11 - Produit scalaire Cours complet - CPGE Dupuy de Lôme

Produit scalaire. Chap. 11 : cours complet.
1. Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques.
Définition 1.1 : forme bilinéaire symétrique
Théorème 1.1 : espace vectoriel des formes bilinéaires sur un -espace vectoriel
Définition 1.2 : forme quadratique associé à une forme bilinéaire symétrique, forme quadratique
Théorème 1.2 : lien entre forme bilinéaire symétrique et forme quadratique associée
Définition 1.3 : forme bilinéaire symétrique positive
Théorème 1.3 : inégalité de Cauchy-Schwarz, cas réel
2. Produit scalaire réel ou complexe.
Définition 2.1 : produit scalaire sur un -espace vectoriel, espace préhilbertien réel
Théorème 2.1 : exemples classiques dans le cas réel
Définition 2.2 : produit scalaire hermitien sur un -espace vectoriel, espace préhilbertien complexe
Théorème 2.2 : exemples classiques dans le cas complexe
Théorème 2.3 : inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas complexe
Définition 2.3 : forme bilinéaire, symétrique, définie (ou sesquilinéaire, à symétrie hermitienne, définie)
Théorème 2.4 : équivalence non dégénérée ⇔ définie
Théorème 2.5 : cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire
Définition 2.4 et théorème 2.6 : norme et distance associée à un produit scalaire, inégalité de Minkowski
Théorème 2.7 : égalités dites « de polarisation »
3. Orthogonalité.
Définition 3.1 : vecteurs orthogonaux, vecteurs unitaires (ou normés), famille orthogonale, orthonormale
Théorème 3.1 : liberté d’une famille orthogonale ou orthonormale
Théorème 3.2 : de Pythagore
Théorème 3.3 : procédé d’orthogonalisation et d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Définition 3.2 : sous-espaces vectoriels orthogonaux
Théorème 3.4 : cas de sous-espaces vectoriels de dimension finie
Définition 3.3 et théorème 3.5 : orthogonal d’une partie d’un espace vectoriel
Définition 3.4 : sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux
Théorème 3.6 : caractérisation en dimension finie des supplémentaires orthogonaux
Théorème 3.7 et définition 3.5 : somme directe orthogonale de sous-espaces vectoriels
4. Espaces euclidiens et hermitiens.
Définition 4.1 : espace vectoriel euclidien, espace vectoriel hermitien
Théorème 4.1 : existence de bases orthonormales dans les espaces euclidiens et hermitiens
Théorème 4.2 : de la base incomplète orthogonale ou orthonormale
Théorème 4.3 : isomorphisme canonique d’un espace euclidien sur son dual
Théorème 4.4 : caractérisation matricielle des bases orthogonales ou orthonormales
Théorème 4.5 : expression matricielle du produit scalaire, cas réel
Théorème 4.6 : expression matricielle du produit scalaire, cas complexe
5. Projections orthogonales.
Théorème 5.1 : supplémentaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel de dimension finie
Théorème 5.2 : cas d’un hyperplan d’un espace euclidien
Théorème 5.3 : expression de la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
Définition 5.1 et théorème 5.4 : distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie
Théorème 5.5 : inégalité de Bessel
6. Endomorphismes adjoints et autoadjoints dans un espace vectoriel euclidien.
Théorème 6.1 et définition 6.1 : adjoint d’un endomorphisme dans un espace vectoriel euclidien
Théorème 6.2 : involution : u a u*
Définition 6.2 : endomorphisme autoadjoint
Théorème 6.3 : caractérisation matricielle des endomorphismes autoadjoints
Théorème 6.4 : espace vectoriel des endomorphismes autoadjoints
Théorème 6.5 : caractérisation par leur adjoint des projecteurs orthogonaux d’un espace vectoriel
euclidien
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 1 -

7. Endomorphismes orthogonaux et matrices orthogonales.
Définition 7.1 et théorème 7.1 : endomorphisme orthogonal dans un espace vectoriel euclidien
Théorème 7.2 : bijectivité des endomorphismes orthogonaux en dimension finie
Théorème 7.3 : caractérisation par leur adjoint des endomorphismes orthogonaux
Définition 7.2 : matrice orthogonale
Théorème 7.4 : caractérisation des matrices orthogonales par leurs vecteurs lignes ou colonnes
Théorème 7.5 : caractérisation matricielle des endomorphismes orthogonaux
Théorème 7.6 et définition 7.3 : les groupes (O(E),o) et (O(n),×)
Définition 7.4 : isométries d’un espace vectoriel euclidien, isométries positives et négatives
Théorème 7.7 : matrice de passage entre bases orthonormales
8. Réduction des endomorphismes autoadjoints d’un espace vectoriel euclidien et des matrices
symétriques réelles.
Théorème 8.1 : valeurs propres d’une matrice symétrique réelle, d’un endomorphisme autoadjoint
Théorème 8.2 : orthogonalité des espaces propres d’un endomorphisme autoadjoint
Théorème 8.3 : diagonalisabilité des endomorphismes autoadjoints
Théorème 8.4 : diagonalisabilité des matrices symétriques réelles
Théorème 8.5 et définition 8.1 : endomorphisme autoadjoint associé à une forme bilinéaire symétrique
Théorème 8.6 : réduction des formes bilinéaires symétriques
9. Réduction des matrices de O(2) et O(3), endomorphismes orthogonaux en dimension 2 ou 3.
Théorème 9.1 : éléments de O(2) : matrices orthogonales 2×2
Théorème 9.2 : endomorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2
Théorème 9.3 : endomorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien de dimension 3
Théorème 9.4 : éléments de O(3) : matrices orthogonales 3×3
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 2 -

Produit scalaire. Chap. 11 : cours complet.
1. Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques.
Définition 1.1 : forme bilinéaire symétrique
Soit E un -espace vectoriel.
On dit que ϕ est une forme bilinéaire symétrique sur E si et seulement si :
• ϕ est une application de E×E dans ,
• ϕ est bilinéaire :
∀ (x,y) ∈ E×E, ∀ (x’,y’) ∈ E×E, ∀ (λ,μ) ∈ ²,
ϕ(λ.x + μ.y,x’) = λ.ϕ(x,x’) + μ.ϕ(y,x’), et :
ϕ(x,λ.x’ + μ.y’) = λ.ϕ(x,x’) + μ.ϕ(x,y’),
• ϕ est symétrique : ∀ (x,y) ∈ E×E, ϕ(x,y) = ϕ(y,x).
Théorème 1.1 : espace vectoriel des formes bilinéaires sur un -espace vectoriel
Soit E un -espace vectoriel.
Les lois suivantes permettent de munir l’ensemble des formes bilinéaires L2(E,) sur E d’une structure
de -espace vectoriel :
• ∀ (ϕ,ψ) ∈ L2(E,) 2 , (ϕ + ψ) est définie par : ∀ (x,y) ∈ E 2 , (ϕ + ψ)(x,y) = ϕ(x,y) + ψ(x,y),
• ∀ ϕ ∈ L2(E,), ∀ λ ∈ , λ.ϕ est définie par : ∀ (x,y) ∈ E 2 , (λ.ϕ) (x,y) = λ.ϕ(x,y).
Démonstration :
Il est immédiat que ce sont bien des lois internes et externes sur L2(E,), puisque les objets que l’on
obtient sont bien des éléments de cet ensemble.
Par ailleurs, les propriétés habituelles qui en font un espace vectoriel sont bien vérifiées.
Définition 1.2 : forme quadratique associé à une forme bilinéaire symétrique, forme quadratique
Soit E un -espace vectoriel.
Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique définie sur E.
L’application φ définie sur E par : ∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x), est appelée forme quadratique associée à ϕ.
Plus généralement, on dit que φ est une forme quadratique sur E si et seulement si il existe une forme
bilinéaire symétrique ϕ définie sur E, telle que φ soit la forme quadratique associée à ϕ sur E.
Théorème 1.2 : lien entre forme bilinéaire symétrique et forme quadratique associée
Soit E un -espace vectoriel.
Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique définie sur E, et φ sa forme quadratique associée.
Alors : ∀ (x,y) ∈ E 2 1 1
, ϕ(x,y) = . [φ(x + y) – φ(x) – φ(y)] = .[φ(x + y) – φ(x – y)].
2
4
Démonstration :
Soient donc x et y dans E.
On a alors : φ(x+y) = ϕ(x+y,x+y) = ϕ(x,x) + 2.ϕ(x,y) + ϕ(y,y) = φ(x) + 2.ϕ(x,y) + φ(y), d’où le premier point.
De même : φ(x – y) = φ(x) – 2.ϕ(x,y) + φ(y), et on en déduit la deuxième égalité.
Définition 1.3 : forme bilinéaire symétrique positive
Soit E un -espace vectoriel.
Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique définie sur E.
On dit que ϕ est positive si et seulement si : ∀ x a E, ϕ(x,x) ≥ 0, soit encore : φ(x) ≥ 0, pour la forme
quadratique φ associée à ϕ.
Théorème 1.3 : inégalité de Cauchy-Schwarz, cas réel
Soit E un -espace vectoriel.
Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique sur E.
Si ϕ est de plus positive, alors : ∀ (x,y) ∈ E², ϕ ( x,
y)
≤ ϕ(
x,
x)
. ϕ(
y,
y)
.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 3 -

