Statistiques II

Probabilités Exercices Lois de probabilités discrètes 

Statistiques II 

Alexandre Caboussat 

alexandre.caboussat@hesge.ch 

Classe : Mardi 11h15 - 13h00 

Salle : C110 

http://campus.hesge.ch/caboussata 

29 mars 2011 

A. Caboussat, HEG STAT II, 2011 1 / 29


Tableau des probabilités 

Soient deux événements A, B, et leurs contraires Ā, ¯B. 

Les probabilités conjointes et simples (marginales) sont données 

dans le tableau suivant: 

B ¯B total 

A P(A ∩ B) P(A ∩ ¯B) P(A) 

Ā P(Ā ∩ B) P(Ā ∩ ¯B) P(Ā) 

total P(B) P(¯B) 1 



Arbre des probabilités 



Principe de Bayes (2 versions) 

P(A|B) = 

P(Ai|Bj) = 

pour tout i et j. 

P(A ∩ B) 

P(B) = 

P(B|A) P(A) 

P(B|A) P(A) + P(B|A) P(A) 

P(Bj|Ai) P(Ai) 

k m=1 P(Bj|Am) P(Am) 



Exercice 2.5 

Nous considérons les deux événements suivants: 

A: le bénéfice de votre entreprise augmentera cette année 

B: le budget marketing de votre entreprise augmentera cette année 

Nous disposons des informations suivantes: P(A)=0.5, P(B|A)=0.2, 

P(B|A)=0.6. Calculez la probabilité que le bénéfice de l’entreprise 

augmente cette année, sachant que le budget marketing a effectivement 

augmenté cette année. 



Exercice 2.6 

Une société comportant 40 hommes et 60 femmes est frappée par une 

épidémie. Un jour où 15% des femmes et 40% des hommes sont absents, 

on se propose de faire passer une visite médicale à l’une des personne 

présente choisie au hasard. Quelle est la probabilité que cette personne 

soit une femme? 



Exercice 2.7 

Nous disposons de 45 échantillons provenant de deux machines-outils 

défectueuses. Nous savons que parmi ces échantillons, 30% sont 

défectueux et 70% sont normaux. La probabilité d’observer la machine 1, 

sachant que l’échantillon est défectueux, est de 40%, alors que la 

probabilité d’observer la machine 2, sachant que l’échantillon n’est pas 

défectueux, est de 70%. En notant D l’événement “l’échantillon est 

défectueux” et M l’événement “l’échantillon a été produit par la machine 

1”, construire un arbre de probabilités, puis calculer la probabilité 

suivante: P(D| M). 



Exercice 2.7 



Exercice 2.8 

Une fanfare est composée de trois classes d’âge : les jeunes, les adultes et 

les seniors. Les membres de la fanfare jouent chacun soit d’un cuivre soit 

de percussions. Les trois classes d’âge sont présentes en proportions 

égales. Il y a trois fois plus de joueur de cuivres que de percussionistes. 

Si nous supposons que les variables ”classe d’âge” et ”type d’instrument” 

sont parfaitement indépendantes, calculer la probabilité conjointe d’être 

un jeune et de jouer d’un cuivre. 



Exercice 2.9 

Une compagnie pétrolière exécute un forage dans la Mer de Nord et un 

autre en Méditerranée. La chance de trouver du pétrole en Mer de Nord 

est de 0.8 tandis qu’en Méditerranée elle est de 0.6. Quelle est la 

probabilité qu’un seul des deux forages conduise à la découverte de 

pétrole? 



Exercice 2.10 

Supposons que la probabilité qu’un homme d’un certain âge vive encore 

15 ans est de 1/4; la probabilité que sa femme vive encore 15 ans est de 

1/3. Calculer la probabilité que l’un d’eux au moins vive encore dans 15 

ans. 



Lois de probabilités discrètes 



Introduction 

Dans certaines situations, la distribution de probabilité associée à 

une variable peut être écrite sous forme analytique, c’est-à-dire 

représentée par une formule mathématique. 



Introduction 




Au lieu de servir à calculer directement une distribution de 

probabilités, les données observées sont utilisées pour estimer les 

paramètres de la forme analytique qui ensuite permettra de calculer 

les probabilités. 



