Ondelettes et analyse numérique - LUTH

Ondelettes et analyse numérique 

J. Houdayer 

Institut de Physique Théorique, CEA Saclay 

20 juin 2008 

Ondelettes et 

analyse numérique 

J. Houdayer 

Introduction 

Bases d’ondelettes 

Convergence et 

approximation 

D’autres espaces 

Calcul 

Zoologie des 

ondelettes 

Autres applications

Plan du cours 

Introduction 


Convergence et approximation 


Calcul 

Zoologie des ondelettes 

Autres applications 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 

Phénomène de Gibbs 

Ondelettes de Haar 

Caractéristiques des ondelettes 




Calcul 





J. Houdayer 

Introduction 



Caractéristiques des 




approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 







Calcul 





J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Les fonctions régulières sont faciles à représenter 

Tout va bien 

◮ Diverses bases disponibles : Fourier, Tchebychev,. . . 

◮ Les coefficients décroissent très vite. 

◮ La fonction est bien représentée avec peu de 

coefficients. 

Exemple : une gaussienne 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Fourier 10 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Les fonctions singulières posent problème 


◮ Convergence très lente des coefficients. 

◮ Oscillations à longue portée autour des singularités. 

◮ Problème : non localité des fonctions de la base. 

Une gaussienne tronquée 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Fourier 50 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Ce qu’il nous faut 

Pour éliminer le problème 

Il faut une base de fonctions 

◮ localisée : chaque fonction décroît rapidement à l’infini. 

◮ hiérarchique : il existe une fonction arbitrairement 

localisée autour de chaque point. 

◮ orthonormale : pas de redondance, simplicité. 

Ce sont des ondelettes 

Les bases d’ondelettes ont ces propriétés. Ils en existe de 

toutes sortes suivant leurs propriétés additionnelles : support 

compact, régularité, convergence rapide pour les fonctions 

régulières, coefficients bien approximables. . . 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 







Calcul 





J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Approximation en escalier sur [0, 1] 

Approximation de niveau j 

Approximation de f : fj constante sur les intervalles 

Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 

fj|Ijk = 〈f (x)〉Ijk , et fj → f . 

Niveau 0 Haar 1 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications




Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications




Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 


Niveau 01 2 Haar 12 

4 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications




Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 



48 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications




Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 


Niveau Niveau Niveau40 12 3 Haar Haar Haar16 12 

48 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications




Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 



12 

48 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications




Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 


Niveau Niveau Niveau45 60 12 3 Haar Haar Haar16 32 64 

12 

48 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications




Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 


Niveau Niveau Niveau Niveau7 45 60 12 3 Haar Haar Haar Haar128 16 32 64 12 

48 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications




Notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

Ijk = [k2 −j , (k + 1)2 −j [, 


Niveau Niveau Niveau Niveau7 845 60 12 3 Haar Haar Haar Haar128 256 

16 32 64 12 

48 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Construction d’une base de fonctions 

Une transformation simple 

Notre exemple 

fj+1(t) − fj(t) = 

djkψjk(t), 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

où ψjk(t) ∝ ψ(2 j t − k). 

Niveau 0 1 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

k 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



Notre exemple 

fj+1(t) − fj(t) = 

djkψjk(t), 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

où ψjk(t) ∝ ψ(2 j t − k). 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

k 

Niveau 01 12 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



Notre exemple 

fj+1(t) − fj(t) = 

djkψjk(t), 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

où ψjk(t) ∝ ψ(2 j t − k). 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

k 

Niveau 01 2 12 

3 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



Notre exemple 

fj+1(t) − fj(t) = 

djkψjk(t), 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

où ψjk(t) ∝ ψ(2 j t − k). 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

k 

Niveau 01 23 12 

34 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



Notre exemple 

fj+1(t) − fj(t) = 

djkψjk(t), 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

où ψjk(t) ∝ ψ(2 j t − k). 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

k 

Niveau 01 23 4 12 

34 

5 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



Notre exemple 

fj+1(t) − fj(t) = 

djkψjk(t), 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

où ψjk(t) ∝ ψ(2 j t − k). 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

k 

Niveau 01 23 45 12 

34 

56 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

La base d’ondelettes de Haar sur [0, 1] 

