Cours de traitement des images - lambert veller sylvain

Cours de traitement des images
CM 2 – Céline Roudet
Thèmes abordés :
1. Types de bruit
2. Amélioration d’images par filtrage
3. Détection de contours
Différents traitements
SCENE ORIGINALE
CAPTEURS IMAGE
TRAITEMENT
BAS-NIVEAU
SEGMENTATION
- Régions
- Contours
TRAITEMENT
IMAGE
ANALOG.
NUMERISATION
PRE-TRAITEMENTS
-Restauration
-Amélioration (filtrage,
rehaussement)
CODAGE
- Freeman
- Compression
IMAGE NUMERIQUE
MORPHOLOGIE
MATHEMATIQUE
- Erosion
- Dilatation
HAUT-NIVEAU
CALCULS GEOMETRIQUES
RECONNAISSANCE DE FORMES
2
1
1

Pré-traitements d’une image
Objectif : gommer avant traitement :
• les artefacts, l’aliasing
• les effets d’une mauvaise condition d’observation
Outils :
(éclairage trop faible ou trop fort),
• les défauts d’un capteur (flou),
• les poussières, rayures, … (bruit)
• Modification d’histogramme
• Rehaussement du contraste
• Filtrage du bruit
Fonction de transfert de modulation (FTM)
Les défauts des systèmes optiques rendent floue l’image
Quantitativement : phénomène mesuré par la FTM :
• décrit la perte de contraste de l’objet en fonction de
sa fréquence spatiale
• se mesure à l’aide d’une mire de test projetée :
I(x,y) = C 0 sin(2πf xx)
• le contraste résultant C est mesuré pour différentes
fréquences f.
• le rapport C(f) / C 0 représente la FTM
3
4
2

Entrée capteur
Sortie capteur
Entrée capteur
Sortie capteur
Mire Profil d’une ligne
Mire F = 0.1 Profil d’une ligne
C 0 = 128
C (0.1) = 75
FTM(0.1) =
75 / 128 = 0.58
5
6
3

Temps d’intégration
Augmenter le temps d’intégration ou le temps d’exposition
augmente la quantité de photons enregistré pour chaque pixel
-> diminue le bruit aléatoire (+ de signal)
-> augmente la dynamique
Attention à la saturation
Dynamique
TI = 30ms TI = 60ms
Faible éclairage ou temps d’intégration trop faible
-> image sombre, dynamique faible
7
8
4

Le bruit
1. Types de bruit
Sources de bruit :
Bruits aléatoires : détecteurs qui chauffent,
amplificateurs, quantification,
faible signal (faible éclairage)
Bruits constants : différence de sensibilité des détecteurs
Caractéristiques du bruit :
- Hautes fréquences
scène : poussières, rayures
- Aléatoire, centré, additif, multiplicatif ou convolutif
9
10
5

Comment séparer le bruit aléatoire du bruit constant ?
Phénomène parasite aléatoire (suivant une distribution
de probabilité connue ou non)
Bruit constant (systémique) :
Acquérir plusieurs images (M 0, M 1, M 2, … M n)
d’une zone homogène et les moyenner :
Bc = 1/n Σ Mi i=1…n
Bruit aléatoire :
Ba = M 0 - Bc
Modèles de bruit d’image
Densité de probabilité
Bruit uniforme, α = 0
Bruit exponentiel, α = 1
ou impulsionnel
Bruit gaussien, α = 2
f ( a)
= C.
e
f ( a)
= C.
e
−k
f ( a)
= C.
e
f ( a)
= C.
e
C et K : constantes de normalisation liées à la variance
−k
α
a
−k
a
−k
a
2
f(a)
f(a)
0
f(a)
C
0
0
a
a
a
11
12
6

Bruit gaussien
Ajoute un "grain" à l'image, et détériore certains contours (la joue se détache
moins du fond). Les détails fins sont encore visibles (ex : les dents)
Bruit impulsionnel
13
14
7

Types de bruit
Bruit additif : A = g+B (plupart des cas)
aléatoire, HF et centré
A : image à traiter,
g : information utile,
B : champ aléatoire = bruit
Bruit multiplicatif : A = g.B (speckle image radar,
« grain » grains sur les films)
Bruit convolutif (flou) : A = g*B (mauvaise mise au point,
fréquence plus basse effet de bougé,
turbulence atmosphér.)
Types de bruit
Bruit additif
15
16
8

