Ondelettes et analyse numérique - LUTH

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Ondelettes biorthogonales ◮ Deux multirésolutions Vj et ˜ Vj et deux fonctions d’échelle φ et ˜φ, deux équations d’échelles : an, ãn ◮ Deux systèmes d’ondelettes {φjk, ψjk} et { ˜φjk, ˜ψjk} biorthogonales 〈φjk, ˜φjl〉 = δkl, 〈ψjk, ˜ψil〉 = δjiδkl ◮ Deux décompositions en ondelettes f = 〈f , ˜ ∞ φj0k〉φj0k + 〈f , ˜ ψjk〉ψjk k∈Z f = 〈f , φj0k〉 ˜φj0k + k∈Z j=j0 k∈Z ∞ j=j0 k∈Z 〈f , ψjk〉 ˜ψjk ◮ Équivalence de norme f φ ∼ f ˜φ ∼ f L 2 f 2 φ = k∈Z 〈f , φj0k〉 2 + ∞ 〈f , ψjk〉 2 j=j0 k∈Z Ondelettes et analyse numérique J. Houdayer Introduction Bases d’ondelettes Convergence et approximation D’autres espaces Calcul Zoologie des ondelettes Ondelettes biorthogonales Paquets d’ondelettes Ondelettes d’interpolation Ondelettes multiples Autres applications
Relations entre les deux bases ◮ Supports, régularités et nombre de moments nuls indépendants (à priori) ◮ Relations de biorthogonalité â ∗ (ω)ˆã(ω) + â ∗ (ω + π)ˆã(ω + π) = 4 â ∗ (0)ˆã(0) = 4 ˆb(ω) = e −iωˆã ∗ (ω + π), ˆ˜b(ω) = e −iω â ∗ (ω + π) bn = (−1) 1−n ã1−n, ˜bn = (−1) 1−n a1−n Algorithme de Mallat et transformée en ondelettes L’algorithme est inchangé sauf qu’on utilise une base dans un sens et l’autre dans l’autre : une base d’analyse et une base de synthèse. Ondelettes et analyse numérique J. Houdayer Introduction Bases d’ondelettes Convergence et approximation D’autres espaces Calcul Zoologie des ondelettes Ondelettes biorthogonales Paquets d’ondelettes Ondelettes d’interpolation Ondelettes multiples Autres applications
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Ondelettes et analyse numérique J.
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Plan du cours Introduction Phénom
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Les fonctions régulières sont fac
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Ce qu’il nous faut Pour éliminer
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Approximation en escalier sur [0, 1
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Construction d’une base de foncti
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Les ondelettes de Haar sur [0, 1] D
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Ondelettes de Haar : un début mode
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On peut faire beaucoup mieux que Ha
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Multirésolution Une multirésoluti
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Propriétés générales de φ Prop
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La relation fondamentale des ondele
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Autre exemple de fonction d’éche
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Ondelettes Espaces Wj : détails en
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Équation d’échelle pour ψ L’
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Base d’ondelettes Décomposition
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Algorithme de Mallat Pas élémenta
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Transformée en ondelettes Une appr
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Moments nuls de ψ Définition ψ a
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Convergence de fj Si ψ à ses mome
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Support minimal Minimisons le nombr
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Les ondelettes de Daubechies Propri
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La magie des ondelettes La conditio
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Convergence de Wjf → f Wjf = 2
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Convergence globale Condition de Co
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Ondelettes de Coifman Les ondelette
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Visualisation des djk avec Daubechi
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Multirésolution bidimensionnelle P
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