φ 

ψ 

ψ 1* 

ψ 

2* 

ψ 3* 

ψ 4* 

0 

1/4 1/2 3/4 1 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Les ondelettes de Haar sur [0, 1] 

Décomposition sur la base de Haar 

f (t) = cφ(t) + 

Retour sur notre exemple 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

j=0 k=0 


2 j −1 

 

djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



f (t) = cφ(t) + 


1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

2 j −1 

 

j=0 k=0 


djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



f (t) = cφ(t) + 


1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

2 j −1 

 

j=0 k=0 


4 

djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



f (t) = cφ(t) + 


1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

2 j −1 

 

j=0 k=0 


48 

djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



f (t) = cφ(t) + 


1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

2 j −1 

 

j=0 k=0 


48 

djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



f (t) = cφ(t) + 


1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

2 j −1 

 

j=0 k=0 


12 

48 

djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



f (t) = cφ(t) + 


1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

2 j −1 

 

j=0 k=0 

Niveau Niveau Niveau45 60 12 3 Haar Haar Haar16 32 64 

12 

48 

djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



f (t) = cφ(t) + 


1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

2 j −1 

 

j=0 k=0 

Niveau Niveau Niveau Niveau7 45 60 12 3 Haar Haar Haar Haar128 16 32 64 12 

48 

djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications



f (t) = cφ(t) + 


1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

∞ 

2 j −1 

 

j=0 k=0 

Niveau Niveau Niveau Niveau7 845 60 12 3 Haar Haar Haar Haar128 256 

16 32 64 12 

48 

djkψjk. 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 







Calcul 





J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Ondelettes de Haar : un début modeste 

Qualités 

◮ Pas d’oscillations à longue portée 

◮ Représentation exacte des parties constantes 

◮ L’effet de la discontinuité se fait sentir sur une distance 

2 −j 

Défauts 

◮ Convergence très lente des coefficients (comme Fourier) 

◮ Mauvaise représentation de la partie régulière 

◮ Fonctions de la base singulières 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Approximation non linéaire 

Il y a beaucoup de petits coefficients 

Les coefficients pour les parties constantes sont nuls. Au lieu 

de prendre les premiers coefficients, on prend les plus grands. 

Meilleure convergence autour de la singularité 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Haar 20 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

On peut faire beaucoup mieux que Haar 

Un exemple : Les ondelettes de Daubechies (d’ordre 5) 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

0.4 

2 4 6 8 10 12 

Sur notre fonction singulière 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Daubechies 35 

6 4 2 2 4 6 

0.5 

1.0 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

1.0 

0.5 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Qualités 

◮ représentation efficace des fonctions régulières et 

singulières 

◮ pas de phénomène de Gibbs 

◮ approximation non linéaire 

◮ possibilité de calculer (dérivation, multiplication,. . .) 

Difficultés 

◮ Choix et calcul de la base d’ondelettes 

◮ Problèmes de bord 

◮ Programmation 



J. Houdayer 

Introduction 







approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 


Multirésolution 

Équation d’échelle 


Algorithme de Mallat 

Transformée en ondelettes 



Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Une multirésolution est un ensemble {Vj}j∈Z de 

sous-espaces fermés de L 2 (R) vérifiant 

◮ Suite croissante : 

{0} = . . . ⊂ Vj ⊂ Vj+1 ⊂ . . . = L 2 (R) 

◮ Vj est invariant par translation de 2 −j : 

f (t) ∈ Vj ⇐⇒ f (t − 2 −j ) ∈ Vj 

◮ Vj est identique à Vj+1 à une dilatation par 2 près : 

f (t) ∈ Vj ⇐⇒ f (2t) ∈ Vj+1 

◮ Fonction d’échelle φ (le «père des ondelettes») : 

∃φ ∈ V0 telle que {φ(t−k)}k∈Z base orthonormale de V0 

Espace Vj ⇔ échelle 2 −j 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Multirésolution de Haar 

Approximation en escalier 

Les approximations en escalier de L 2 (R) forment une 

multirésolution, avec Vj l’ensemble des approximations de 

niveau j (sur R). L’approximation en escalier fj de f est la 

projection orthogonale de f sur Vj. 