Types de bruit
Le flou
Bruit multiplicatif
17
18
9

Types de flou
Types de flou
Flou de mise au point
Flou de bougé (objets et/ou caméras mobiles
filé ou temps d’intégration trop long)
19
20
10

2. Filtrage spatial
Pourquoi filtrer une image ?
• Pour réduire le bruit dans l’image
• Pour détecter les contours d’une image
Principe : convolution entre une image A et un filtre h, appelé
aussi masque de convolution
Opération de voisinage : combinaison linéaire (ou non) de
pixels de l’image A, produisant une nouvelle image C
• h : opérateur défini en chaque pixel et son voisinage
• types de filtrage :
- linéaire
- non linéaire
- adaptatif
21
22
11

Filtres linéaires stationnaires (spatiaux)
A(m,n)
A = g+B
on considère que
le bruit est additif
Propriétés :
h
C(m,n) Convolution C = h*A
C[
m,
n]
h[
i,
j].
A[
m − i,
n − j]
= ∑ ∑
i j
C = h*A = A*h (commutativité)
C*(A+B) = C*A + C*B (distributivité)
(C*A)*B = C*(A*B) (associativité)
h : noyau de convolution ou filtre
h est normalisé
Filtres vs masques
∑ ∑
i j
h[
i,
j ] = 1
C [ m , n ] h[
i,
j].
A[
m − i,
n − j ]
= ∑ ∑
i j
On définit la notion de masque de convolution h à partir
d'une symétrie centrale appliquée à h : ~
h(m,n) = h(-m,-n)
~
23
Le plus souvent, les opérateurs
discrets sont donnés sous forme
de masque
24
12

Filtres linéaires stationnaires : exemples
Filtres linéaires stationnaires : exemples
*
Comment faire quand le masque recouvre des zones en dehors de l’image ?
• Convolution linéaire : on considère que l’image est entourée de noir (0)
• Convolution circulante : on considère que l’image est entourée d’elle
même (i.e. support infini de l’image)
*
25
26
13

Filtres linéaires stationnaires : passe-bas
Filtres passe-bas : coefficients tous positifs
« Adoucit » l’image : remplacement des pixels par une
moyenne arithmétique pondérée des niveaux des pixels voisins
Le coef. central est plus important que les coef. périphériques
Fréq. : multiplication
avec une fonction porte
Filtres linéaires stationnaires : passe-haut
Filtres passe-haut : coef. positifs et négatifs
Spatial : convolution
avec un sinus cardinal
« Durcit » l’image : mise en valeur des détails (hautes fréq.)
Rehausseur de contours
27
28
14

Filtre moyenneur : passe-bas
h(x,y) = 1 / T²
(avec T taille du filtre)
A
Si T = 3 :
⎡1
1
h =
⎢
⎢
1
9
⎢⎣
1
• si l’image contient un bruit
• et la valeur d’un pixel est relativement similaire à celle de ses
voisins
Un moyennage local peut atténuer ce bruit = lissage
1
1
1
C
1⎤
1
⎥
⎥
1⎥⎦
+ T est grand,
+ le lissage
est important,
29
+ l’image filtrée
perd les détails
de l’image orig.
30
15

Filtre gaussien : passe-bas
1
h(
x,
y)
= e
2πσ
²
( x²
+ y²)
−
2σ
²
⎡ e
1 ⎢
h =
2πσ
²
⎢e
⎢
⎣
e
−2/
σ ²
−1/
2σ
²
−2
/ σ ²
e
e
−1/
2σ
²
1
−1/
2σ
²
e
e
−2/
σ ²
−1/
2σ
²
e
−2
/ σ ²
Approximation discrète d’un noyau
gaussien de taille T = 3
noyau gaussien centré et
d’écart-type σ ensemble de coef. qui sont des
échantillons de la gaussienne 2D
Approximation discrète du noyau gaussien
• Lissage par moyennage pondéré de l’image en fonction de la
distance du pixel voisin
• La largeur du filtre est donnée par son écart-type σ
o si σ < un pixel : le lissage n’a presque pas d’effet
o plus σ est grand, plus on réduit le bruit, mais plus l’image filtrée est
floue
o si σ est trop grand, tous les détails de l’image sont perdus
Trouver un compromis entre :
• quantité de bruit à enlever
• qualité de l’image en sortie
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
31
32
16