Démonstration :
Soit ψ la fonction définie de dans par : ∀ t ∈ , ψ(t) = ϕ(x + t.y,x + t.y).
Puisque ϕ est positive, ψ est également à valeurs dans + .
Par ailleurs : ∀ t ∈ , ψ(t) = ϕ(x,x) + 2.t.ϕ(x,y) + t 2 .ϕ(y,y), en utilisant la bilinéarité et la symétrie de ϕ.
Distinguons alors deux cas :
• ϕ(y,y) = 0.
Dans ce cas, ψ est une fonction affine de t qui reste positive. Elle est donc constante et : ϕ(x,y) = 0.
On a bien alors : 0 = ϕ ( x,
y)
≤ ϕ(
x,
x)
. ϕ(
y,
y)
= 0.
• ϕ(y,y) ≠ 0, et donc : ϕ(y,y) > 0.
Dans ce cas ψ est une fonction polynomiale du second degré.
Comme elle reste positive, elle admet au plus une racine réelle (double) et son discriminant est négatif
ou nul, soit : Δ = ϕ(x,y) 2 – ϕ(x,x).ϕ(y,y) ≤ 0, ce qui donne à nouveau : ϕ ( x,
y)
≤ ϕ(
x,
x)
. ϕ(
y,
y)
.
2. Produit scalaire réel ou complexe.
Définition 2.1 : produit scalaire sur un -espace vectoriel, espace préhilbertien réel
Soit E un -espace vectoriel.
On dit que ϕ est un produit scalaire sur E si et seulement si ϕ est une forme bilinéaire symétrique
positive, non dégénérée, soit encore :
• ϕ est une application de E×E dans ,
• ϕ est bilinéaire :
∀ (x,y) ∈ E×E, ∀ (x’,y’) ∈ E×E, ∀ (λ,μ) ∈ ²,
ϕ(λ.x + μ.y,x’) = λ.ϕ(x,x’) + μ.ϕ(y,x’), et :
ϕ(x,λ.x’ + μ.y’) = λ.ϕ(x,x’) + μ.ϕ(x,y’),
• ϕ est symétrique : ∀ (x,y) ∈ E×E, ϕ(x,y) = ϕ(y,x),
• ϕ est positive : ∀ x ∈ E, ϕ(x,x) ≥ 0,
• ϕ est non dégénérée : ∀ x ∈ E, (∀ y ∈ E, ϕ(x,y) = 0) ⇒ (x = 0).
On dit alors que (E,ϕ) est un espace préhilbertien réel.
Théorème 2.1 : exemples classiques dans le cas réel
Les applications suivantes définissent des produits scalaires sur les espaces vectoriels indiqués :
• ∀ (x,y) ∈ ( n ) 2 n
, x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn), (x,y) a∑ x i. yi
, dans
i=
1
n .
• ∀ (f,g) ∈ (C 0 ([a,b],) 2 , (f,g) a ∫ b
f ( t).
g(
t).
dt , dans C
a
0 ([a,b], ), où [a,b] est un segment inclus dans .
Démonstration :
• L’application proposée (notons-la (.|.)) est correctement définie de ( n ) 2 dans .
Il est clair qu’elle est symétrique puisque : ∀ (x,y) ∈ ( n ) 2 n
, (x|y) = ∑
n
i.
yi
= ∑
i=
1
i=
1
x y . x = (y|x).
Elle est de plus linéaire par rapport à sa première variable puisque :
∀ x ∈ n , ∀ (y,y’) ∈ n , ∀ (λ,λ’) ∈ 2 , (x|λ.y +λ’.y’) = λ.(x|y) + λ’.(x|y’), sans difficulté.
Enfin, elle est non dégénérée, puisque si pour : x ∈ n , on a : ∀ y ∈ n , (x|y) = 0, en particulier pour :
y = x, et cela donne : ∑ =
n
2
x i = 0, et tous les xi étant positifs, on conclut à : ∀ 1 ≤ i ≤ n, xi = 0, soit : x = 0.
i 1
• De même, l’application (notée encore (.|.)) est correctement définie de E 2 dans , (puisque, en notant
E l’espace vectoriel C 0 ([a,b],)), pour tout : (f,g) ∈ E 2 , f.g est continue est à valeurs réelles sur [0,1].
De plus, elle est symétrique de façon immédiate.
Puis elle est linéaire par rapport à sa deuxième variable (du fait de la linéarité de l’intégrale sur [a,b]).
2
Enfin, si pour : f ∈ E, on a : (f|g) = 0, en particulier pour : g = f, ce qui donne : f ( t)
. dt = 0 .
Mais comme la fonction f 2 est continue et positive sur [a,b], on en déduit bien que : f 2 = 0, puis : f = 0.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 4 -
∫
a
b
i
i

Définition 2.2 : produit scalaire hermitien sur un -espace vectoriel, espace préhilbertien complexe
Soit E un -espace vectoriel.
On dit que ϕ est un produit scalaire hermitien sur E si et seulement si :
• ϕ est une application de E×E dans ,
• ϕ est sesquilinéaire (linéaire à droite, semi-linéaire à gauche) :
∀ (x,y) ∈ E×E, ∀ (x’,y’) ∈ E×E, ∀ (λ,μ) ∈ ²,
ϕ(λx + μy,x’) = λ .ϕ(x,x’) + μ .ϕ(y,x’), et :
ϕ(x,λx’ + μy’) = λ.ϕ(x,x’) + μ.ϕ(x,y’)
• ϕ est à symétrie hermitienne : ∀ (x,y) ∈ E×E, ϕ(x,y) = ϕ ( y,
x)
,
• ϕ est positive : ∀ x ∈ E, ϕ(x,x) ≥ 0,
• ϕ est non dégénérée : ∀ x ∈ E, (∀ y ∈ E, ϕ(x,y) = 0) ⇒ (x = 0).
On dit alors que (E,ϕ) est un espace préhilbertien complexe.
Théorème 2.2 : exemples classiques dans le cas complexe
Les applications suivantes définissent des produits scalaires hermitiens sur les espaces vectoriels
indiqués :
• ∀ (x,y) ∈ ( n ) 2 n
, x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn), (x,y) a ∑ x i. yi
, dans
i=
1
n .
• ∀ (f,g) ∈ (C 0 ([a,b],) 2 , (f,g) a ∫ b
f ( t)
. g(
t).
dt , dans C
a
0 ([a,b], ), où [a,b] est un segment inclus dans .
• ∀ (f,g) ∈ (C 0 2π(,)) 2 , (f,g) a ∫ π 2
f ( t)
. g(
t).
dt , dans C
0
0 2π(,), espace des fonctions définies,
continues et 2.π-périodiques, de dans .
Démonstration :
Les démonstrations vont s’inspirer des démonstrations du théorème 2.1.
• Pour le premier exemple, il est clair que l’application est correctement définie de n × n dans .
Puis elle est à symétrie hermitienne car : ∀ (x,y) ∈ ( n ) 2 n
, (y|x) = ∑ yi
. x i
n
= ∑ x i.
yi
= ( x y)
i=
1
i=
1
Elle est de plus linéaire par rapport à sa deuxième variable (comme dans le cas réel).
Enfin, si pour : x ∈ n , on a : ∀ y ∈ n , (x|y) = 0, en particulier pour : y = x, ce qui conduit à :
n
∑
i=
1
x
2
i
= 0 , et comme tous les modules sont des réels, finalement : ∀ 1 ≤ i ≤ n, |xi| = 0, soit : x = 0.
• Dans ce deuxième cas, l’application proposée est correctement définie de l’espace E proposé dans ,
puisque : ∀ (f,g) ∈ E 2 , f . g est définie et continue de [a,b] dans .
Puis elle est encore à symétrie hermitienne car : ∀ (f,g) ∈ E 2 b
, ∫ ( t)
. f ( t).
dt
a ∫a
= b
g f ( t)
. g(
t).
dt .
Elle est également clairement linéaire par rapport à sa deuxième variable.
Enfin, si pour : f ∈ E, on a : ∀ g ∈ E, ∫ b
f ( t)
. g(
t).
dt = 0, en particulier pour : g = f, ce qui donne :
∫ b
a
a
2
f ( t)
. dt = 0, et |f| 2 étant une fonction continue et positive sur [a,b], on en déduit que :
∀ t ∈ [a,b], |f(t)| = 0, soit finalement : f = 0.
• Pour ce troisième cas, les trois premiers points à vérifier sont identiques à ceux qu’on vient de voir.
Pour le quatrième, sous la même hypothèse que précédemment, on constate que : ∀ t ∈ [0,2.π], f(t) = 0.
f est donc nulle sur [0,2.π], mais étant de plus 2.π-périodique, elle est nulle sur , et : f = 0.
Théorème 2.3 : inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas complexe
Soit E un -espace vectoriel.
Soit ϕ une forme sesquilinéaire, à symétrie hermitienne, positive sur E.
Alors : ∀ (x,y) ∈ E², ϕ ( x,
y)
≤ ϕ(
x,
x)
. ϕ(
y,
y)
.
Démonstration :
Soit α un réel fixé dont on précisera la valeur plus tard.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 5 -
.

Pour t réel, on pose : ψ(t) = ϕ(x + t.e -iα .y|x + t.e -iα .y).
Comme ϕ est positive, ψ est également à valeurs positives.
De plus, ϕ étant également à symétrie hermitienne et sesquilinéaire, on peut écrire :
∀ t ∈ , ψ(t) = ϕ(x,x) + t.e iα ϕ(y,x) + t.e -iα .ϕ(x,y) + t 2 .ϕ(y,y).
Distinguons alors (encore) deux cas :
• si : ϕ(x,y) = 0, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée puisque ϕ est positive.
• si : ϕ(x,y) ≠ 0, notons alors : ϕ(x,y) = ρ.e iθ , avec : ρ > 0, et : θ ∈ , et choisissons : α = θ.
On constate alors que : ∀ t ∈ , ψ(t) = ϕ(x,x) + 2.t.ρ + t 2 .ϕ(y,y).
Alors comme dans le cas réel, on constate cependant ici que ϕ(y,y) ne peut être nul (fonction affine avec
ρ non nul) et donc comme fonction polynomiale du second degré, on a : Δ = ρ 2 – ϕ(x,x).ϕ(y,y) ≤ 0, soit à
nouveau : ϕ ( x,
y)
≤ ϕ(
x,
x)
. ϕ(
y,
y)
.
Définition 2.3 : forme bilinéaire, symétrique, définie (ou sesquilinéaire, à symétrie hermitienne,
définie)
Soit E un - ou -espace vectoriel.
Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique sur E, ou sesquilinéaire à symétrie hermitienne.
On dit que la forme ϕ est définie si et seulement si : ∀ x ∈ E, (ϕ(x,x) = 0) ⇒ (x = 0).
Théorème 2.4 : équivalence non dégénérée ⇔⇔⇔⇔ définie
Soit E un - ou -espace vectoriel.
Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique sur E, ou sesquilinéaire à symétrie hermitienne.
Alors ϕ est non dégénérée si et seulement si ϕ est définie.
On peut donc remplacer « non dégénérée » par « définie » dans la définition d’un produit scalaire.
Démonstration :
On travaille par double implication.
• [⇒]
Si ϕ est non dégénérée, soit : x ∈ E, tel que : ϕ(x,x) = 0.
On constate alors, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que : ∀ y ∈ E, ϕ(x,y) = 0.
Or ϕ étant non dégénérée, on en déduit que : x = 0, et ϕ est définie.
• [⇐]
Si ϕ est maintenant supposée définie et si x est tel que : ∀ y ∈ E, ϕ(x,y) = 0, alors en particulier pour :
y = x, et on en déduit que : ϕ(x,x) = 0.
Or ϕ étant supposée définie, on conclut bien que : x = 0.
Théorème 2.5 : cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire
Soit (E,ϕ) un espace préhilbertien, réel ou complexe.
Alors : ∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ ( x,
y)
= ϕ(
x,
x)
. ϕ(
y,
y)
, si et seulement si (x,y) est liée.
Démonstration :
Si l’on reprend la démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (dans le cas réel ou complexe), on
constate que, si cette inégalité devient une égalité, alors :
• dans le cas où : ϕ(y,y) = 0, alors y est nul puisque ϕ comme produit scalaire est une forme définie,
• dans le cas où : ϕ(y,y) ≠ 0, cela signifie dans les deux cas (réel et complexe) que le discriminant de la
fonction qui avait servi d’intermédiaire est nul, et donc que le trinôme noté ψ admet une racine double.
Autrement dit, dans les deux cas : ∃ λ ∈ (ou : λ.e -iα ), ϕ(x + λ.y,x + λ.y) = 0, et donc le vecteur (x + λ.y)
est nul, ou : 1.x + λ.y = 0.
Dans tous les cas, on constate bien que (x,y) est liée.
Définition 2.4 et théorème 2.6 : norme et distance associée à un produit scalaire, inégalité de
Minkowski
Soit (E,ϕ) un espace préhilbertien, réel ou complexe.
Alors l’application N définie par : ∀ x ∈ E, x a N(x) = ϕ ( x,
x)
, est une norme sur E, appelée norme
associée au produit scalaire ϕ.
De même, l’application d définie sur E 2 par : ∀ (x,y) ∈ E 2 , d(x,y) = N(x – y), est appelée distance
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 6 -