Fonction d’échelle φ de Haar 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.5 0.5 1.0 1.5 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Propriétés générales de φ 

Propriétés de φ 

◮ 

◮ 

+∞ 

−∞ 

+∞ 

−∞ 

φ 2 (t)dt = 1 

φ(t − l)φ(t − k)dt = δlk 

◮ normalisation (non trivial) : 

Base de Vj 

+∞ 

−∞ 

◮ φjk(t) = 2 j/2 φ(2 j t − k), pour j, k ∈ Z 

φ(t)dt = 1 

◮ {φjk}k∈Z est une base orthonormale de Vj 

◮ Approximation de niveau j : 

fj = PVj 

 

f = cjkφjk avec cjk = 〈f , φjk〉 

k∈Z 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

La relation fondamentale des ondelettes 

L’équation d’échelle pour φ 

φ(t/2) ∈ V−1 ⊂ V0, on a donc l’équation d’échelle 

Forme générale 

φ(t/2) = 

anφ(t − n), 

n∈Z 

φ (j−1)k = 1 

√ 2 

 

anφj(n+2k), n∈Z 

Le vecteur d’échelle 

Les {an} forment le vecteur d’échelle 

Vecteur d’échelle de Haar 

a0 = a1 = 1, tous les autres an = 0 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Relations entre φ et {an} 

Équation d’échelle en Fourier 

φ est entièrement déterminé par les {an} 

ˆφ(2ω) = 1 

2 â(ω) ˆφ(ω) → ˆφ(ω) = 

Relations d’orthonormalité 

ou encore 

∞ 

j=1 

|â(ω)| 2 + |â(ω + π)| 2 = 4 et â(0) = 2 

â(2 −j ω) 

2 

 

a2n = 

n∈Z 

 

a2n+1 = 1 et 

n∈Z 

 

anan+2p = 2δ0p 

n∈Z 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Autre exemple de fonction d’échelle 

Ondelettes de Daubechies d’ordre 1 

a0 = 1 + √ 3 

4 

, a1 = 3 + √ 3 

4 

, a2 = 3 − √ 3 

, a3 = 

4 

1 − √ 3 

4 

Fonction φ : support [0, 3], continue, fractale 

1.0 

0.5 

1 1 2 3 4 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Ondelettes 

Espaces Wj : détails entre échelles 2 −j et 2 −j+1 

Vj ⊂ Vj+1 → Vj+1 = Vj ⊕ Wj 

ψ la «mère des ondelettes» : analogue de φ pour W0 


{ψ(t − k)}k∈Z base orthonormale de W0 

ψjk(t) = 2 j/2 ψ(2 j t − k), pour j, k ∈ Z 

{ψjk}k∈Z est une base orthonormale de Wj 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Exemples de fonction ψ 

Fonction ψ de Haar 

0.5 0.5 1.0 1.5 

Fonction ψ de Daubechies d’ordre 1 

1.0 

0.5 

0.5 

1.0 

1.0 

0.5 

2 1 1 2 3 

0.5 

1.0 

1.5 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Équation d’échelle pour ψ 

L’équation d’échelle pour ψ 

ψ(t/2) ∈ W−1 ⊂ V0 → équation d’échelle pour ψ 

Forme générale 

ψ(t/2) = 

bnφ(t − n), 

n∈Z 

ψ (j−1)k = 1 

√ 2 

 

bnφj(n+2k), n∈Z 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Relations entre ψ, φ, {an} et {bn} 

Équation d’échelle en Fourier, relations d’orthonormalité 

ˆψ(2ω) = 1 

2 ˆb(ω) ˆφ(ω) 

| ˆ b(ω)| 2 + | ˆ b(ω + π)| 2 = 4, 

â(ω)ˆb ∗ (ω) + â(ω + π)ˆb ∗ (ω + π) = 0. 

