Mathématiques 1 : Résumé

Résumé 

Mathématiques 1 : Résumé 

Alexandre Caboussat 

alexandre.caboussat@hesge.ch 

Classe : Mercredi 18h15 - 20h00 

Salle : C222 

http://campus.hesge.ch/caboussata 

A. Caboussat, HEG MATH 1, 2010 1 / 17

Fonctions 


Représentation graphique 

Plan euclidien 

Domaine, codomaine, image, etc. 

f : A → B 

x → y = f (x) 



Fonction affine (pages 18-27) 

f : R → R 

x → y = ax + b 

donnée par deux points, ou par un point et une pente. 

pente = y2−y1 

x2−x1 . 

pente = a / ordonnée à l’origine = b. 


Fonctions 

Parabolique (page 29): 

Polynomiale (page 30): 


f : R → R 

x → y = ax 2 + bx + c 

f : R → R 

x → y = anx n + an−1x n−1 + . . . + a1x + a0. 

Valeur absolue (page 32): 

f : R → 

 

R 

x, si x ≥ 0 

x → y = |x| = 

−x, si x < 0 

Fonction définie par morceaux (page 33). 

Addition de fonctions, multiplication de fonctions, division de 

fonctions (page 38). 

L’opposé d’une fonction, l’inverse d’une fonction (page 39). 



Fonction composée (pages 40-41): 

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) 

Fonction réciproque (pages 47-52): 

représentation graphique. 

(f ◦ f −1 )(x) = (f −1 ◦ f )(x) = x 



Point d’intersection de deux fonctions (pages 56 et 

suivantes) 



Fonctions exponentielle et logarithme 

Page 63: 

Page 64: 

Page 66: 

exp a : R → R + 

x → y = a x 

exp : R → R + 

x → y = e x 

ln : R + → R 

x → y = ln(x) 

exp(ln(u)) = u, ln(exp(x)) = x 

Propriétés de l’exponentielle et du logarithme (slide 68) et 

résolution d’équations utilisant le logarithme et l’exponentielle 

(page 69-70 et exercices). 


Limites 

Calculer des limites 


Traiter les cas 0/0 ou similaires. 

Factoriser pour simplifier. 


Dérivée 

Définition 


f ′ (x) = lim 

h→0 

f (x + h) − f (x) 

. 

h 

représentation graphique (sécante, page 91). 

Calcul de dérivées (page 99). 



Règles de dérivation (page 100) 

(f (x) + g(x)) ′ = f ′ (x) + g ′ (x) 

(αf (x)) ′ = αf ′ (x) 

(f (x) · g(x)) ′ = f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x) 

′ 

f (x) 

= 

g(x) 

f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x) 

(g(x)) 2 

((f ◦ g)(x)) ′ = f ′ (g(x))g ′ (x) 


Dérivée 


Croissance et décroissance d’une fonction (page 115 et 

suivantes) 

Dérivée d’ordre supérieur (page 113). 

Extremum et optimisation (page 122). 



Optimisation sur un intervalle 

Trouver le maximum de f sur l’intervalle [a, b]. 

1 Chercher tous les points xi tels que f ′ (xi) = 0. 

2 Pour tous ces points, calculer f (xi), ainsi que f (a) et f (b). 

3 Le maximum global est la plus grande de ces valeurs, et le 

minimum global est la plus petite. 



Approximations et dérivées 

1 approximation linéaire (page 132, exemples: taux, 

delta-hedging); 

∆f f ′ (x0)∆x 

2 approximation quadratique (pages 134-136, exemple: 

delta-gamma hedging); 

∆f f ′ (x0)∆x + f ′′ (x0) 

(∆x) 

2 

2 

3 approximation d’ordre n: pas besoin! 



Applications: Immunisation du risque de taux 

Sensibilité du prix de l’obligation par rapport au taux. 

Duration, Dollar duration, DV01 (page 149). 

Immunisation = égaler les dollar duration (pages 151-153). 



Applications: Coût marginal 

Définitions (page 158). 

Calculer le coût marginal. 

Calculer le prix en situation de monopole (fonction réciproque 

de la demande, pages 161-162). 

Calculer revenu et revenu marginal (pages 164-165). 

Profit et maximisation du profit (pages 166-170 + exercices). 



Applications: Elasticité (pages 177) 

Exercices 4.3 et 4.4 

∆q 

q0 

= −η ∆p 

A. Caboussat, HEG MATH 1, 2010 16 / 17 

p0


Applications: Delta-Gamma hedging 

Définitions: options put et call, strike, maturité, achat, vente, 

etc. (pages 183-186) 

Delta hedging: couvrir le risque d’un portefeuille avec UN seul 

produit (page 187): 

delta du portefeuille = n · delta du produit 

Delta-gamma hedging: couvrir le risque d’un portefeuille avec 

DEUX produits (page 192): 

delta portefeuille = n1 · delta prod. 1 + n2 · delta prod. 2 

gamma portefeuille = n1· gamma prod. 1 +n2· gamma prod. 2 

+ exercices.

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