associée à la norme N (ou au produit scalaire ϕ).
Enfin, l’inégalité triangulaire vérifiée par N est appelée inégalité de Minkowski.
Démonstration :
Il y a donc quatre points à vérifier.
• pour tout vecteur x de E, la quantité N(x) existe puisque ϕ(x,x) est un réel positif, et : N(x) ∈ + .
• si pour : x ∈ E, on a : N(x) = 0, alors : ϕ(x,x) = 0, et ϕ comme produit scalaire est une forme définie,
donc : x = 0.
• pour : x ∈ E, et : λ ∈ (ou ), N(λ.x) = ϕ ( λ.
x,
λ.
x)
= λ . ϕ(
x,
x)
= λ.
ϕ(
x,
x)
= |λ|.N(x).
• enfin, pour : (x,y) ∈ E 2 , on a dans le cas réel :
N(x+y) 2 = ϕ(x+y,x+y) = ϕ(x,x) + 2.ϕ(x,y) + ϕ(y,y) ≤ N(x) 2 + 2.N(x).N(y) + N(y) 2 = (N(x) + N(y)) 2 , d’où
l’inégalité triangulaire pour N, et dans le cas complexe :
N(x+y) 2 = ϕ(x,x) + 2.Re(ϕ(x,y)) + ϕ(y,y) ≤ N(x) 2 + 2.|ϕ(x,y)| + N(y) 2 ≤ N(x) 2 + 2.N(x).N(y) + N(y) 2 , et on
termine comme dans le cas réel avec l’inégalité triangulaire.
Théorème 2.7 : égalités dites « de polarisation »
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe et . la norme associée à (.|.).
• dans le cas réel, on a les égalités suivantes : ∀ (x,y) ∈ E 2 ,
2
2
x + y = x + y + 2.(x|y),
2
1
(x|y) = .( x + y ² −
2
x ² −
1
y ²) = .( x + y ² −
4
x − y ²) .
• dans le cas complexe, ces égalités deviennent : ∀ (x,y) ∈ E 2 ,
2
2
x + y = x + y + 2.Re((x|y)),
2
1
(x|y) = .( x + y ² − x − y ² − i.
x + i.
y ² + i.
x − i.
y ²) .
4
Démonstration :
• Le cas réel a déjà été quasiment traité (théorème 1.2).
Il suffit d’écrire : ∀ (x,y) ∈ E 2 ,
2
x + y = ( x + y x + y)
= x + y + 2.(x|y), et :
d’où les égalités proposées.
• dans le cas complexe, on a : ∀ (x,y) ∈ E 2 ,
2
2
2
2
2
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 7 -
2
2
x − y = ( x − y x − y)
= x + y – 2.(x|y),
x + y = ( x + y x + y)
= x + y + ( x y)
+ ( y x)
= x + y + ( x y)
+ ( x y)
= x + y + 2.Re((x|y)),
puis si on développe l’expression suivante, le résultat est immédiat.
3. Orthogonalité.
Définition 3.1 : vecteurs orthogonaux, vecteurs unitaires (ou normés), famille orthogonale,
orthonormale
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe et . la norme associée à (.|.).
Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux pour (.|.) si et seulement si : (x|y) = 0.
De même, un vecteur x de E est dit unitaires (ou normé) si et seulement si : x = 1.
Soit (xi)i∈I, une famille de vecteurs de E.
On dit que la famille est orthogonale pour (.|.) si et seulement si : ∀ (i,j) ∈ I 2 , (i ≠ j) ⇒ ((xi|xj) = 0).
On dit que la famille est orthonormale pour (.|.) si et seulement si elle est orthogonale et si de plus, tous
les vecteurs de la famille sont normés.
Théorème 3.1 : liberté d’une famille orthogonale ou orthonormale
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe et . la norme associée à (.|.).
Soit (xi)i∈I, une famille de vecteurs de E.
Si la famille est orthogonale pour (.|.) et ne comporte pas le vecteur nul, elle est libre.
Si la famille est orthonormale pour (.|.), elle est libre.
2
2
2
2
2
2

Démonstration :
Comme les combinaisons linéaires qu’on peut envisager ne comporte toujours qu’au plus un nombre fini
de coefficients non nuls, on peut noter la famille (xi)1≤i≤n, pour un entier n donné.
Alors, si pour : (λi)1≤i≤n ∈ K n , on a : λ1.x1 + … + λn.xn = 0, alors :
∀ 1 ≤ i ≤ n, (xi|λ1.x1 + … + λn.xn) = 0, et par linéarité par rapport à la deuxième variable, on obtient :
∀ 1 ≤ i ≤ n, λi.
i
2
x = 0, (puisqu la famille est orthogonale).
Donc si tous les xi sont non nuls, on conclut bien au fait que : ∀ 1 ≤ i ≤ n, λi = 0, et la famille est libre.
Si maintenant on considère une famille orthonormale, elle est orthogonale et ne contient pas le vecteur
nul, donc elle est libre.
Théorème 3.2 : de Pythagore
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe et . la norme associée à (.|.).
Soit (xi)1≤i≤n, une famille finie orthogonale de vecteurs de E.
Alors :
1
n
2
x + ... + x = x + ... + x .
1
2
n
2
Démonstration :
On peut par exemple procéder par récurrence sur n.
Pour : n = 2, si (x1, x2) est une famille orthogonale de E, le théorème 2.7 donne bien le résultat voulu.
Si maintenant on suppose le résultat vrai pour tout famille orthogonale de n vecteurs de E (avec : n ≥ 2),
alors étant donné une famille orthogonale (x1, …, xn+1) de vecteurs de E, la famille (x1 + … + xn, xn+1) est
une famille de deux vecteurs de E, orthogonale car: (x1 + … + xn|xn+1) = (x1|xn+1) + … + (xn|xn+1) = 0.
Donc :
2
2
2 2
2
x 1 ... + x n+
1 = x1
+ ... + x n + x n+
1 = x1
+ ... + x n + x n+
1
+ .
Et la récurrence est terminée.
Théorème 3.3 : procédé d’orthogonalisation et d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe et . la norme associée à (.|.).
Soit (xi)1≤i≤n, une famille libre de vecteurs de E.
On peut construire une famille (e1, …, en) de vecteurs de E telle que :
• ∀ 1 ≤ p ≤ n, ep ≠ 0,
• ∀ 1 ≤ p ≤ n, ep ∈ Vect(x1, …, xp),
• ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, (ei|ej) = 0.
On a dans ce cas : ∀ 1 ≤ p ≤ n, Vect(x1, .., xp) = Vect(e1, …, ep).
Par ailleurs, dans le cas réel, il existe une unique famille (ε1, …, εn) de vecteurs de E, telle que :
• ∀ 1 ≤ p ≤ n, εp ∈ Vect(x1, …, xp),
• ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, (εi|εj) = 0,
• ∀ 1 ≤ p ≤ n, p 1 = ε ,
• ∀ 1 ≤ p ≤ n, (εp|xp) > 0.
On a encore dans ce cas : ∀ 1 ≤ p ≤ n, Vect(x1, .., xp) = Vect(ε1, …, εp).
Démonstration :
• orthogonalisation de la famille : on procède à la construction par récurrence en montrant en même
temps que la famille obtenue vérifie bien : ∀ 1 ≤ p ≤ n, Vect(e1, …, ep) = Vect(x1, …, xp).
On doit alors prendre e1 colinéaire à x1, et il est possible de trouver e1 tel que : e1 ≠ 0, et : e1 ∈ Vect(x1).
Il suffit pour cela de choisir par exemple : e1 = x1.
On a alors en plus (et quelque soit en fait le choix de e1) : Vect(e1) = Vect(x1).
Supposons maintenant que pour : 1 ≤ p ≤ n – 1, on ait construit une famille (e1, …, ep) telle qu’indiqué et
supposons alors de plus que : Vect(e1, …, ep) = Vect(x1, …, xp).
On cherche alors ep+1 tel que : ep+1 ∈ Vect(x1, …, xp+1), donc sous la forme : ep+1 = λ1.x1 + … + λp+1.xp+1.
Mais puisqu’on a de plus supposé que : Vect(e1, …, ep) = Vect(x1, …, xp), on peut alors écrire ep+1 sous
la forme : ep+1 = λ’1.e1 + … + λ’p.ep + λp+1.xp+1.
On veut de plus que la famille (e1, …, ep+1) soit orthogonale, ce qui s’écrit :
∀ 1 ≤ i ≤ p, (ei|ep+1) = 0 = λ’i.(ei|ep) + λp+1.(ei|xp+1),
( ei
x p+
1)
et comme les ei sont non nuls, pour : 1 ≤ i ≤ p, il est équivalent d’écrire : ∀ 1 ≤ i ≤ p, λ’i = − . λ 2 p+
1 .
e
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 8 -
2
i

⎡
p ( e ⎤
i x p+
1)
Autrement dit, le vecteur ep+1 est nécessairement de la forme : ep+1 = λp+1. ⎢x
p+
1 − ∑ . ei
⎥ .
2
⎢ i=
1 ⎣ ei
⎥
⎦
Or le vecteur dans le crochet est non nul (puisque la famille (xp+1, e1, …, ep) est libre) donc il est possible
de trouver un vecteur ep+1 répondant aux conditions imposées (en prenant : λp+1 ≠ 0).
Enfin, on a : Vect(e1, …, ep+1) ⊂ Vect(e1, …, ep, xp+1) = Vect(x1, …, xp+1), vu l’écriture de ep+1.
p ( ei
x p+
1)
1
Et comme de même, on a : x p+
1 = ∑ . e 2 i + . e p+
1 ,
i=
1 e λ p+
1
i
on a aussi : Vect(x1, …, xp+1) ⊂ Vect(e1, …, ep+1), d’où l’égalité, et ceci quelque soit le choix de ep+1.
La récurrence est donc terminée et l’existence d’une famille orthogonalisée établie.
• orthonormalisation de la famille.
Si on veut orthonormaliser la famille, alors la famille (ε1, …, εn) est une de celles construites
précédemment.
Montrons qu’à chaque étape de la construction, il n’y a qu’un vecteur qui répond aux conditions.
Pour ε1, on doit normer e1 et vérifier ensuite que : (ε1|x1) > 0.
x 1
x 1
Cela donne donc : ε1 = ± , puis : ε1 = , pour que le produit scalaire soit positif.
x
x
1
1
Si maintenant, pour : 1 ≤ p ≤ n – 1, on suppose tous les vecteurs εi, pour : 1 ≤ i ≤ p, construits de façon
unique, alors les vecteurs εi sont colinéaires aux vecteurs ei précédents et εp+1 s’écrit :
⎡
p ( e ⎤
i x p+
1)
εp+1 = λp+1. ⎢x
p+
1 − ∑ . ei
⎥ = λp+1.yp+1.
2
⎢ i=
1 ⎣ ei
⎥
⎦
La fait que εp+1 doit être normé laisse deux possibilités pour λp+1 (puisque le vecteur yp+1 est non nul,
comme on l’a vu précédemment), à savoir : λp+1 = ±
Si on fixe alors λp+1 à l’une de ces valeurs, alors : 1 = (εp+1|εp+1) = λp+1.(εp+1|yp+1) = λp+1.(εp+1|xp+1),
puisque εp+1 est orthogonal par construction aux vecteurs (ε1, …, εp).
Donc (εp+1|xp+1) est non nul, et il suffit enfin de choisir : λp+1 = +
1
y
, pour garantir que le produit
scalaire (εp+1|xp+1) est strictement positif.
Finalement, le vecteur εp+1 ainsi obtenu est le seul possible et il convient (au rang p+1).
Par récurrence, on vient bien de démontrer l’existence et l’unicité de la famille orthonormale annoncée.
Définition 3.2 : sous-espaces vectoriels orthogonaux
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe.
Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
On dit que F et G sont orthogonaux si et seulement si : ∀ (x,y) ∈ F×G, (x|y) = 0.
On note alors parfois : F ⊥ G.
Théorème 3.4 : cas de sous-espaces vectoriels de dimension finie
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe.
Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E de dimension finie, de bases BF et BG.
F et G sont orthogonaux si et seulement si tout vecteur de BF est orthogonal à tout vecteur de BG.
Démonstration :
On peut procéder par double implication.
• [⇒] si tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G, c’est en particulier vrai pour les vecteurs de
BF et de BG.
• [⇐] puisque : F = Vect(BF), et : G = Vect(BG), la bilinéarité (ou sesquilinéarité) du produit scalaire
montre qu’alors, tout vecteur de F est orthogonal à tout vecteur de G si c’est vrai pour les vecteurs de
BF et de BG.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 9 -
y
1
p+
1
.
p+
1