ψ existe (pas unique → translations) 

ˆb(ω) = e −iω â ∗ (ω + π) 

bn = (−1) 1−n a1−n 

+∞ 

−∞ 

ψ(t)dt = 0 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Base d’ondelettes 

Décomposition de Vj 

Bases 

Vj = Vj−1 ⊕ Wj−1 = Vj−2 ⊕ Wj−2 ⊕ Wj−1 = . . . 

= Vj0 ⊕ Wj0 ⊕ Wj0+1 ⊕ · · · ⊕ Wj−1 

donc L 2 (R) = Vj0 ⊕ Wj0 ⊕ Wj0+1 ⊕ · · · 

{φj0k}k∈Z et {ψjk}j≥j0,k∈Z : base orthonormale de L 2 (R) 

f = 

∞ 

cj0kφj0k + djkψjk 

k∈Z 

j=j0 k∈Z 

cjk = 〈f , φjk〉, djk = 〈f , ψjk〉 

∞ 

f 2 = 

c 

k∈Z 

2 j0k + d 

j=j0 k∈Z 

2 jk 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Une base hiérarchique 

φ j0 

ψ j0 

ψ j0+1 

ψ j0+2 

ψ j0+3 

j 

t 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Différentes représentations 

Différents niveaux de base 

En particulier pour f ∈ Vj 

f = 

∞ 


k∈Z 

j=j0 k∈Z 

= 

∞ 


k∈Z 

j=j1 k∈Z 

f = 

k∈Z 

= 

k∈Z 

cjkφjk 

cj0kφj0k + 

j−1 

 

 

j ′ =j0 k∈Z 

dj ′ kψj ′ k 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Pas élémentaire : Vj = Vj−1 ⊕ Wj−1 

 

cjkφjk = 

k∈Z 

 

c (j−1)kφ (j−1)k + 

k∈Z 

 

d (j−1)kψ (j−1)k 

k∈Z 

Formules de transformation 

Dans un sens 

c (j−1)k = 1 

√ 2 

et dans l’autre 

 

n∈Z 

c (j+1)(2k) = 1 

√ 2 

c (j+1)(2k+1) = 1 

√ 2 

anc j(n+2k), d (j−1)k = 1 

√ 2 

 

n∈Z 

 

n∈Z 

a−2nc j(n+k) + 1 

√ 2 

a1−2nc j(n+k) + 1 

√ 2 

 

bncj(n+2k), n∈Z 

 

b−2ndj(n+k), n∈Z 

 

b1−2ndj(n+k). n∈Z 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Complexité de l’algorithme, support compact 

Complexité 

Pour transformer un coefficient, il faut O(L) opérations où L 

est le nombre d’an non nuls. Il faut donc que L soit fini. Pour 

transformer N coefficients il faut O(NL) opérations. 

Ondelettes à support compact 

◮ L fini ⇔ φ et ψ à support compact 

◮ au, . . . , av non nuls ⇔ supp(φ) = [u, v]. 

 

◮ supp(ψ) = (librement translatable) 

1 − L L 

2 , 2 

◮ Un point de R n’influence que L ondelettes par niveau 

Seules ondelettes intéressantes 

◮ Ondelettes les mieux localisées 

◮ Manipulation informatique possible 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Les coefficients sont difficiles à calculer 

avec 

fj = PVj 

cjk = 〈f , φjk〉 = 

f = 

k∈Z 

+∞ 

−∞ 

Approximation des coefficients cjk 

Si f est continue en k/2 j 

cjk = 1 

2j/2 +∞ 

= 1 

2 j/2 

= 1 

f 

2j/2 −∞ 

+∞ 

cjkφjk 

f (t)φjk(t)dt 

 

k + u 

f 

2j 

φ(u)du 

 

k 

f 

−∞ 2j 

+ o(1) φ(u)du 

 

k 

2j 

1 

+ o 

2j/2 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Une approximation de l’approximation fj 