Introduction 




Au lieu de servir à calculer directement une distribution de 

probabilités, les données observées sont utilisées pour estimer les 

paramètres de la forme analytique qui ensuite permettra de calculer 

les probabilités. 

Dans ce chapitre, nous étudierons plusieurs de ces lois pour le cas 

où la variable étudiée est de type discret. 



Ensembles discrets ↔ ensembles continus 

Intuitivement, on peut dire que les éléments d’un ensemble discret 

sont "séparés" les uns des autres. 

Exemples: 






Exemples: 

N’importe quel ensemble fini 

N 

Z 






Exemples: 


N 

Z 

Un ensemble qui n’est pas discret est continu. 

Exemples: 






Exemples: 


N 

Z 

Un ensemble qui n’est pas discret est continu. 

Exemples: 

R 

N’importe quel intervalle, comme [0, 1]. 



Variable aléatoire discrète 

L’ensemble de toutes les modalités que peut prendre la variable X 

se note X . Une variable aléatoire est discrète si l’ensemble X est 

discret. 

Exemples: La variable aléatoire X 

est discrète si X = {0, 1} 

est discrète si X = N 

n’est pas discrète si X = [0, 5] 



Distribution de probabilité d’une variable aléatoire 

La distribution de probabilité d’une variable aléatoire X est 

l’ensemble des probabilités associées à chacune des modalités de la 

variable: 

{P(X = x)}, pour x ∈ X 






variable: 

{P(X = x)}, pour x ∈ X 

Remarque: on note généralement cette distribution par p(x): 

p(x) = P(X = x) 






variable: 

{P(X = x)}, pour x ∈ X 


p(x) = P(X = x) 

Les probabilités ont les propriétés suivantes: 

0 ≤ p(x) ≤ 1 et 

p(x) = 1. 

x∈X 






variable: 

{P(X = x)}, pour x ∈ X 


p(x) = P(X = x) 

Les probabilités ont les propriétés suivantes: 

0 ≤ p(x) ≤ 1 et 

p(x) = 1. 

x∈X 

Si les individus composant la population ont tous la même 

probabilité d’être choisis, alors p(x) est la fréquence 

relative de la modalité x dans la population. 



Notations 

Attention à ne pas confondre les notations: 

X : variable aléatoire 

x: une des modalités que peut prendre X 

X : ensemble de toutes les modalités que peut prendre X 

P(X = x): probabilité que le variable X prenne la valeur x 

p(x): raccourci pour P(X = x) 




Exemples: 

Dé à 6 faces: 




Exemples: 


x 1 2 3 4 5 6 

p(x) 1 

6 

1 

6 

1 

6 

A. Caboussat, HEG STAT II, 2011 18 / 29 

1 

6 

1 

6 

1 

6



Exemples: 


Couleur des yeux: 

x 1 2 3 4 5 6 

p(x) 1 

6 

1 

6 

1 

6 


1 

6 

1 

6 

1 

6



Exemples: 



x 1 2 3 4 5 6 

p(x) 1 

6 

1 

6 

1 

6 

1 

6 

1 

6 

1 

6 

x bleus bruns verts autres 

p(x) 0.3 0.4 0.2 0.1 




Exemples: 



x 1 2 3 4 5 6 

p(x) 1 

6 

1 

6 

1 

6 

1 

6 

1 

6 

1 

6 

x bleus bruns verts autres 

p(x) 0.3 0.4 0.2 0.1 

Dans certains cas, il existe une forme analytique de la distribution 

de probabilité. 

Exemple: Loi de Poisson: P(X = x) = e−λ λ x 

x! 



Indépendance de variables aléatoires discrètes 

Deux variables aléatoires discrètes X et Y , de distributions px et 

py , sont indépendantes si pour toute paire de nombres a, b, on a 

P(”X = a” ∩ ”Y = b”) = px(a) · py (b). 






P(”X = a” ∩ ”Y = b”) = px(a) · py (b). 

Exemple: 

Dans l’exemple des nombres d’enfants et de voitures dans 6 

ménages, les variables X ="nombre d’enfants" et Y ="nombre de 

voitures" ne sont pas indépendantes. 

ménage # enfants # voitures 

m1 1 0 

m2 1 2 

m3 1 1 

m4 2 1 

m5 2 1 

m6 2 0 






P(”X = a” ∩ ”Y = b”) = px(a) · py (b). 