Définition 3.3 et théorème 3.5 : orthogonal d’une partie d’un espace vectoriel
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe.
Soit A une partie de E.
On appelle orthogonal de A, noté A ⊥ ou A°, l’ensemble des vecteurs de E orthogonaux à tous les
vecteurs de A, soit : A ⊥ = { x ∈ E, ∀ y ∈ A, (x|y) = 0}.
Pour toute partie A de E, A ⊥ est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration :
Il est clair que A ⊥ est inclus dans E.
De plus : ∀ y ∈ A, (0|y) = 0, et : 0 ∈ A ⊥ .
Enfin : ∀ (x,x’) ∈ (A ⊥ ) 2 , ∀ (λ,λ’) ∈ K 2 , ∀ y ∈ A, (λ.x + λ’.x’|y) = λ.(x|y) + λ’(x’|y) = 0, (en rajoutant une barre
de conjugaison sur les scalaires dans le cas complexe, ce qui ne change pas le résultat), et :
(λ.x+λ’.x’) ∈ A ⊥ .
Finalement, A ⊥ est bien un sous-espace vectoriel de E.
Définition 3.4 : sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe.
Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
On dit que F et G sont supplémentaires orthogonaux dans E si et seulement si F et G sont
supplémentaires dans E et orthogonaux.
⊥
On note alors : E = F⊕
G .
Un projecteur de E est alors dit projecteur orthogonal, lorsque les deux espaces qui permettent de le
définir sont des supplémentaires orthogonaux dans E.
Théorème 3.6 : caractérisation en dimension finie des supplémentaires orthogonaux
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe.
Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
F et G sont supplémentaires orthogonaux dans E si et seulement si on obtient une base orthogonale de
E en réunissant une base orthogonale de F et une base orthogonale de G.
Démonstration :
Travaillons encore par double implication :
• [⇒]
Si F et G sont supplémentaires orthogonaux dans E, alors en réunissant des bases orthogonales de F et
de G, on obtient tout d’abord une base de E, et tous les vecteurs de la base de F étant orthogonaux à
tous ceux de la base de G, la base de E obtenue est bien orthogonale.
• [⇐]
Si la réunion de deux bases orthogonales de F et de G donne une base orthogonale de E, alors les
vecteurs de la base de F et ceux de G sont orthogonaux entre eux et F et G sont orthogonaux d’après le
théorème 3.4.
De plus, il est clair que F et G sont supplémentaires dans E.
Théorème 3.7 et définition 3.5 : somme directe orthogonale de sous-espaces vectoriels
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe.
Soient F1, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E.
Si les sous-espaces vectoriels sont orthogonaux deux à deux, alors la somme [F1 + … + Fn] est directe.
On dit alors que les sous-espaces vectoriels sont en somme directe orthogonale, et on la note encore :
n
⊥ ⊥ ⊥
⊥
1 ⊕ F2
⊕...
⊕ Fn
, ou : Fi
i=
1
F
⊕ .
Démonstration :
Soit un vecteur par exemple de l’intersection : (F1 + … + Fn-1) ∩ Fn.
Alors on peut l’écrire : x = x1 + … + xn-1 = xn, chaque xi appartenant à l’espace Fi correspondant.
On constate que : (x|x) = (xn|x1 + … + xn-1) = (xn|x1) + … + (xn-1|xn) = 0,
et ce résultat est identique en intervertissant les rôles de espaces.
Finalement, la somme est bien directe.
4. Espaces euclidiens et hermitiens.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 10 -

Définition 4.1 : espace vectoriel euclidien, espace vectoriel hermitien
On appelle espace euclidien un espace vectoriel réel de dimension finie, muni d’un produit scalaire.
On appelle de même espace hermitien un espace vectoriel complexe de dimension finie, muni d’un
produit scalaire hermitien.
Théorème 4.1 : existence de bases orthonormales dans les espaces euclidiens et hermitiens
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien ou hermitien.
Il existe dans E des bases orthonormales pour (.|.).
Démonstration :
Il suffit de considérer une base de E (donc une famille libre) et de lui appliquer le procédé
d’orthonormalisation de Schmidt pour obtenir une nouvelle famille libre de n vecteurs de E (puisque
orthogonale sans le vecteur nul) donc une base orthonormale de E.
Théorème 4.2 : de la base incomplète orthogonale ou orthonormale
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien ou hermitien.
Soit (x1, …, xp) une famille orthogonale de vecteurs de E, ne comportant pas le vecteur nul.
Alors il est possible de compléter la famille (x1, …, xp) en une base orthogonale de E.
De même, si (e1, …, ep) est une famille orthonormale de vecteurs de E, il est possible de compléter cette
famille en une base orthonormale de E.
Démonstration :
On utilise cette fois le théorème de la base incomplète appliqué à la famille (x1, …, xp) et une base de E.
La famille complétée peut alors être orthogonalisée suivant le procédé de Schimdt qui donne pour les p
premiers vecteurs, les vecteurs x1, …, xp eux-mêmes.
Dans le cas d’une famille (e1, …, ep) de départ, orthonormale, on applique l’orthonormalisation pour
obtenir une base de E orthonormale, dont les premiers vecteurs sont encore (e1, …, ep).
Théorème 4.3 : isomorphisme canonique d’un espace euclidien sur son dual
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien.
L’application de E dans E* qui au vecteur a fait correspondre la forme linéaire (a|.) est un isomorphisme
d’espaces vectoriels.
En particulier : ∀ f* ∈ E*, ∃ ! a ∈ E, ∀ x ∈ E, f*(x) = (a|x).
Démonstration :
• Montrons tout d’abord que pour : a ∈ E, donné, (a|.) est bien une forme linéaire.
Pour cela : ∀ x ∈ E, (a|x) ∈ .
Puis : ∀ (x,y) ∈ E 2 , ∀ (λ,μ) ∈ 2 , (a|(λ.x + μ.y)) = λ.(a|x) + μ.(a|y),
du fait de la bilinéarité du produit scalaire.
Donc (a|.) est bien un élément de E*.
• Montrons maintenant que ω : a a (a|.), est elle-même une application linéaire de E dans E*.
Pour cela : ∀ (a,b) ∈ E 2 , ∀ (λ,μ) ∈ 2 , ∀ x ∈ E,
(ω(λ.a + μ.b))(x) = ((λ.a + μ.b)|x) = λ.(a|x) + μ.(b|x) = (λ.ω(a) + μ.ω(b))(x)
et donc : ω(λ.a + μ.b) = λ.ω(a) + μ.ω(b).
• Enfin, montrons que ω est injective, et pour cela, soit : a ∈ E, tel que : ω(a) = 0.
Alors : ∀ x ∈ E, (a|x) = 0, donc a est orthogonal à E et : a = 0.
Puisque pour terminer : dim(E) = dim(E*), on en déduit que ω est bien un isomorphisme de E sur E*.
Théorème 4.4 : caractérisation matricielle des bases orthogonales ou orthonormales, des formes
bilinéaires symétriques dans le cas réel
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien ou hermitien de dimension n.
Soit : B = (ei), une base de E.
On note M la matrice du produit scalaire dans la base (ei) définie par : ∀ 1 ≤ i,j ≤ n, mi,j = (ei|ej).
La matrice M est symétrique dans le cas où E est un espace euclidien.
On a de plus les équivalences suivantes, que E soit un espace vectoriel euclidien ou hermitien :
• (B est orthogonale) ⇔ (M est diagonale),
• (B est orthonormale) ⇔ (M = In).
Plus généralement, si M est la matrice d’une forme bilinéaire symétrique d’un espace euclidien E, alors
M est symétrique.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 11 -