Wjf = 1 

2 j/2 

 

f 

k∈Z 

 

k 

2j 

φjk 

Si f est à support compact et n’a que des discontinuités 

isolées 

Wjf → f 

Avec l’algorithme de Mallat 

Temps de calcul en O(LN) pour obtenir 

Wjf = 

k∈Z 

˜c j 

j0k φj0k + 

j−1 

 

 

j ′ =j0 k∈Z 

˜d j 

j ′ k ψj ′ k 



J. Houdayer 

Introduction 








approximation 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 



Moments de ψ, convergence de fj → f 

Ondelettes de Daubechies 

Moments de φ, convergence de Wjf → f 

Ondelettes de Coifman 



Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 



approximation 

Moments de ψ, 

convergence de f j → f 


Moments de φ, 

convergence de W j f → f 




Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Convergence de fj → f 

Pour toute base d’ondelettes, il existe f ∈ L 2 (R) pour 

laquelle fj converge arbitrairement lentement. 

fj = 

j−1 

cj0kφj0k + 

k∈Z 

 

j ′ =j0 k∈Z 

dj ′ kψj ′ k, f − fj 2 = 

∞ 

j ′ 

d 

=j k∈Z 

2 j ′ k 

On voudrait que la convergence soit rapide pour f régulière. 

Calcul de djk pour f dérivable 

+∞ 

djk = f (t)ψjk(t)dt 

−∞ 

= 2 −j/2 

+∞ 

k + u 

f 

−∞ 2j 

ψ(u)du 

= 2 −j/2 

+∞ 

k 

f 

−∞ 2j 

+ u 

 

′ k 

f 

2j 2j 

+ · · · ψ(u)du 

= 2 −3j/2 f ′ 

 

k 

2j +∞ 

uψ(u)du + · · · 

−∞ 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Moments nuls de ψ 

Définition 

ψ a ses moments nuls jusqu’à l’ordre p ssi 

+∞ 

−∞ 

t q ψ(t)dt = 0, pour q = 0, 1, . . . , p 

Représentation exacte des polynômes 

Si f est un polynôme de degré inférieur à p alors tous les djk 

sont nuls. 

Localement f est représentée exactement par un nombre fini 

de coefficients (les cj0k). 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Convergence des djk 

Une formule globale 

Si f est de classe C m avec m ≤ p + 1 et f (m) bornée 

djk = 2 −j/2 

+∞ 

k + u 

f 

−∞ 2j 

ψ(u)du 

= 2 −j/2 

⎡ 

+∞ m−1 u 

⎣ 

−∞ 

q=0 

q 

(q) k 

f 

q!2jq 2j 

+ umf (m) (cu) 

m!2jm ⎤ 

⎦ ψ(u)du 

 

1 

−j(m+ 

= O 2 2 ) 

Valable localement 

Si f est C m sauf en un point P où elle est C l (l < m) : 

1 

◮ −j(m+ si P /∈ supp(ψjk) ⇒ djk = O(2 2 ) ) 

1 

◮ −j(l+ si P ∈ supp(ψjk) ⇒ djk = O(2 2 ) ) 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Convergence de fj 

Si ψ à ses moments nuls jusqu’à l’ordre p et si f est C m à 

support compact avec m ≤ p + 1 alors 

f − fj 2 ∞ 

= 

j ′ 

d 

=j k∈Z 

2 j ′ k 

⎛ 

∞ 

= O ⎝ 

On a donc 

j ′ =j 

 

j′ 

2 2 −j′ (m+ 1 

2 ) ⎞ 

2 

 

f − fj = O 2 −jm 

⎠ = O 

 

2 −2jm 

Avec N = 2 j coefficients, on a une erreur en O (N −m ) 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Support minimal 

Minimisons le nombre L de an non nuls 

◮ Temps de calcul proportionnel à L 

◮ Les singularités rencontrent à chaque niveau L 



Les ondelettes de Daubechies d’ordre p ont leurs moments 

nuls jusqu’à l’ordre p et ont un support de taille minimale 

2p + 1 (soit L = 2p + 2). 

Comment les calcule-t-on ? 

