jersey.
[10] Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V. and Teugels, J. (1999). Stochastic Processes for
Insurance and Finance, Wiley, New York.