Filtre gaussien : exemple
Filtre gaussien : exemple
33
34
17

Filtre gaussien : exemple
Filtre gaussien : exemple
1
2πσ
x
σ σ
x
u
1
35
36
18

19
37
)
(
2
4
)
,
(
y
x
e
y
x
h
+
−
=
γ
γ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
−
−
−
−
−
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
2
2
2
2
2
1
4
e
e
e
e
e
e
e
e
h
Filtre exponentiel : passe-bas
38
Comparaison des différents filtres

Filtres linéaires stationnaires : inconvénients
• Etalent les transitions : donc ajoutent du flou et
atténuent les contours
• Eliminent mal les valeurs aberrantes (bruit
impulsionnel)
• Comment éliminer le bruit sans rendre floues les
frontières ?
o compromis niveau de bruit / lissage
o ou recours aux filtres non linéaires
o ou au filtrage fréquentiel
Applet (application de filtres en 1D) : http://www.falstad.com/dfilter/
Filtres non linéaires stationnaires : filtres d’ordre
L-Filtre :
• dans une fenêtre d’analyse de taille M*N (impairs),
centrée sur i,j
• on numérote de 1 à L = M*N les pixels a = { a k | k=1…L }
• on trie les éléments de a par ordre croissant (perte de
l’information spatiale)
A [i,j]
Fenêtre
d’analyse
a k
Tri
a’ k
Combinaison
Linéaire
Coef b k
C[i,j]
C
M N
[ ] = ∑
k =
j i
*
,
1
b
k k a
39
'
40
20

Filtre médian
C
M N
[ ] = ∑
k =
j i
*
,
1
b
k k a
Remplacer la valeur d’un pixel par la
médiane de ses voisins :
Filtre médian
'
b k = 1 pour k = (L+1) / 2
0 ailleurs
de taille impaire
(L = M*N)
Elimine très bien le bruit impulsionnel (ou « poivre et sel ») : dégradation
de l'image où certains pixels deviennent aléatoirement soit blancs, soit noirs
41
42
21

Filtre médian
Conserve les transitions et rapide
mais modifie la forme des régions
Filtre médian vs filtre linéaire (bruit impulsionnel)
43
44
22

Filtre médian vs filtre linéaire (bruit impulsionnel)
le lissage linéaire n'élimine pas le bruit poivre et sel, mais a plutôt
tendance à « l'étaler »
Filtre médian vs filtre linéaire (bruit impulsionnel)
Grâce à la propriété de la médiane d'être, contrairement à la moyenne,
quasiment insensible aux valeurs extrêmes
45
46
23

Filtre médian (griffes noires et blanches)
Filtre médian (griffes noires et blanches)
47
48
24

Filtres non linéaires stationnaires : filtres adaptatifs
Objectif : ajuster la structure ou les coefficients :
• dans une région : filtrer fortement (large fenêtre)
• sur un contour : éviter de l’élargir (petite fenêtre ou filtre médian)
2 étapes : décision, filtrage
Ex. Moyenne adaptative :
C[
i,
j]
L
∑
k = 1 = L
∑
k = 1
w(x) = 1 si |x| ≤ seuil (conseillé à 2σ B ou 3σ B)
0 sinon
w(
a
k
w(
a
− A[
i,
j])
a
k
− A[
i,
j])
Si région, filtre moyenneur,
Si contour, le filtre ne tient compte que des pixels situés
d’un coté du contour
Filtres non linéaires stationnaires : filtres adaptatifs
Autres filtres adaptatifs :
• Filtre de rang adaptatif
• Moyenne tronquée adaptative
• Filtrage par fractionnement de fenêtre d’analyse
k
49
50
25

Filtres séparables
Un filtre de convolution est dit séparable si : h(x,y) = h x(x).h y(y)
Cette structure simplifie grandement les calculs.
3. Filtrage fréquentiel
51
52
26

