Cha??nes de Markov et files d'attente Indications pour la feuille d ...
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Dr. Robert Philipowski Semestre d’été 2013<br />
<strong>Cha</strong>î<strong>nes</strong> <strong>de</strong> <strong>Markov</strong> <strong>et</strong> <strong>files</strong> d’attente<br />
<strong>Indications</strong> <strong>pour</strong> <strong>la</strong> <strong>feuille</strong> d’exercices 1<br />
Veuillez noter que ces indications ne sont pas <strong>de</strong>s solutions complètes.<br />
1. Soient P <strong>et</strong> P ′ <strong>de</strong>ux matrices stochastiques <strong>et</strong> Q := P P ′ leur produit défini<br />
par<br />
Il faut alors vérifier que<br />
Q(x, z) := <br />
P (x, y)Q(y, z).<br />
y∈E<br />
1. Q(x, z) ≥ 0 ∀x, z ∈ E, <strong>et</strong><br />
2. <br />
z∈E Q(x, z) = 1 ∀x ∈ E.<br />
2. a) Pour que P soit une matrice stochastique, il faut que <strong>la</strong> somme <strong>de</strong>s éléments<br />
<strong>de</strong> chaque ligne soit égale à 1. Donc x = 0, y = 1/4, z = 0.<br />
b) La loi <strong>de</strong> X2 est donnée par µP 2 . On obtient<br />
⎛<br />
1/2 1/2 0<br />
⎞<br />
µP = (1/2, 1/2, 0) ⎝ 1/4 1/4 1/2 ⎠ = (3/8, 3/8, 1/4)<br />
0 1/2 1/2<br />
<strong>et</strong> par conséquent<br />
⎛<br />
µP 2 = (3/8, 3/8, 1/4) ⎝<br />
1/2 1/2 0<br />
1/4 1/4 1/2<br />
0 1/2 1/2<br />
⎞<br />
⎠ = (9/32, 13/32, 5/16).<br />
3. La loi <strong>de</strong> X1000 est égale à µP 1000 , ce qui est pratiquement impossible à calculer<br />
<strong>de</strong> façon naïve. Pourtant, si on arrive à diagonaliser P , c’est à dire si on trouve<br />
une matrice inversible S telle que D := S −1 P S est une matrice diagonale,<br />
ce calcul <strong>de</strong>vient très simple :<br />
D = diag(λ1, λ2),<br />
P 1000 = (SDS −1 ) 1000 = SD 1000 S −1 = S diag(λ 1000<br />
1<br />
, λ 1000<br />
2 )S −1 .<br />
Une telle matrice S peut être construite <strong>de</strong> <strong>la</strong> façon suivante : Soit (ξ1, ξ2) une base<br />
<strong>de</strong> vecteurs propres <strong>de</strong> P , <strong>et</strong> S <strong>la</strong> matrice ayant ces vecteurs comme colon<strong>nes</strong>.<br />
En général, il est assez compliqué <strong>de</strong> trouver une base <strong>de</strong> vecteurs propres d’une<br />
matrice. Mais ici, c’est très simple : D’abord, (1, 1) T est un vecteur propre <strong>de</strong> P<br />
1
(chaque matrice stochastique adm<strong>et</strong> le vecteur (1, . . . , 1) T comme vecteur propre ; à<br />
vérifier !). Ensuite, comme P est symmétrique, elle adm<strong>et</strong> une base orthogonale <strong>de</strong><br />
vecteurs propres, donc (1, −1) T est également un vecteur propre. Ceci nous donne<br />
<strong>et</strong><br />
S =<br />
1 1<br />
1 −1<br />
<br />
,<br />
D = S −1 P S = diag(1, 2p − 1)<br />
µP 1000 = µS diag 1, (2p − 1) 1000 S −1<br />
<br />
1 1 1 0<br />
= (q, 1 − q)<br />
1 −1 0 (2p − 1) 1000<br />
<br />
1/2 1/2<br />
1/2 −1/2<br />
<br />
1 0<br />
= (1, 2q − 1)<br />
0 (2p − 1) 1000<br />
<br />
1/2 1/2<br />
1/2 −1/2<br />
= 1, (2q − 1)(2p − 1) 1000 <br />
1/2 1/2<br />
1/2 −1/2<br />
<br />
1 1<br />
= +<br />
2 2 (2q − 1)(2p − 1)1000 , 1<br />
<br />
1<br />
− (2q − 1)(2p − 1)1000 .<br />
2 2<br />
2