Démonstration :
Dans le cas général d’une forme bilinéaire symétrique ϕ (ou d’un produit scalaire) d’un espace vectoriel
euclidien, il est clair que la matrice M est symétrique.
En effet, on a : ∀ 1 ≤ i,j ≤ n, mi,j = ϕ(ei,ej) = ϕ(ej,ei) = mj,i.
De plus, les deux résultats suivants sont presque immédiats puisque :
• (B est orthogonale) ⇔ (∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, (ei|ej) = 0 = mi,j) ⇔ (M est diagonale).
• (B est orthonormale) ⇔ (∀ 1 ≤ i,j ≤ n, (ei|ej) = δi,j) ⇔ (M = In).
Théorème 4.5 : expression matricielle du produit scalaire, cas réel
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Soit : B = (ei), une base de E.
Soient x et y des vecteurs de E, et X et Y les matrices colonnes de leurs coordonnées dans B.
Alors : (x|y) = t X.M.Y.
Si B est orthonormale, on a de plus :
• (x|y) = t X.Y = ∑
i=
1
n
• x = ∑
i=
1
i
i
n
( e x).
e ,
n
x (forme canonique d’un produit scalaire réel dans une base orthonormale),
i i y .
2
2
2
• x = ∑ x i = ∑(
ei
x)
.
i=
1
n
i=
1
Démonstration :
• Pour le premier point, il suffit de développer :
On note pour commencer : Y’ = M.Y, et on a : ∀ 1 ≤ i ≤ n, y’i = ∑ m i, k.
y k .
k=
1
Puis t X.M.Y est une matrice à une ligne et une colonne et son seul coefficient vaut alors :
n
∑
i=
1
n
n
∑∑
x . y'
= m . x y .
i
i
i=
1 k=
1
i,
k
i
k
D’autre part, en utilisant la bilinéarité du produit scalaire, on obtient également :
n
(x|y) = ∑ x i.(
ei
y)
= ∑ x i.
∑ y k .( ei
e k ) = ∑∑ x i.
y k.
m i,
k ,
i=
1
n
n
i=
1 k=
1
n
n
i=
1 k=
1
et les deux expressions sont égales si on confond la matrice 1×1 avec son unique coefficient.
• Si la base est orthonormale alors : ∀ 1 ≤ i,j ≤ n, mi,j = δi,j, la matrice M vaut In, et on a bien :
(x|y) = t X.Y = ∑
i=
1
n
x .
i i y .
• Soit : x = x1.e1 + … + xn.en, la décomposition de x suivant la base orthonormale B.
n
∑
j=
1
On peut alors calculer : (ei|x) = x j.(
ei
e j)
= x i , d’où l’expression de x.
n
2
2
2
• Enfin : x = ( x x)
= ∑ x i = ∑(
ei
x)
, vu les expressions trouvées précédemment.
i=
1
n
i=
1
Théorème 4.6 : expression matricielle du produit scalaire, cas complexe
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel hermitien de dimension n.
Soit : B = (ei), une base de E.
Soient x et y des vecteurs de E, et X et Y les matrices colonnes de leurs coordonnées dans B.
t
Alors : (x|y) = X.
M.
Y .
Si B est orthonormale, on a de plus :
t
n
• (x|y) = = X . Y = ∑ x i.
yi
(forme canonique d’un produit scalaire complexe dans une base
i=
1
orthonormale),
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 12 -
n

n
• x = ∑
i=
1
( e x).
e ,
n
i
2
2
2
• x = ∑ x i = ∑ ( ei
x)
.
i=
1
i
n
i=
1
Démonstration :
On adapte sans difficulté la démonstration précédente au cas complexe, en tenant compte du fait que le
produit scalaire est cette fois semi-linéaire par rapport à la première variable, d’où les barres de
conjugaison et l’apparition du module dans l’expression de la norme d’un vecteur de E.
5. Projections orthogonales.
Théorème 5.1 : supplémentaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel de dimension finie
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension finie ou non.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p.
Alors F ⊥ est un supplémentaire de F dans E, appelé supplémentaire orthogonal de F dans E.
En particulier, si E est de dimension finie, on a donc : dim(F) + dim(F ⊥ ) = dim(E).
Démonstration :
On va montrer que tout vecteur de E peut se décomposer de façon unique comme somme d’un vecteur
de F et de F ⊥ .
Pour cela, soit (e1, …, ep) une base orthonormale BF de F et soit x un vecteur de E.
Si x peut s’écrire : x = xF + x⊥, avec : xF ∈ F, et : x⊥ ∈ F ⊥ , alors :
∃ (x1, …, xp) ∈ K p , xF = x1.e1 + … + xp.ep, et x⊥ est orthogonal à tout vecteur de F.
En particulier : ∀ 1 ≤ i ≤ p, (ei|x) = (ei|xF) + (ei|x⊥) = xi, puisque la base BF est orthonormale.
p
Donc xF ne peut valoir que : xF = ∑ ( ei
x).
ei
, et : x⊥ = x – xF.
i=
1
Réciproquement, cette unique décomposition possible convient car on a bien :
• xF ∈ F, puisque BF engendre F,
• x = xF + x⊥, par construction,
• ∀ 1 ≤ k ≤ p, (ek|x⊥) = (ek|x) – (ek|xF) = (ek|x) – (ek|x) = 0, à nouveau parce que la base BF de F est
orthonormale et en utilisant la linéarité du produit scalaire par rapport à sa première variable.
Le troisième point permet de conclure plus généralement que : ∀ y ∈ F, (y|x⊥) = 0.
Les deux sous-espaces vectoriels sont donc bien supplémentaires dans E et en particulier, si E est de
dimension finie, on a : dim(F) + dim(F ⊥ ) = dim(E).
Théorème 5.2 : cas d’un hyperplan d’un espace euclidien
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Soit H un hyperplan de E, et : B = (e1, …, en), une base orthonormale de E.
Alors si H est le noyau de la forme linéaire ϕ, l’expression de ϕ dans la base B fournit une base de H ⊥ .
Plus précisément, si un vecteur : x = x1.e1 + … + xn.en, a pour image [a1.x1 + … + an.xn] par ϕ, alors :
a1.x1 + … + an.xn = 0, est une équation de H et le vecteur (a1.e1 + … + an.en) est une base de H ⊥ .
Démonstration :
si B est une base orthonormale de E, il suffit de remarquer que, pour un vecteur x de E, s’écrivant :
x = x1.e1 + … + xn.en,, l’image : ϕ(x) = a1.x1 + … + an.xn, de ce vecteur s’écrit également :
ϕ(x) = (x|a), où a est la vecteur : a = a1.e1 + … + an.en, en utilisant le fait que l’expression du produit
scalaire dans la base B est alors canonique.
En particulier, on a : (x ∈ H) ⇔ (ϕ(x) = 0) ⇔ ((x|a) = 0) ⇔ x ∈ ((Vect(a)) ⊥ ).
Donc : H = (Vect(a)) ⊥ , ou : Vect(a) = H ⊥ .
Théorème 5.3 : expression de la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension
finie
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension finie ou non.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 13 -

Soit (e1, …, ep) une base orthonormale de F et pF la projection orthogonale de E sur F.
Alors pour tout vecteur x de E, on a : pF(x) = ∑
i=
p
1
( e x)
. e .
Démonstration :
On a montré dans la démonstration du théorème 5.1 qu’un vecteur x de E pouvait se décomposer
suivant la somme directe : E = F ⊕ F ⊥ , en : x = ∑
i=
orthonormale.
Dans ce cas, la projection orthogonale pF(x) de x sur F s’écrit : pF(x) = ∑
i=
p
1
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 14 -
i
i
i
( e x).
e + x⊥, puisque la base choisie dans F est
i
p
1
( e x).
e .
Définition 5.1 et théorème 5.4 : distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel de dimension finie
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension finie ou non et . la norme
associée.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p.
Pour un vecteur x de E, on appelle distance de x à F, notée d(x,F), la quantité : d(
x,
F)
inf x − z
i
i
=
z∈F
Cette valeur est atteinte en un unique vecteur de F qui est pF(x), la projection orthogonale de x sur F.
On a donc : d(x,F) = − p ( x)
.
x F
Démonstration :
Tout d’abord, pour un vecteur x de E, l’ensemble { x − z , z ∈ F} est non vide (il suffit de prendre : z = 0)
et il est constitué de réels positifs, donc il est minoré.
Par conséquent, il admet une borne inférieure.
De plus, en notant xF la projection orthogonale pF(x) de x sur F, on a :
∀ z ∈ F,
2
x − z = x − x + x − z .
F
F
2
Or : (x – xF) ∈ F ⊥ , et : (xF – z) ∈ F, donc ces deux vecteurs sont orthogonaux et le théorème de
Pythagore peut s’appliquer pour donner :
∀ z ∈ F,
2
x − z = x − x + x − z .
F
2
F
2
Il est alors clair que : ∀ z ∈ F, x − z ≥ x − x F , et : ∀ z ∈ F, (z ≠ xF) ⇒ ( x − z > x − x F ).
Donc la valeur x − x F est plus petit élément de l’ensemble { x − z , z ∈ F}, donc aussi sa borne
inférieure, et elle n’est atteinte qu’en : z = xF = pF(x).
Théorème 5.5 : inégalité de Bessel
Soit (E,(.|.)) un espace préhilbertien réel ou complexe de dimension finie ou non et . la norme
associée.
Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p.
Soit (e1, …, ep) une base orthonormale de F.
Pour tout vecteur x de E, on a :
Démonstration :
p
∑
i=
1
p
i
2
( e x)
≤
x
2
.
Soit x un vecteur de E, et : x = ∑ ( ei
x).
ei
+ x⊥, sa décomposition suivant la somme : E = F ⊕ F
i=
1
⊥ ,
puisque la base proposée dans E est orthonormale.
Alors les deux vecteurs de cette décomposition étant orthogonaux, le théorème de Pythagore s’applique
à nouveau et :
2
p
∑
x = ( e x).
e + x ≥ ( e x).
e = ( e x)
,
i=
1
i
i
2
⊥
2
p
∑
i=
1
i
i
2
p
∑
i=
1
puisque la base de F est orthonormale et l’expression de la norme au carré est alors canonique.
i
2
.

6. Endomorphismes adjoints et autoadjoints dans un espace vectoriel euclidien.
Théorème 6.1 et définition 6.1 : adjoint d’un endomorphisme dans un espace vectoriel euclidien
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien.
Soit : u ∈ L(E).
Il existe un unique endomorphisme de E, noté u* et appelé adjoint de u tel que :
∀ (x,y) ∈ E 2 , (x|u(y)) = (u*(x)|y).
Si B est une base orthonormale de E, alors : mat(u*,B) = t mat(u,B).
Démonstration :
• Montrons tout d’abord qu’un endomorphisme u de E ne peut admettre qu’un seul adjoint.
Pour cela, si u’ et u’’ répondent au problème, alors :
∀ x ∈ E, ∀ y ∈ E, (x|u(y)) = (u’(x)|y) = (u’’(x)|y), et : (u’(x) – u’’(x)|y) = 0.
Puisque, pour x fixé, cette dernière égalité est valable pour tout : y ∈ E, on en déduit : u’(x) – u’’(x) = 0.
Mais cette égalité étant elle-même valable pour tout : x ∈ E, on conclut à : u’ = u’’.
• Montrons maintenant que tout endomorphisme de E admet bien un adjoint.
Pour cela, soit B une base orthonormale de E, A la matrice de u dans B, et u* l’endomorphisme de E,
tel que : mat(u*,B) = A.
Alors : ∀ (x,y) ∈ E 2 , (x|u(y)) = t X.(A.Y) = t X. t ( t (A)).Y = t ( t A.X).Y = (u*(x)|y),
puisque dans B, l’expression du produit scalaire prend une forme canonique.
L’endomorphisme u* ainsi défini, répond bien au problème.
Théorème 6.2 : involution : u aaaa u*
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien.
L’application de L(E) dans lui-même qui à tout endomorphisme u de E fait correspondre u* est un
automorphisme involutif de L(E).
De plus : ∀ (u,v) ∈ (L(E)) 2 , (uov)* = v*ou*.
Démonstration :
Il suffit ici de raisonner matriciellement, et pour cela, de fixer une base orthonormale B de E.
Soit : u ∈ L(E), et : A = mat(u,B).
Alors u* est défini par : mat(u*,B) = t A,
et (u*)* est lui-même donné par : mat((u*)*,B) = t mat(u*,B) = t ( t A) = A, soit : (u*)* = u.
D’autre part : ∀ (u,v) ∈ L(E) 2 , notons : A = mat(u,B), et : B = mat(v,B).
Alors : mat((uov)*,B) = t (mat(uov,B)) = t (A.B) = t B. t A. = mat(v*,B).mat(u*,B) = mat(v*ou*,B),
d’où : (uov)* = v*ou*.
Définition 6.2 : endomorphisme autoadjoint
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien.
On dit qu’un endomorphisme u de E est autoadjoint si et seulement si : u = u*.
Théorème 6.3 : caractérisation des endomorphismes autoadjoints
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien.
Soit : u ∈ L(E).
L’endomorphisme u est autoadjoint si et seulement si sa matrice représentative dans toute base
orthonormale de E est symétrique.
Démonstration :
Soit B une base orthonormale de E.
Alors : ∀ u ∈ L(E), (u = u*) ⇔ (mat(u,B) = mat(u*,B) = t mat(u,B)) ⇔ (mat(u,B) symétrique).
Théorème 6.4 : espace vectoriel des endomorphismes autoadjoints
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n.
L’ensemble des endomorphismes autoadjoints de E forme un sous-espace vectoriel de L(E) de
n .( n + 1)
dimension .
2
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 15 -