Signaux 1D, 2D et 2D+t
- Signal 1D : amplitude des variations du signal (tension,
courant, pression, …) en fonction du Temps (t)
- Image (2D) : amplitude des variations de l’Image (niveaux de
gris) en fonction des variables Spatiales (X,Y)
- Plusieurs Images(vidéo) : amplitude des variations de l’Image
(niveaux de gris) en fonction des variables Spatiales et Temps
(X,Y, t)
Trois cas de signaux (1D)
S 1(t)
S 2(t)
S 0(t)
T 0 = 1 / f 0
T 1 = 1 / f 1
T 2 = 1 / f 2
t
avec :
S 0 = amplitude du signal
T 0 = période du signal
f 0 = fréquence du signal
S1 présente de nombreuses variations:
T1 > f0 Donc f1 correspond
t
aux hautes fréquences
t
S 2 ne présente aucune variation :
T 2 est infinie et f 2 = 0
Donc f 2 correspond
aux très basses fréquences (ici 0!)
53
54
27

Fréquences et images
* Faibles variations en niveaux de gris (ex : Fond Image)
Basses Fréquences
* Grandes variations en niveaux de gris (ex : Contours, Bruit)
Hautes Fréquences
* Représentation fréquentielle obtenue avec la
TRANSFORMEE de FOURIER 2D
* Avantage: Représentation dans domaine spatial
Filtrage = Convolution : g(x,y) = h(x,y)*f(x,y)
* Représentation dans domaine fréquentiel
Filtrage = Simple Multiplication : G(u,v) = H(u,v).F(u,v)
TF d’une Image Numérique comportant M.N pixels
1 1 1
( , ) = ∑∑ ( , ). exp( − 2Π(
+ ))
− M N −
ux vy
F u v
f x y j
MN
M N
avec u
Correspond à un Signal Numérique 2D
x=
0 y=
0
= 0,
1,
2,...,
M −1
Correspond
avecFFT2D
:
Exemple :
à
M
2
et
.N
2
2
v = 0,
1,
2,...,
N −1
calculs
MLog ( M).
NLog ( N)
M =
N = 512
Transformée
de Fourier Standard :
Transformée
de Fourier Rapide (FFT) :
2
≈ 64.
10
9
≈16.
10
calculs
calculs
6
calculs
55
56
28

Filtre Idéal dans le domaine Fréquentiel
G(u,v) = H(u,v).F(u,v) avec : G(u,v) : Image Filtrée
Principe : Garder / supprimer des
fréq. du signal à l’aide d’un filtre
Filtre Passe-Bas Idéal :
G(u,v) = F(u,v) si (u,v) < (u0,v0)
Filtre Passe-Haut Idéal :
G(u,v) = F(u,v) si (u,v) > (u0,v0)
Exemple de filtre passe-bas
Image Bruitée Originale f(x,y)
Image Filtrée g(x,y)
FFT-2D
F(u,v) : Image Originale
H(u,v) : Filtre (domaine fréq.)
1
1
Hautes
Fréquences = 0
FFT-2D Inverse
H(u,v)
(u0,v0)
H(u,v)
(u0,v0)
(u0,v0) : Fréquences
de Coupure
(u,v)
(u,v)
Spectre F(u,v)
Spectre après filtrage G(u,v)
58
57
58
29

Exemple de filtre passe-bas
Hautes-fréq. éliminées :
changements brusques
d’intensité (bruit, frontières,
atténués voire éliminés
Etalement des frontières
Exemple de filtre passe-haut
L’image reconstruite n’a plus ses couleurs,
mais les changements brusques d’intensité (bruit,
frontières, ...) sont mis en évidence
59
60
30

Filtrage passe-haut : très sensible au bruit
Exemple de filtre coupe-bande
61
62
31

Généralités
3. La détection de contours
Dans une image, les variations d’intensité correspondent à :
- variations d’illumination, ou des ombres
- changements d’orientation ou de distance par rapport au capteur
- changement de la réflectance de la surface
Ces changements de luminance (ou niveau de gris) définissent
les contours (des régions)
Méthode dérivative pour rechercher un contour : la plus utilisée
Contour extremum zéro
63
64
32