Moments nuls → â(ω) = 2 

1+e −iω 

2 

p+1 

R(e −iω ) 

Orthonormalité → |R(e −iω )| 2 = P(sin2 (ω/2)) 

Racines de P( 2−z−z−1 

4 ) → {an} 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Les ondelettes de Daubechies 

Propriétés 

Quand l’ordre augmente, les supports grandissent ainsi que la 

régularité des ondelettes : elles sont respectivement de classe 

C 0 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 à partir de l’ordre 1, 2, 5, 7, 11, 15. 

φ et ψ, ordre 0 = Haar 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.5 0.5 1.0 1.5 

1.0 

0.5 

0.5 0.5 1.0 1.5 

0.5 

1.0 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Propriétés 




φ et ψ, ordre 1, C 0 

1.0 

0.5 

1 1 2 3 4 

1.0 

0.5 

2 1 1 2 3 

0.5 

1.0 

1.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Propriétés 





1.0 

0.5 

1 1 2 3 4 5 6 

1.0 

0.5 

3 2 1 1 2 3 4 

0.5 

1.0 

1.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Propriétés 





1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

2 4 6 8 

1.0 

0.5 

4 2 2 4 

0.5 

1.0 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Propriétés 





1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

2 4 6 8 10 

1.0 

0.5 

4 2 2 4 6 

0.5 

1.0 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Propriétés 





1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

0.4 

2 4 6 8 10 12 

1.0 

0.5 

6 4 2 2 4 6 

0.5 

1.0 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Propriétés 





1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

0.4 

5 10 15 20 

1.0 

0.5 

10 5 5 10 

0.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

La magie des ondelettes 

La condition Fix-Strang 

Moments nuls jusqu’à l’ordre p équivaut à Fix-Strang 

 

n q φ(t − n) est un polynôme pour q = 0, 1, . . . , p 

n∈Z 

Illustration avec Daubechies 2 

1.5 

1.0 

0.5 

0.0 

0.5 

2 4 6 8 10 12 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Convergence de Wjf → f 

Wjf = 2 

−j/2 

k∈Z 

f 

 

k 

2j 

φjk 

f − Wjf 2 = f − fj 2 + fj − Wjf 2 

= f − fj 2 + 

 

k∈Z 

Calcul de cjk similaire à celui de djk 

cjk = 2 −j/2 f 

cjk − 2 −j/2 f 

 

k 

2j 2 

k 

2j 

+ 2 −3j/2 f ′ 

 

k 

2j +∞ 

uφ(u)du + · · · 

−∞ 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Moments nuls de φ 

Définition 

φ a ses moments nuls jusqu’à l’ordre p ssi 

+∞ 

−∞ 

t q φ(t)dt = δ0q, pour q = 0, 1, . . . , p 

Condition non invariante par translation 

Approximation de cjk 

Si f est de classe C m avec m ≤ p + 1 et f (m) bornée 

cjk = 2 −j/2 f 

 

k 

2j 

1 

−j(m+ 

+ O 2 2 ) 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Convergence globale 

Condition de Coifman 

Un système d’ondelettes vérifie la condition de Coifman 

d’ordre p si les moments de φ et de ψ sont nuls jusqu’à 

l’ordre p. 

Convergence de Wjf → f 

Si les ondelettes vérifient la conditions de Coifman d’ordre p 

et si f est C m à support compact avec m ≤ p + 1 alors 

 

f − Wjf = O 2 −jm 

Avec N = 2 j points, la transformée en ondelettes commet 

une erreur O (N −m ) 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Utilité de la convergence rapide de Wjf → f 

Pas nécessaire dans de nombreuses applications 

Wjf contient l’information sur les valeurs de f en certains 

points. Pour débruiter, compresser, analyser ces 

informations, peu importe si Wjf converge rapidement. 

Même la dérivée (Wjf ) ′ approxime bien Wj(f ′ ), 

indépendamment de la convergence de Wjf → f . 