Démonstration :
Fixons à nouveau une base orthonormale B de E et appelons φ l’isomorphisme de L(E) dans Mn(),
qui à un endomorphisme de E fait correspondre sa matrice représentative dans B.
L’ensemble S(E) des endomorphismes symétriques de E est bien un sous-espace vectoriel de E car :
• S(E) ⊂ L(E),
• S(E) ≠ ∅, puisque l’endomorphisme nul (de matrice nulle dans B, donc symétrique) est autoadjoint,
• ∀ (u,v) ∈ S(E), ∀ (λ,μ) ∈ 2 , mat(λ.u+μ.v,B) = λ.mat(u,B) + μ.mat(v,B), est symétrique, et :
(λ.u+μ.v) ∈ S(E).
De plus puisque : φ(S(E)) = Sn(), ensemble des matrices symétriques réelles de Mn(), les deux
sous-espaces vectoriels S(E) et Sn() ont même dimension car φ est un isomorphisme, et la dimension
n .( n + 1)
de S(E) est bien .
2
Théorème 6.5 : caractérisation par leur adjoint des projecteurs orthogonaux d’un espace vectoriel
euclidien
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien.
Soit : p ∈ L(E).
L’endomorphisme p est un projecteur orthogonal de E si et seulement si : (p 2 = p, et : p* = p).
Soit B une base orthonormale de E et : M = mat(p,B).
Alors p est un projecteur orthogonal de E si et seulement si : (M 2 = M, et : t M = M).
Démonstration :
Raisonnons par double implication.
• [⇒] Supposons que p est un projecteur orthogonal de E et notons B une base de E, formée de la
réunion d’une base orthonormale de Im(p) et d’une base orthonormale de ker(p).
Cela fournit une base orthonormale de E, et dans cette base, la matrice de p est symétrique puisqu’elle
⎛I
k 0⎞
vaut : mat(p,B) = ⎜ ⎟ , où : k = dim(Im(p)).
⎝ 0 0⎠
Donc p est autoadjoint, et : p = p*.
Comme c’est un projecteur, on a aussi : p 2 = p.
• [⇐] Supposons maintenant que : p 2 = p, et : p = p*.
Il est clair alors que p est un projecteur de E, et de plus :
∀ (x,y) ∈ ker(p)×Im(p), (x|y) = (x|p(y)) = (p*(x)|y) = (p(x)|y) = (0|y) = 0.
Comme ker(p) et Im(p) sont des supplémentaires orthogonaux dans E, p est bien un projecteur
orthogonal de E.
Le deuxième point est simplement la traduction matricielle de la caractérisation précédente.
7. Endomorphismes orthogonaux et matrices orthogonales.
Définition 7.1 et théorème 7.1 : endomorphisme orthogonal dans un espace vectoriel euclidien
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien et . la norme associée.
Soit : u ∈ L(E).
On dit que u est un endomorphisme orthogonal de E si et seulement si u conserve la norme ou le produit
scalaire de E, c'est-à-dire : ∀ (x,y) ∈ E 2 , (u(x)|u(y)) = (x|y), ou : ∀ x ∈ E, u ( x)
= x .
Ces deux définitions sont bien équivalentes.
Démonstration :
Si u conserve le produit scalaire, alors :
∀ x ∈ E,
2
u ( x)
= ( u(
x)
u(
x)
) = ( x x)
= x , et u conserve bien la norme.
2
Si par ailleurs, u conserve la norme, alors l’expression du produit scalaire à l’aide de normes (par le biais
des identités dites « de polarisation » (théorème 2.7)) et la linéarité de u montrent que u conserve le
produit scalaire.
Théorème 7.2 : bijectivité des endomorphismes orthogonaux en dimension finie
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien et . la norme associée.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 16 -

Soit : u ∈ L(E), un endomorphisme orthogonal de E.
Alors u est bijectif, et donc tout endomorphisme orthogonal d’un espace vectoriel euclidien est un
automorphisme.
De plus, u ne peut admettre comme valeur propre que ±1.
Démonstration :
Puisque l’on travaille dans un espace euclidien, il est de dimension finie et il suffit de démontrer que
l’endomorphisme u est injectif.
Or : ∀ x ∈ E, (x ∈ ker(u)) ⇔ (u(x) = 0) ⇔ ( x = 0) ⇔ (x = 0).
Supposons maintenant que λ est valeur propre (donc réelle) de u, et soit x un vecteur propre associé.
Alors : u(x) = λ.x, et : u( x)
= λ.
x = λ.
x , mais aussi : u ( x)
= x , et comme x est non nul : |λ| = 1.
Théorème 7.3 : caractérisation des endomorphismes orthogonaux
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien et . la norme associée.
Soit : u ∈ L(E).
u est un endomorphisme orthogonal de E si et seulement si : uou* = u*ou = idE.
Démonstration :
Notons u* l’adjoint de u et travaillons par double implication.
• [⇒] Si u est orthogonal, alors :
∀ (x,y) ∈ E 2 , (x|y) = (u(x)|u(y)) = (u*ou(x)|y), donc : (x – u*ou(x)|y) = 0.
Cette égalité étant valable pour tout : y ∈ E, on en déduit : ∀ x ∈ E, x – u*ou(x) = 0, soit : u*ou(x) = x.
Donc : u*ou = idE, et par conséquent : uou* = idE, puisque u est alors bijectif, d’inverse u*.
• [⇒] Si : u*ou = idE, alors : ∀ (x,y) ∈ E 2 , (u(x)|u(y)) = (u*ou(x)|y) = (x|y), et u est orthogonal.
Définition 7.2 : matrice orthogonale
Soit : n ≥ 1.
On dit que : A ∈ Mn(), est une matrice orthogonale si et seulement si : t A.A = In, ou : A. t A = In.
Théorème 7.4 : caractérisation des matrices orthogonales par leurs vecteurs lignes ou colonnes
Soit : n ≥ 1.
Une matrice : A ∈ Mn(), est orthogonale si et seulement si ses colonnes, considérées comme des
vecteurs de n (ou ses lignes) forment une base orthonormale de n , pour le produit scalaire canonique
de n .
De plus, si : A ∈ Mn(), est orthogonale, alors : det(A) = ±1.
Démonstration :
Soit : A ∈ Mn().
On peut tout d’abord remarquer que :
( t A.A = In) ⇔ (A -1 = t A) ⇔ (A. t A = In) ⇔ (A orthogonale).
Puis, si on note B la matrice : B = t A.A, ses coefficients sont :
∀ 1 ≤ i,j ≤ n, bi,j = (Ci|Cj), où le produit scalaire est ici le produit scalaire canonique de n , et où on a
noté C1, …, Cn les colonnes de A, considérées comme des vecteurs de n .
Donc A est orthogonale si et seulement si : B = In, donc si et seulement si la famille (formée de n
vecteurs) (c1, …, cn) est orthonormale dans n , donc en forme une base orthonormale.
De même, en notant L1, …, Ln les lignes de A, et en utilisant : B’ = A. t A, on démontre l’autre équivalence.
Enfin, si A est orthogonale, alors : det(In) = 1 = det( t A.A) = det( t A).det(A) = (det(A)) 2 .
Théorème 7.5 : caractérisation matricielle des endomorphismes orthogonaux
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien et . la norme associée.
Soit : u ∈ L(E).
u est un endomorphisme orthogonal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale de E est
une matrice orthogonale.
Démonstration :
Si on note A la matrice de u dans une base orthonormale de E, alors l’adjoint u* de u a pour matrice
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 17 -
t A
dans cette même base.
Or dans ce cas : (u orthogonal) ⇔ (u*ou = idE) ⇔ ( t A.A = In) ⇔ (A orthogonale),

en utilisant la remarque faite dans la démonstration du théorème précédent.
Théorème 7.6 et définition 7.3 : les groupes (O(E),o) et (O(n),××××)
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension n et . la norme associée.
Alors l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E, noté O(E), forme un groupe pour la loi o,
appelé groupe orthogonal de E et sous-groupe de (Gl(E),o).
De même, l’ensemble O(n) des matrices orthogonales de Mn(), forme un groupe pour la loi ×, appelé
groupe orthogonal d’ordre n, et sous-groupe de (Gl(n),×).
De plus, si on fixe une base B de E, orthonormale, l’application de L(E) dans Mn(), qui à un
endomorphisme u associe sa matrice dans la base B, induit un isomorphisme de groupes de (O(E),o)
dans (O(n),×).
Démonstration :
• O(E) :
Les endomorphismes orthogonaux de E sont des automorphismes de E, donc on a bien : O(E) ⊂ Gl(E).
De plus il est clair que idE conserve la norme donc c’est un endomorphisme orthogonal, et : O(E) ≠ ∅.
Puis, si u et v conservent la norme dans E, alors : ∀ x ∈ E, uov ( x)
= u(
v(
x))
= v(
x)
= x .
Donc : ∀ (u,v) ∈ O(E) 2 , uov ∈ O(E).
−1
Enfin, pour tout u dans O(E), u est bijectif et : ∀ x ∈ E, u ( x)
=
−1
u(
u ( x))
= x , soit : u -1 ∈ O(E).
• O(n) :
De la même façon, toute matrice orthogonale étant inversible, on a : O(n) ⊂ Gl(n).
De plus : t In.In = In, donc : In ∈ O(n), et : O(n) ≠ ∅.
Puis : ∀ (A,B) ∈ O(n) 2 , t (A.B).(A.B) = t B. t A.A.B = t B.In.B = In, et : (A.B) ∈ O(n).
Enfin : ∀ A ∈ O(n), A -1 = t A, et : t (A -1 ).A -1 = t ( t (A)). t A = A. t A = In, et : A -1 ∈ O(n).
• L’application proposée est bien une application de O(E) dans O(n), d’après le théorème 7.5.
C’est un morphisme de groupes multiplicatifs, car : ∀ (u,v) ∈ O(E) 2 , mat(uov,B) = mat(u,B).mat(v,B).
Enfin, c’est bien une application injective puisque l’application de L(E) dans Mn() l’est, et elle est
surjective puisque pour une matrice orthogonale donnée A, l’endomorphisme u de E tel que :
A = mat(u,B), est orthogonal, toujours d’après le théorème 7.5.
Théorème 7.7 : matrice de passage entre bases orthonormales
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien et . la norme associée.
Soit B une base orthonormale de E et B’ une autre base de E.
Si on note P la matrice de passage de B à B’, alors B’ est orthonormale si et seulement si P est
orthogonale.
Démonstration :
Soit donc B une bas orthonormale de E et B’ une autre base de E en notant P la matrice de passage
de l’une à l’autre.
Les coefficients de P sont (en colonne) les coordonnées des vecteurs de B’ exprimés dans la base B.
Or dans ce cas : ∀ (j,j’) ∈ {1, …, n} 2 ,
t Cj.Cj’ = (Cj|Cj’), pour le produit scalaire canonique (des colonnes Cj et Cj’ de P) dans n ,
t n
Cj.Cj’ = ∑ p k, j.
p k,
j'
= (e’j|e’j’), où les e
k=
1
’ k sont les vecteurs de B’, et où le produit scalaire est cette fois
celui dans E : en effet, la base B étant orthonormale, la forme que prend le produit scalaire est encore
canonique.
Il est alors clair que : ( t P.P = In) ⇔ (∀ (j,j’) ∈ {1, …, n} 2 , t Cj.Cj’ = δi,j = (e’j,e’j’)) ⇔ (B’ orthonormale).
8. Réduction des endomorphismes autoadjoints d’un espace vectoriel euclidien et des matrices
symétriques réelles.
Théorème 8.1 : valeurs propres d’une matrice symétrique réelle, d’un endomorphisme autoadjoint
Soit : n ≥ 1.
Soit : A ∈ Mn(), une matrice symétrique réelle.
Alors A, considérée comme élément de Mn(), a toutes ses valeurs propres réelles, et donc toutes les
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 18 -