Généralités
Échelon Rampe Toit
Le plus répandu :
4 types de contours :
Processus d’extraction de contour de 1 er ordre :
• Mise en évidence de contour par dérivation
• Tri des pixels les plus caractéristiques par seuillage (max. locaux)
• Réduction des contours
• Binarisation pour stockage
Le gradient : fonction vectorielle
Gradient = dérivée : ∇A(x) = ∂A(x) / ∂x
En deux dimensions : ∇A(x,y) = [ ∂A(x,y) / ∂x, ∂A(x,y) / ∂y ]
En mathématique :
En discret, h = 1 :
∇
A x
A y
∂f
=
∂x
∂f
=
∂x
f
'= limh
−>
0
f ( x + h)
− f ( x)
h
f ( xi+
1)
− f ( xi
)
= f ( xi+
1)
− f ( xi
)
1
∂A
= = A(
i + 1,
j)
− A(
i,
j)
∂x
En 2D, dans la direction x
∇
∂A
= = A(
i,
j + 1)
− A(
i,
j)
∂y
dans la direction y
65
66
33

Le gradient : fonction vectorielle (2)
La norme du gradient :
suivant la distance considérée
Limites du gradient :
• privilégie les directions verticales
et horizontales des contours
• sensible au bruit
Filtres séparables
r
∇A = ∇A
+ ∇A
ou ∇A
+ ∇A
Approximations les plus simples des dérivées directionnelles :
• par différences finies calculées par convolution avec des noyaux très
simples
• ex : [-1 1] pour l’approximation de ∂f / ∂x
-1 pour l’approximation de ∂f / ∂y
1
-1
• on utilise plutôt [-1 0 1] et 0 : frontières plus épaisses mais bien centrées
1
• ces opérations étant très sensibles au bruit, on les combine en général
avec un filtre lisseur dans la direction orthogonale à celle de dérivation
1
[1 2 1] et 2
1
2
x
2
y
x
y
67
68
34

Filtrage par convolution
Filtrage par convolution
69
70
35

Exemple du Gradient de Roberts
G ( x,
y)
= A(
x,
y)
− A(
x + 1,
y + 1)
+ A(
x,
y + 1)
− A(
x + 1,
y)
Image d’un carré de 8x8 pixels
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Image « Contours »
0 0 0 0 0 0 0 -
0 1 2 2 2 1 0 -
0 2 0 0 0 2 0 -
0 2 0 0 0 2 0 -
0 2 0 0 0 2 0 -
0 1 2 2 2 1 0 -
0 0 0 0 0 0 0 -
- - - - - - - -
Généralisation des opérateurs de contours
- Opérateur de Roberts : 2 Masques de Convolution
Hr1 =
0 -1
1 0
Hr2 =
-1 0
0 1
g ( x,
y)
= f ( x,
y)
− f ( x + 1,
y + 1)
+ f ( x,
y + 1)
− f ( x + 1,
y)
= Hr1*
f ( x,
y)
+ Hr2*
f ( x,
y)
- Opérateur de Sobel et Prewitt : 2 Masques de Convolution
1 c 1
Hs1 = 0 0 0
-1 -c -1
Hs2 =
1 0 -1
c 0 -c
1 0 -1
g ( x , y ) = Hs 1 * f ( x , y ) + Hs 2 * f ( x , y )
Limites de ces opérateurs : sensibilité au bruit
Prewitt, c = 1
Sobel c = 2
71
72
36

Exemple avec plusieurs noyaux
Exemple : filtre de Prewitt
Filtre horizontal : Fph =
Filtre vertical : Fpv =
1 1 1
0 0 0
-1 -1 -1
-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
73
74
37

Exemple : filtre de Prewitt (2)
Application
du filtre
horizontal
I =
Ih =
Exemple : filtre de Prewitt (3)
Application
du filtre
vertical
I =
180 180 180 60 60 60
180 180 180 60 60 60
180 180 180 60 60 60
180 180 180 60 60 60
180 180 180 60 60 60
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
180 180 180 60 60 60
180 180 180 60 60 60
180 180 180 60 60 60
180 180 180 60 60 60
180 180 180 60 60 60
Iv = 0 -360 -360 0
0 -360 -360 0
0 -360 -360 0
75
76
38

Exemple : filtre de Prewitt (4)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Ih
Calcul de
IF = Ih²
+
Iv²
Exemple : filtre de Prewitt (4)
IF
Seuillage de IF
0 -360 -360 0
0 -360 -360 0
0 -360 -360 0
Iv
0 360 360 0
0 360 360 0
0 360 360 0
0 360 360 0
0 360 360 0
0 360 360 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
77
78
39

