Comportement des nanoparticules de silice en milieu biologique ...
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tel-00836093, version 1 - 20 Jun 2013<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
Équations sans dim<strong>en</strong>sion<br />
Annexes<br />
Nous allons écrire le système <strong>en</strong> forme adim<strong>en</strong>sionnelle <strong>en</strong> utilisant les échelles suivantes<br />
pour :<br />
1 – l'espace : la longueur <strong>de</strong> l’échantillon<br />
l soit<br />
x ˜ = x<br />
l<br />
2 – la conc<strong>en</strong>tration : la conc<strong>en</strong>tration initiale C0 soit C ˜ =<br />
€<br />
€<br />
€<br />
€<br />
C<br />
C0 l<br />
3 – le temps : le temps <strong>de</strong> diffusion<br />
2<br />
D soit τ = t<br />
l 2<br />
D<br />
Nous avons donc une écriture dans <strong><strong>de</strong>s</strong> variables sans dim<strong>en</strong>sion<br />
∂ ˜ C<br />
∂τ = ∂ 2 C ˜ ∂S ˜<br />
2 − k<br />
∂˜ x ∂τ<br />
∂ ˜ S<br />
∂τ<br />
= λ( ˜<br />
C − K ˜<br />
S )<br />
où λ est le rapport <strong>en</strong>tre le temps <strong>de</strong> diffusion<br />
€<br />
€<br />
D<br />
l 2<br />
⎛⎛<br />
⎜⎜<br />
⎝⎝<br />
⎞⎞<br />
⎟⎟ et le temps <strong>de</strong> désorption<br />
⎠⎠<br />
k d et<br />
constante <strong>de</strong> Langmuir c'est à dire le rapport <strong>en</strong>tre les temps <strong>de</strong> désorption et absorption .<br />
€ €<br />
€<br />
Pour les conditions aux limites nous avons :<br />
∂ ˜ C ⎛⎛ ∂C ˜ ⎞⎞<br />
= α⎜⎜ ⎟⎟<br />
∂τ ⎝⎝ ∂x ⎠⎠ x=0<br />
et<br />
∂ ˜ C ⎛⎛ ∂C ˜ ⎞⎞<br />
= β⎜⎜ ⎟⎟<br />
∂τ ⎝⎝ ∂x ⎠⎠ x=1<br />
où α et β sont les rapports d'aspect<br />
condition aux limites est à<br />
et 1.<br />
€<br />
€<br />
l 1<br />
l et<br />
l 3<br />
l<br />
K la<br />
respectivem<strong>en</strong>t. Il faut noter que la <strong>de</strong>uxième<br />
x =1 car la variable spatiale réduite est définie maint<strong>en</strong>ant <strong>en</strong>tre 0<br />
€<br />
Approche Numérique<br />
Pour intégrer numériquem<strong>en</strong>t le système proposé nous allons remplacer les opérateurs<br />
différ<strong>en</strong>tielles par <strong><strong>de</strong>s</strong> différ<strong>en</strong>ces finies déc<strong>en</strong>trées (pour l'opérateur temporal) et c<strong>en</strong>trées<br />
(pour l’opérateur spatial) comme ceci :<br />
•<br />
∂C<br />
∂τ <strong>de</strong>vi<strong>en</strong>t<br />
€<br />
i+1 i<br />
C j – C j<br />
Δt<br />
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