acines de son polynôme caractéristique sont réelles.
De même, soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien, et soit : u ∈ L(E), autoadjoint.
Toutes les racines du polynôme caractéristique de u sont réelles.
Démonstration :
Soit λ une racine de PA éventuellement complexe, et X un vecteur propre (dans n ) associé à λ.
Alors : A.X = λ.X.
Considérons alors le produit scalaire hermitien canonique de n . On peut écrire :
t
t
t
2
X. A.
X = λ.
X.
X = λ.
X , mais aussi, puisque A est symétrique et réelle et vérifie : A = A ,
t
t
t
X. A.
X=
X.
A.
X=
( A.
X)
. X=
( λ.
X)
. X = λ.
X.
X = λ.
X .
t
t
Et comme X est un vecteur propre, il est non nul, de norme également non nulle et : λ = λ .
Donc toute racine de PA est réelle.
De même, si u est un endomorphisme autoadjoint de E, sa matrice dans n’importe quelle base
orthonormale de E est symétrique réelle, donc les racines de Pu qui sont celles de PA sont toutes réelles.
Théorème 8.2 : orthogonalité des espaces propres d’un endomorphisme autoadjoint
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien, et soit : u ∈ L(E), autoadjoint.
Si λ et μ sont des valeurs propres distinctes de u, les espaces propres associés Eλ(u) et Eμ(u) sont
orthogonaux.
Démonstration :
Toutes les valeurs propres de u sont réelles.
Soient λ et μ deux valeurs propres distinctes, et x et y des éléments de Eλ(u) et Eμ(u).
Alors : (x|u(y)= (x|μ.y) = μ.(x|y), mais aussi : (x|u(y)) = (u(x)|y) = (λ.x|y) = λ.(x|y).
Or λ et μ sont distincts, donc : (x|y) = 0, et les sous-espaces propres associés sont bien orthogonaux.
Théorème 8.3 : diagonalisabilité des endomorphismes autoadjoints
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien, et soit : u ∈ L(E), autoadjoint.
Il existe une base orthonormale de E dans laquelle l’endomorphisme u est diagonalisable.
E est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de u.
Démonstration :
On effectue cette démonstration par récurrence sur la dimension n de l’espace.
Si u est un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien de dimension 1, il est évidemment
diagonalisable puisque sa matrice dans toute base de E est de taille 1×1, donc diagonale.
Supposons le résultat acquis pour tout endomorphisme autoadjoint d’un espace vectoriel de dimension :
n ≥ 1, donnée.
Soit alors u un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E de dimension (n+1).
Puisque Pu est scindé dans , u admet au moins une valeur propre λ et un vecteur propre associé e1.
Notons alors E’ le supplémentaire orthogonal de Vect(e1) dans E.
• E’ est stable par u :
En effet : ∀ x ∈ E’, (e1|u(x)) = (u(e1)|x) = λ.(e1|x) = 0, puisque x est orthogonal à e1.
Donc : u(x) ∈ Vect(e1) ⊥ , et : u(x) ∈ E’.
• Notons alors u’ l’endomorphisme induit par u dans E’ : l’espace E’ est de dimension n puisque
supplémentaire dans E de Vect(e1).
• L’endomorphisme u’ de E’ est autoadjoint puisque :
∀ (x,y) ∈ E’ 2 , (x|u’(y)) = (x|u(y)) = (u(x)|y) = (u’(x)|y).
Donc il existe une base orthonormale (e2, …, en+1) de E’ formée de vecteurs propres de u’.
Mais ces vecteurs sont aussi vecteurs propres de u et en réunissant cette famille à e1, on obtient une
base orthonormale (e1, …, en+1) de E, formée de vecteurs propres de E, ce qui termine la récurrence.
Théorème 8.4 : diagonalisabilité des matrices symétriques réelles
Soit : n ≥ 1.
Soit : A ∈ Mn(), une matrice symétrique réelle.
Alors A est diagonalisable et il est possible de la diagonaliser par l’intermédiaire d’une matrice
orthogonale.
Démonstration :
Si u désigne l’endomorphisme de
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 19 -
n canoniquement associé à A, il est autoadjoint pour le produit
2
t

scalaire canonique de n , puisque la base canonique est orthonormale pour ce produit scalaire et A est
symétrique réelle.
Donc u est diagonalisable et ses espaces propres sont orthogonaux.
Si on considère alors une base de vecteurs propres de u formée de la réunion de bases orthonormales
des différents espaces propres de u, on obtient une base de vecteurs propres de u qui est une base
orthonormale.
La matrice de passage P de la base canonique à cette base de vecteurs propres est alors orthogonale
et si on note enfin D la matrice P -1 .A.P, elle est diagonale, autrement dit on vient de diagonaliser A par
l’intermédiaire d’une matrice orthogonale.
Théorème 8.5 et définition 8.1 : endomorphisme autoadjoint associé à une forme bilinéaire
symétrique
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien, et ϕ une forme bilinéaire symétrique sur E.
Il est possible de définir un endomorphisme u de E, autoadjoint, tel que : ∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = (x|u(y)).
Démonstration :
Soit B une base orthonormale de E, A la matrice de ϕ dans B et u l’endomorphisme de E dont la
matrice dans la base B est A.
Puisque ϕ est une forme symétrique, A est symétrique et donc puisque la base B est orthonormale, u
est autoadjoint.
Enfin, on constate bien que : ∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = t X.A.Y = t X.(A.Y) = (x|u(y)), où on a noté X et Y les
matrices colonnes des coordonnées dans la base B des vecteurs x et y utilisés.
Théorème 8.6 : réduction des formes bilinéaires symétriques
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien, et ϕ une forme bilinéaire symétrique sur E.
Il existe une base orthonormale de E dans laquelle ϕ peut s’exprimer sous la forme :
n
n
∀ (x,y) ∈ E², x = ∑ x i. ei
, y = ∑ yi
. ei
, ϕ(
x,
y)
= ∑ λ i.
x i.
yi
,
i=
1
i=
1
i=
1
où les λi sont les valeurs propres de l’endomorphisme u associé à ϕ défini dans le théorème 8.5.
Démonstration :
Puisque l’endomorphisme u est autoadjoint, il existe une base B de E, orthonormale telle que :
D = mat(u,B) est diagonale.
Dans ce cas, on constate que :
∀ (x,y) ∈ E 2 , ϕ(x,y) = (x|u(y)) = t X.D.Y = ∑
i=
1
n
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 20 -
n
λ . x . y ,
i
i
i
où X et Y sont les matrices colonnes des coordonnées dans B des vecteurs x et y utilisés, et la matrice
D étant constituée des valeurs propres λ1, …, λn de u.
9. Réduction des matrices de O(2) et O(3), endomorphismes orthogonaux en dimension 2 ou 3.
Théorème 9.1 : éléments de O(2) : matrices orthogonales 2××××2
Soit : A ∈ O(2), une matrice orthogonale de taille 2×2.
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
⎞
• si : det(A) = +1, il existe un réel θ tel que : A = ⎜
⎟ .
⎝ sin( θ)
cos( θ)
⎠
⎛cos(
θ)
sin( θ)
⎞
• si : det(A) = – 1, il existe un réel θ tel que : A = ⎜
⎟ .
⎝ sin( θ)
− cos( θ)
⎠
Démonstration :
⎛a
c ⎞
Notons : A = ⎜ ⎟ ∈ O(2).
⎝b
d⎠
Alors dans tous les cas : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1, et : a.c + b.d = 0, puisque les vecteurs colonnes de A
constituent une base orthonormale de 2 muni de son produit scalaire canonique.
Donc il existe θ et θ’ réels tels que : a = cos(θ), b = sin(θ), c = sin(θ’), d = cos(θ’).
De plus, on a aussi : cos(θ).sin(θ’) + sin(θ).cos(θ’) = 0 = sin(θ + θ’), soit : θ + θ’ = k.π, avec : k ∈ .