Comparaisons
Détection de contours avec les filtres de Roberts et
seuillage à 75
Comparaisons (2)
Détection de contours avec les filtres de Prewitt et
seuillage à 190
79
80
40

Comparaisons (3)
Détection de contours avec les filtres de Sobel et
seuillage à 190
(SNR : Signal to Noise Ratio)
ou RSB = Rapport Signal sur Bruit
81
82
41

Laplacien
L’approximation par différences finies la plus simple de la dérivée
seconde est la convolution par le noyau :
• [1 -2 1] : pour l’approximation de ∂²f / ∂x²
1 : pour l’approximation de ∂²f / ∂y²
-2
1
Le laplacien ∆f = ∂²f / ∂x² + ∂²f / ∂y² peut donc être approximé par
en 4-connexité en 8-connexité
83
84
42

Laplacien
Rehaussement de contraste basé sur le laplacien
Objectif :
• diminuer l’étendue de la zone de transition sans affecter
l’intensité moyenne des régions situées de part et d’autre
• limiter le risque de fusion de régions distinctes lors de la
segmentation
Laplacien :
Exemple :
C = A – λ ΔA
85
86
43

Rehaussement de contraste basé sur le laplacien
4. Codage des contours
87
88
44

Codage de Freeman
Principe :
Codage de l’orientation des pixels de contours
•5
•4
•3
•6
•2
•7
•1
•0
Exemple 1 : Codage contours d’un rectangle
•5 •6
•4
•3
•2
•7
•0
•1
•6
•6
•6
Code obtenu: 00002224444666
•0 •0 •0 •0
•4
•4
•4 •4
•2
•2
•2
89
90
45

Exemple 2 : Codage contours d’un triangle
•5 •6
•4
•3
•2
•7
•0
•1
•7
•Code obtenu: 111444444777
Analyse du code
•7
•7
•1
•1
•1
•4 •4 •4 •4 •4 •4
- Première étape : Compression du code
- Code original transformé en vecteurs (ou segments)
- Chaque vecteur contient deux composantes : Orientation et Longueur
- Seconde Etape : Reconnaissance formes et/ou calculs géométriques
- Example 1 : Rectangle Code Obtenu: 00002224444666
Code Comprimé: 0:4 ; 2:3 ; 4:4 ; 6:3
4 vecteurs détectés : Quadrilatère
Périmètre = 4 + 3 + 4 +3 = 14
- Example 2 : Triangle Code Obtenu: 111444444777
Code Comprimé: 1:3 ; 4:6 ; 7:3
3 vecteurs détectés : Triangle
Périmètre = 3x1.4+ 6 + 3x1.4 = 14.4
91
92
46

5. Filtrage de flou : restauration
Filtrage de Flou : filtre de Wiener
Méthode inverse : Filtre de Wiener (g image floue et bruitée)
g = h*f + n
h
f +
n
g
f : image originale (inconnue)
h : défaut (FTM ou PSF)
n : bruit
Si le bruit est faible, on cherche la PSF pour se rapprocher
au mieux de f. C’est la déconvolution d’image.
93
94
47

Exemple de traitements
Rendre nette une image floue
Principe du filtrage inverse
On considère des transformations linéaires avec un bruit additif
Pas de bruit :
Restauration par
filtrage inverse :
95
96
48

Principe du filtrage pseudo-inverse
Le filtre inverse est instable
Le filtre pseudo-inverse est utilisé à la place :
Le seuil ε doit être déterminé en fonction de la précision de la
représentation numérique
Exemple
si H(u,v) < ε
sinon
97
98
49

Exemple : pseudo-inverse
Filtre de Wiener
On cherche la meilleure estimation linéaire qui minimise l’erreur
quadratique moyenne entre le signal original et cette estimation :
min∑∑
x y
f ( x,
y)
− fˆ
( x,
y)
²
où H* : est le conjugué de H
et Q² = σ² b / σ² sign : un terme de régularisation (densités
spectrales de puissance du bruit et du signal)
Fort signal, faible bruit ⇒
Faible signal, fort bruit ⇒
H
F ˆ *
= × G
HH * + Q²
F ˆ −1
= H . G
Fˆ
= 0
99
100
50

Filtre de Wiener : exemple
101
51