TD3 - Université d'Angers

Université d’Angers
Licence SVG1
Option S2 BG5
TD N ◦ 3
Année 2010-2011
Introduction à la modélisation
mathématique en biologie
Exercice 1 : On étudie l’évolution des populations rurales et citadines d’un pays. On sait
que chaque année 2/7 des ruraux déménagent en ville alors que 1/7 des citadins déménagent
à la campagne. On note Rn et Cn les tailles des deux populations l’année n.
1. Ecrire les équations qui relient Rn+1 et Cn+1 à Rn et Cn.
2. Quelle matrice permet de décrire cette situation ?
3. Que se passe-t-il si R0 = 10 Millions et C0 = 20 Millions ?
Exercice 2 (Examen mai 08) : Une population de rongeurs a un cycle de reproduction de
trois ans. On ne considère que la sous population formée des individus femelles jusqu’à l’age
de trois ans. L’année n, on note P1,n l’effectif des individus de 0 à 1 an, P2,n l’effectif des
individus de 1 à 2 ans et P3,n l’effectif des individus de 2 à 3 ans. On note Pn le vecteur
correspondant, c’est à dire :
⎛
Pn = ⎝
On suppose que les femelles de 1 à 2 ans donnent naissance en moyenne à 6 femelles et que
les femelles de 2 à 3 ans donnent naissance en moyenne à 10 femelles (les femelles agées
de 0 à 1 an ne donnent naissance à aucun petit). D’autre part, on suppose que 50% des
femelles de 0 à 1 an survivent jusqu’à la deuxième année et que 40% des femelles de 1 à 2
ans survivent jusqu’à la troisième année (les femelles agées de 2 à 3 ans meurent après avoir
donné naissance à 10 petits).
P1,n
P2,n
P3,n
1. Déterminer le système linéaire des trois équations qui relient P1,n+1, P2,n+1 et P3,n+1 à
P1,n, P2,n et P3,n puis déterminer la matrice M qui donne l’expression du vecteur Pn+1
en fonction de celle de Pn par la relation : Pn+1 = MPn.
⎛ ⎞
100
2. Vérifier que ⎝ 25 ⎠ est un vecteur propre de M. (On rappelle que le vecteur V est
5
une vecteur propre de M si il existe une valeur réelle λ telle que MV = λV .)
⎛
2. On pose P0 = ⎝
2
4
2
⎞
Déterminer P10 lorsque P0 =
⎞
⎠
⎠ , déterminer alors P1, puis P2.
⎛
⎝
100
25
5
⎞
⎠
1

Exercice 3 (Examen juin 08) : Dans le modèle de croissance des populations de lapins
de Fibonacci, on considère que les lapins juvéniles (moins de un mois) ne se reproduisent
pas. On suppose que les couples adultes (un mâle et une femelle) donnent naissance à un
couple de petits tous les mois. Au mois n, on note P1,n l’effectif des femelles juvéniles et P2,n
l’effectif des femelles adultes. On note Pn le vecteur correspondant, c’est à dire :
P1,n
Pn =
P2,n
1. Déterminer le système linéaire des deux équations qui relient P1,n+1 et P2,n+1 à P1,n et
P2,n, puis déterminer la matrice M qui donne l’expression du vecteurPn+1 en fonction
de celle de Pn par la relation : Pn+1 = MPn.
2. Vérifier les formules suivantes
avec λ1 = (1 + √ 5)/2, λ2 = (1 − √ 5)/2.
3. Vérifier que la matrice M peut s’écrire
où
P1 = 1
λ 2 1 = λ1 + 1, λ 2 2 = λ2 + 1, λ1λ2 = −1
λ1 + 2
λ 2 1 λ1
λ1 1
M = λ1P1 + λ2P2,
, P2 = 1
λ2 + 2
4. Vérifier que P1P1 = P1, P2P2 = P2, puis que P1P2 = P2P1 =
λ 2 2 λ2
λ2 1
.
0 0
0 0
5. En déduire que M n = λ n 1P1 + λ n 2P2 puis utiliser cette expression pour étudier le com-
portement asymptotique de M n u lorsque n tend vers +∞, avec u =
Exercice 4 : On considère une population de saumons en limitant nos observations aux
seules femelles. Supposons qu’elles vivent au maximum 3 ans, avec un taux de survie de
0, 05% la première année et 10% la deuxième et enfin supposons que chaque femelle donne
naissance à 2000 juvéniles au cours de sa troisième année.
1.
Écrire le système dynamique modélisant l’évolution de cette population de saumons.
2. Indiquer quelle est la matrice de Leslie L de ce système.
3. Si l’on suppose que la population initiale comporte 1000 femelles dans chaque classes
d’age, combien y en aura-t-il de chaque classe l’année suivante ? Combien l’année
d’après ?
4. Calculer les effectifs l’année 4 et en déduire, sans nouveau calculs, les effectifs des
années suivantes.
1
1
5. Représenter les effectifs des différentes classes d’age en fonction du temps.
2
.