Ondelettes et analyse numérique - LUTH
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Approximation non linéaire N plus grands coefficients L’approximation non linéaire optimale ANLf d’une fonction f avec N coefficients est ANLf = N−1 n=0 cinen, avec |ci0 | ≥ |ci1 | ≥ |ci2 | ≥ . . . ANLf minimise l’erreur avec N coefficients sur cette base. Comment la calculer Impossible sans calculer tous les coefficients. Mais on peut s’en approcher. Exemple, la transformée en ondelettes : on calcule W0f , puis on calcule successivement W1f , W2f , . . . . À chaque étape, on ne garde que les coefs au dessus d’un certain seuil et on ne «creuse» que là où les coefficients sont grands. Ondelettes et analyse numérique J. Houdayer Introduction Bases d’ondelettes Convergence et approximation Moments de ψ, convergence de f j → f Ondelettes de Daubechies Moments de φ, convergence de W j f → f Ondelettes de Coifman Approximation non linéaire D’autres espaces Calcul Zoologie des ondelettes Autres applications
Erreur de l’approximation non linéaire Peu de coefficients autour de la singularité Pour f de classe C m avec un point de discontinuité P. A = {(j, k)|P ∈ supp(ψjk)} et B son complémentaire. Dans A : djk = O(2 −j/2 ), dans B : djk = O(2 −j(m+1/2) ). L’ordre des djk est donc . . . 2 j − L de B, 2mL de A, 2 j+1 − L de B, 2mL de A, 2 j+2 − L . . . Convergence indépendante des singularités Pour f de classe C m à support compact, m ≤ p + 1 avec un nombre fini de discontinuités εNLf = O(N −m ) Ondelettes et analyse numérique J. Houdayer Introduction Bases d’ondelettes Convergence et approximation Moments de ψ, convergence de f j → f Ondelettes de Daubechies Moments de φ, convergence de W j f → f Ondelettes de Coifman Approximation non linéaire D’autres espaces Calcul Zoologie des ondelettes Autres applications
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Erreur de l’approximation non linéaire<br />
Peu de coefficients autour de la singularité<br />
Pour f de classe C m avec un point de discontinuité P.<br />
A = {(j, k)|P ∈ supp(ψjk)} <strong>et</strong> B son complémentaire.<br />
Dans A : djk = O(2 −j/2 ), dans B : djk = O(2 −j(m+1/2) ).<br />
L’ordre des djk est donc . . . 2 j − L de B, 2mL de A, 2 j+1 − L<br />
de B, 2mL de A, 2 j+2 − L . . .<br />
Convergence indépendante des singularités<br />
Pour f de classe C m à support compact, m ≤ p + 1 avec un<br />
nombre fini de discontinuités<br />
εNLf = O(N −m )<br />
<strong>Ondel<strong>et</strong>tes</strong> <strong>et</strong><br />
<strong>analyse</strong> <strong>numérique</strong><br />
J. Houdayer<br />
Introduction<br />
Bases d’ondel<strong>et</strong>tes<br />
Convergence <strong>et</strong><br />
approximation<br />
Moments de ψ,<br />
convergence de f j → f<br />
<strong>Ondel<strong>et</strong>tes</strong> de Daubechies<br />
Moments de φ,<br />
convergence de W j f → f<br />
<strong>Ondel<strong>et</strong>tes</strong> de Coifman<br />
Approximation non linéaire<br />
D’autres espaces<br />
Calcul<br />
Zoologie des<br />
ondel<strong>et</strong>tes<br />
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