Exemple: 

Dans l’exemple des nombres d’enfants et de voitures dans 6 

ménages, les variables X ="nombre d’enfants" et Y ="nombre de 

voitures" ne sont pas indépendantes. 

ménage # enfants # voitures 

m1 1 0 

m2 1 2 

m3 1 1 

m4 2 1 

m5 2 1 

m6 2 0 

On a vu que P(”X = 2” ∩ ”Y = 1”) = 1, 

tandis que 

px(2) · py (1) = 1 

2 

· 1 

2 

= 1 

4 . 


3


Fonction de répartition 

Dans le cas de variables discrètes, nous définissons la fonction de 

répartition comme 

F (x) = P(X ≤ x) = 

p(z), pour x ∈ X 

z∈X ,z≤x 






F (x) = P(X ≤ x) = 



z∈X ,z≤x 






F (x) = P(X ≤ x) = 



z∈X ,z≤x 

x 1 2 3 4 5 6 

F (x) 1 

6 

2 

6 

3 

6 

4 

6 

5 

6 1 






F (x) = P(X ≤ x) = 



z∈X ,z≤x 

x 1 2 3 4 5 6 

F (x) 1 

6 

Remarque: Attention à ne pas confondre: 

2 

6 

3 

6 

4 

6 

5 

6 1 

distribution de probabilité: p(x) = P(X = x) pour x ∈ X 

fonction de répartition: F (x) = P(X ≤ x) pour x ∈ X 



Espérance d’une variable aléatoire 

Espérance mathématique de X 

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X , notée 

E(X ), est la valeur moyenne que l’on devrait obtenir si l’on observait 

un grand nombre de fois X . Elle correspond à la moyenne 

de X dans la population. 

L’espérance mathématique est définie comme une moyenne 

pondérée des modalités possibles de X : 

E(X ) = 

p(x) x 

x∈X 

On note µX l’espérance de X dans la population. 




Exemple: Prix des quotidiens: 

x 2 FS 2.50 FS 3 FS 

P(X = x) 0.1 0.5 0.4 




Exemple: Prix des quotidiens: 

x 2 FS 2.50 FS 3 FS 

P(X = x) 0.1 0.5 0.4 

µX = 0.1 · 2 + 0.5 · 2.5 + 0.4 · 3 = 2.65 




L’espérance n’étant autre que la moyenne, elle possède également 

la propriété de linéarité. 






E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) 






E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) 

E(a · X ) = a · E(X ), où a est une constante (pas une variable 

aléatoire) 






E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) 


aléatoire) 

On peut bien sûr combiner: 

E(a · X + b · Y ) = a · E(X ) + b · E(Y ), où a et b sont des 

constantes 






E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) 


aléatoire) 

On peut bien sûr combiner: 

E(a · X + b · Y ) = a · E(X ) + b · E(Y ), où a et b sont des 

constantes 

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, on a 

E(X · Y ) = E(X ) · E(Y ) 



Variance d’une variable aléatoire 

Variance de X 

La variance d’une variable aléatoire X est définie comme 

l’espérance du carré de l’écart entre X et son espérance: 

Var(X ) = E (X − E(X )) 2 

On note σ 2 X 

= 

p(x) (x − µ) 2 

x∈X 

= 

x∈X 

p(x) x 2 − µ 2 

la variance de X dans la population. 

L’écart-type σX de X est la racine carrée de la variance. 




Prix des quotidiens: 

x 2 FS 2.50 FS 3 FS 

P(X = x) 0.1 0.5 0.4 




Prix des quotidiens: 

x 2 FS 2.50 FS 3 FS 

P(X = x) 0.1 0.5 0.4 

µX = 0.1 · 2 + 0.5 · 2.5 + 0.4 · 3 = 2.65 

σ 2 X = 0.1 · (2 − 2.65)2 + 0.5 · (2.5 − 2.65) 2 + 0.4 · (3 − 2.65) 2 

= 0.1025 

σX = √ 0.1025 = 0.3202

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