Ondelettes et analyse numérique - LUTH
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La méthode des gradients conjugués Pour A symétrique, défini, positif : ui → A −1 f d0 = r0 = f − Au0 αi = 〈ri, ri〉 〈di, Adi〉 ui+1 = ui + αidi ri+1 = f − Aui+1 = ri − αiAdi di+1 = ri+1 + 〈ri+1, ri+1〉 di 〈ri, ri〉 Cet algorithme converge en n pas en dimension n. L’erreur est en O(e − 2M √ κ ) avec M : nombre d’itérations et κ = λmax/λmin : conditionnement de A. En général avec les ondelettes, on peut préconditionner A pour que κ reste borné quand le nombre de coefficients augmente. Ondelettes et analyse numérique J. Houdayer Introduction Bases d’ondelettes Convergence et approximation D’autres espaces Calcul Dérivation Autres opérations Équations aux dérivées partielles Zoologie des ondelettes Autres applications
Et si A n’est pas symétrique défini positif ? Il existe beaucoup de variantes de la méthode des gradients conjugués, pour différentes situations. Dans tous les cas on peut passer à la formulation suivante u = min v Av − f 2 en annulant la dérivée on obtient A T Au = A T f et A T A est symétrique défini positif. En revanche κ(A T A) = κ 2 (A). Ondelettes et analyse numérique J. Houdayer Introduction Bases d’ondelettes Convergence et approximation D’autres espaces Calcul Dérivation Autres opérations Équations aux dérivées partielles Zoologie des ondelettes Autres applications
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Et si A n’est pas symétrique défini positif ?<br />
Il existe beaucoup de variantes de la méthode des gradients<br />
conjugués, pour différentes situations. Dans tous les cas on<br />
peut passer à la formulation suivante<br />
u = min<br />
v Av − f 2<br />
en annulant la dérivée on obtient<br />
A T Au = A T f<br />
<strong>et</strong> A T A est symétrique défini positif.<br />
En revanche κ(A T A) = κ 2 (A).<br />
<strong>Ondel<strong>et</strong>tes</strong> <strong>et</strong><br />
<strong>analyse</strong> <strong>numérique</strong><br />
J. Houdayer<br />
Introduction<br />
Bases d’ondel<strong>et</strong>tes<br />
Convergence <strong>et</strong><br />
approximation<br />
D’autres espaces<br />
Calcul<br />
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partielles<br />
Zoologie des<br />
ondel<strong>et</strong>tes<br />
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