⎛cos(
θ)
On peut donc écrire : A = ⎜
⎝ sin( θ)
Enfin, si :
k
− ( −1)
. sin( θ)
⎞
⎟
k
( −1)
. cos( θ)
⎟
.
⎠
⎛cos(
θ)
⎝ sin( θ)
− sin( θ)
⎞
, et si :
cos( θ)
⎠
⎛cos(
θ)
⎜
⎝ sin( θ)
sin( θ)
⎞
.
− cos( θ)
⎠
• det(A) = +1, alors : (-1) k = +1, et : A = ⎜
⎟
• det(A) = – 1, alors : (-1) k = – 1, et : A = ⎟
Théorème 9.2 : endomorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension 2, orienté.
Soit u un endomorphisme orthogonal de E et A la matrice de u dans une base : B = (i,j), orthonormale
directe de E.
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
⎞
• si : det(u) = +1, alors il existe un réel θ tel que : A = ⎜
⎟ .
⎝ sin( θ)
cos( θ)
⎠
Si u n’est pas l’identité de E, u est la rotation de E d’angle θ, θ étant donné par : 2.cos(θ) = tr(u).
⎛cos(
θ)
sin( θ)
⎞
• si : det(u) = – 1, alors il existe un réel θ tel que : A = ⎜
⎟ .
⎝ sin( θ)
− cos( θ)
⎠
⎛ θ ⎞ ⎛ θ ⎞
u est alors la symétrie orthogonale par rapport à la droite D d’équation : x . sin⎜
⎟ − y.
cos⎜
⎟ = 0 , et
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
θ
l’angle de D avec la droite dirigée par i est égal à .
2
Démonstration :
Si u est un endomorphisme orthogonal de E alors sa matrice représentative A dans une base
orthonormale de E est alors orthogonale et on se trouve dans l’un des deux cas précédents.
De plus, si :
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
⎞
• det(u) = +1, alors : det(A) = +1, et : ∃ θ ∈ , A = ⎜
⎟ .
⎝ sin( θ)
cos( θ)
⎠
Distinguons alors deux cas.
Si : θ = 0 (2.π), alors u est l’identité de E sinon u est une rotation de E d’angle θ, et on obtient par :
tr(A) = 2.cos(θ) = tr(u).
Si par ailleurs :
⎛cos(
θ)
sin( θ)
⎞
• det(u) = – 1, alors : det(A) = – 1, et : ∃ θ ∈ , A = ⎜
⎟ .
⎝ sin( θ)
− cos( θ)
⎠
Puisqu’alors A est symétrique réelle, elle est diagonalisable et ses valeurs propres (réelles) λ1 et λ2
vérifient, en utilisant trace et déterminant : λ1 + λ2 = 0, et : λ1.λ2 = – 1.
Donc λ1 et λ2 valent 1 et – 1.
⎛1
0 ⎞
La matrice de u dans une base de vecteurs propres est alors ⎜ ⎟ , et : u
⎝0
−1⎠
2 = idE.
u est donc bien une symétrie vectorielle.
Comme enfin, les espaces propres de u sont orthogonaux, c’est une symétrie orthogonale.
La droite par rapport à laquelle s’opère cette symétrie est l’ensemble des vecteurs invariants de u
⎧ ⎛ θ ⎞ ⎡ ⎛ θ ⎞ ⎛ θ ⎞ ⎤
⎧(cos(
θ)
−1).
x + sin( θ).
y = 0
⎪−
2.
sin⎜
⎟.
⎪
⎢sin⎜
⎟.
x − cos⎜
⎟.
y⎥
= 0
⎝ 2 ⎠
donnés par : A.X = 0, soit : ⎨
, ou :
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦
⎨
.
⎩sin(
θ).
x − (cos( θ)
+ 1).
y = 0 ⎪ ⎛ θ ⎞ ⎡ ⎛ θ ⎞ ⎛ θ ⎞ ⎤
+ 2.
cos⎜
⎟.
=
⎪ ⎢sin⎜
⎟.
x − cos⎜
⎟.
y⎥
0
⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦
Comme enfin, soit le sinus, soit le cosinus mis en facteur est non nul, on en déduit bien que la droite
invariante est la droite D dont l’équation dans la base B est bien celle annoncée.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 21 -

⎛ ⎛ θ ⎞ ⎛ θ ⎞⎞
Il est alors immédiat que le vecteur ⎜cos
⎜ ⎟,
sin⎜
⎟⎟
est directeur de D et l’angle de ce vecteur avec i
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠
est bien θ/2.
Théorème 9.3 : endomorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien de dimension 3
Soit (E,(.|.)) un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté.
Soit u un endomorphisme orthogonal de E.
• si : det(u) = +1, et si u n’est pas l’identité de E, alors u admet une droite Δ de vecteurs invariants.
Soit alors P le plan orthogonal à Δ.
Si : tr(u) = – 1, alors u est la symétrie orthogonale par rapport à Δ.
Si : tr(u) ≠ – 1, alors pour x un vecteur non nul de P (ou orthogonal à Δ), le vecteur : k = x∧u(x), est un
vecteur non nul de Δ.
Si dans ce cas, on oriente Δ avec k et P avec l’orientation induite par celle de Δ, u est alors la rotation
d’axe Δ et d’angle +θ, où θ est donné par la relation : 2.cos(θ) + 1 = tr(u).
• si : det(u) = – 1, et si u n’est pas –idE, alors l’ensemble des vecteurs changés en leur opposé par u est
une droite Δ de E.
Notons alors P le plan orthogonal à Δ.
Si : tr(u) = +1, u est la symétrie orthogonale par rapport à P.
Si : tr(u) ≠ +1, alors pour x un vecteur non nul de P (ou orthogonal à Δ), le vecteur : k = x∧u(x), est
encore un vecteur non nul de Δ.
Si dans ce cas, on oriente Δ avec k,et P avec l’orientation induite par celle de Δ, alors u est la composée
de la rotation d’axe Δ et d’angle +θ, où θ est donné par la relation : 2.cos(θ) – 1 = tr(u), et de la symétrie
orthogonale de E par rapport à P.
Démonstration :
Tout d’abord, le polynôme caractéristique Pu de u est de degré 3 à coefficients réels, donc il admet une
racine réelle au moins.
Distinguons alors deux cas :
• Pu admet trois racines réelles et ça ne peut être que 1 ou – 1,
• Pu admet une racine réelle et deux racines complexes conjuguées : λ1 = ±1, λ , et λ .
Le produit des racines de Pu vaut par ailleurs det(u).
Deux cas alors se présentent :
• det(u) = +1.
Les racines de Pu sont donc (+1, +1, +1) ou (+1, – 1, – 1), si les trois racines sont réelles, et (1, λ, λ ),
avec : |λ| = 1, s’il y a des racines non réelles.
On constate donc que 1 est toujours valeur propre de u.
Si u n’est pas l’identité, 1 est alors racine simple de Pu et l’espace propre associé est de dimension 1
donc c’est une droite Δ de E.
Notons alors P le plan orthogonal à Δ.
Alors P est stable par u, car : ∀ (x,y) ∈ P×Δ, (u(x)|y) = (u(x)|u(y)) = (x|y) = 0, donc : u(x) ∈ Δ
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 22 -
⊥ = P.
Or l’endomorphisme u’ induit par u dans P est encore une isométrie de P (puisqu’il conserve lui aussi la
norme, des vecteurs de P cette fois).
Dans une base orthonormale : B = (e1, e2, e3), de E adaptée alors à la décomposition : E = P ⊕ Δ, on a :
⎛mat(
u',
B')
0⎞
mat(u,B) = ⎜
⎟ , où B’ est une base orthonormale de P.
⎝ 0 1⎠
On constate alors que : det(u) = det(u’), et donc : det(u’) = +1.
Le théorème 9.2 montre alors que :
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
0⎞
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
⎞
⎜
⎟
∃ θ ∈ , mat(u’,B’) = ⎜
⎟ , et : mat(u,B) = ⎜ sin( θ)
cos( θ)
0⎟
.
⎝ sin( θ)
cos( θ)
⎠
⎜
⎟
⎝ 0 0 1⎠
Si maintenant : tr(u) = – 1, cela signifie que : 2.cos(θ) + 1 = -1, et : π = 0 (2.π).
⎛−
1 0 0⎞
⎜ ⎟
La matrice de u dans la base précédente est alors : ⎜ 0 −1
0⎟
, et u est bien la symétrie orthogonale
⎜ ⎟
⎝ 0 0 1⎠

par rapport à la droite Δ.
Si en revanche : tr(u) ≠ – 1, alors u’ est la rotation de P d’angle +θ si P est orienté avec la base
précédente, l’angle θ étant donné par : tr(u) = tr(mat(u,B)) = 2.cos(θ) + 1.
Plus généralement, si x est un vecteur non nul de P, alors u(x) est non colinéaire à x puisque sinon u’
admettrait des valeurs propres réelles ce qui n’est pas la cas.
Donc la famille (x, u(x), x∧u(x)) est une famille libre de E, donc une base de E, directe.
Si on oriente alors Δ avec : k = x ∧ u(x), et P avec l’orientation induite par ce choix sur Δ, la famille
(x, u(x)) est une base directe de P et la rotation dans le plan P s’effectue dans le sens direct.
Reste à examiner le cas :
• det(u) = – 1.
Les racines de Pu sont alors : (– 1, – 1, – 1), (– 1, +1, +1), ou : (– 1, λ, λ ).
– 1 est alors toujours valeur propre de u.
Si u n’est pas – idE, cette valeur propre est simple et l’espace propre associé est de dimension 1, soit
une droite vectorielle Δ de E.
Notons encore P le plan orthogonal à Δ, et s la symétrie orthogonale de E par rapport à P.
⎛1
0 0 ⎞
⎜ ⎟
Pour une base B adaptée à la décomposition : E = P ⊕ Δ, on a alors : mat(s,B) = ⎜0
1 0 ⎟ , et la
⎜ ⎟
⎝0
0 −1⎠
composée sou est une isométrie de E, positive puisque : det(s) = det(u) = – 1, Δ étant de plus invariante
par cette isométrie.
D’après ce qu’on vient juste d’établir, on peut en déduire que :
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
0⎞
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
∃ θ ∈ , mat(sou,B) = ⎜ sin( θ)
cos( θ)
0⎟
, et : mat(u,B) = ⎜ sin( θ)
cos( θ)
0 ⎟ .
⎜
⎟
⎝ 0 0 1
⎜
⎟
⎠
⎝ 0 0 −1⎠
Dans le cas où : cos(u) = – 1, u est alors – idE, mais ce cas est écarté ici, sinon deux cas se présentent :
tr(u) = +1, (soit : cos(θ) = 1) et u est alors la symétrie orthogonale par rapport à Δ,
tr(u) ≠ +1, (soit : cos(θ) ≠ 1) et u est la composée de s et d’une rotation d’axe Δ.
Les éléments géométriques de cette rotation s’obtiennent alors comme précédemment, notamment pour
tout ce qui concernent les différentes orientations d’espaces, avec comme différence le fait que son
angle est cette fois donné par : tr(u) = tr(mat(u,B)) = 2.cos(θ) – 1.
Théorème 9.4 : éléments de O(3) : matrices orthogonales 3××××3
Soit : A ∈ O(3), une matrice orthogonale de taille 3×3.
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
⎜
• si : det(A) = +1, alors : ∃ θ ∈ , P ∈ O(3), A = P. ⎜ sin( θ)
cos( θ)
⎜
⎝ 0 0
⎛cos(
θ)
− sin( θ)
⎜
• si : det(A) = – 1, alors : ∃ θ ∈ , P ∈ O(3), A = P. ⎜ sin( θ)
cos( θ)
⎜
⎝ 0 0
0⎞
⎟
0⎟
.
1⎟
⎠
t P.
0 ⎞
⎟
0 ⎟ .
−1⎟
⎠
t P.
Démonstration :
Si on appelle u l’endomorphisme canoniquement associé (dans 3 muni de son produit scalaire
canonique), u est un endomorphisme orthogonal de 3 , donc il existe comme on l’a vu dans la
démonstration du théorème 9.3 une base orthonormale de 3 dans laquelle la matrice de u est d’un des
deux types proposés (la différence se faisant par l’examen du déterminant de u).
Il suffit alors d’appeler P la matrice de passage de la base canonique de 3 à la base B évoquée
au-dessus : cette matrice est orthogonale, d’où le résultat annoncé.
Chapitre 11 : Produit scalaire – cours complet. - 23 -