Nécessaire dans d’autres cas 

◮ valeurs de la fonctions entre les points d’échantillonage 

◮ toute opération non linéaire (multiplication, application 

de fonctions, . . . ) 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


Les ondelettes de Coifman d’ordre p sont des ondelettes 

vérifiant la condition de Coifman d’ordre p ayant un support 

de taille minimal. L = 3p + 2 pour p pair et L = 3p + 3 pour 

p impair. Contrairement aux ondelettes de Daubechies, on 

ne peut pas librement translater φ (mais ψ oui), 

supp(φ) = [p − L + 2, p + 1]. 

φ et ψ, ordre 0 = Haar 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.5 0.5 1.0 1.5 

1.0 

0.5 

0.5 0.5 1.0 1.5 

0.5 

1.0 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications







supp(φ) = [p − L + 2, p + 1]. 


4 3 2 1 1 2 3 

1.5 

1.0 

0.5 

1.5 

1.0 

0.5 

3 2 1 1 2 3 4 

0.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications







supp(φ) = [p − L + 2, p + 1]. 


1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

4 2 2 4 

0.2 

1.0 

0.5 

4 2 2 4 

0.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications







supp(φ) = [p − L + 2, p + 1]. 


8 6 4 2 2 4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

1.0 

0.5 

6 4 2 2 4 6 

0.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications







supp(φ) = [p − L + 2, p + 1]. 


8 6 4 2 2 4 6 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

1.0 

0.5 

6 4 2 2 4 6 8 

0.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications







supp(φ) = [p − L + 2, p + 1]. 


10 5 5 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

1.0 

0.5 

5 5 10 

0.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications







supp(φ) = [p − L + 2, p + 1]. 


20 15 10 5 5 10 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.2 

0.5 

15 10 5 5 10 15 

0.5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 









Calcul 




J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Approximation linéaire 

M premiers éléments de la base 

{en}n∈N une base d’un espace de fonctions. L’approximation 

linéaire ALf d’une fonction f avec N coefficients est 

ALf = 

Erreur commise 

N−1 

 

n=0 

cnen, avec cn = 〈f , en〉 

 

∞ 

εLf = f − ALf = |cn| 2 

n=N 

1 

2 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Erreur de l’approximation linéaire 

Approximation de Fourier 

Pour f de classe C m à support compact, on a 

1 

−(m+ 

εLf = o(N 2 ) ) 

Approximation en ondelettes 

Pour f de classe C m à support compact, m ≤ p + 1 

εLf = O(N −m ) 

Très mauvais en cas de discontinuité 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications


N plus grands coefficients 

L’approximation non linéaire optimale ANLf d’une fonction f 

avec N coefficients est 

ANLf = 

N−1 

 

n=0 

cinen, avec |ci0 | ≥ |ci1 | ≥ |ci2 | ≥ . . . 

ANLf minimise l’erreur avec N coefficients sur cette base. 

Comment la calculer 

Impossible sans calculer tous les coefficients. Mais on peut 

s’en approcher. Exemple, la transformée en ondelettes : on 

calcule W0f , puis on calcule successivement W1f , W2f , . . . . 

À chaque étape, on ne garde que les coefs au dessus d’un 

certain seuil et on ne «creuse» que là où les coefficients sont 

grands. 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Erreur de l’approximation non linéaire 

Peu de coefficients autour de la singularité 

Pour f de classe C m avec un point de discontinuité P. 

A = {(j, k)|P ∈ supp(ψjk)} et B son complémentaire. 

Dans A : djk = O(2 −j/2 ), dans B : djk = O(2 −j(m+1/2) ). 

L’ordre des djk est donc . . . 2 j − L de B, 2mL de A, 2 j+1 − L 

de B, 2mL de A, 2 j+2 − L . . . 

Convergence indépendante des singularités 

Pour f de classe C m à support compact, m ≤ p + 1 avec un 

nombre fini de discontinuités 

εNLf = O(N −m ) 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Visualisation des djk avec Daubechies 1 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Visualisation des djk avec Daubechies 5 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 









Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 




Ondelettes multidimensionnelles 

Bords 

Espaces de Sobolev 

Calcul 





J. Houdayer 

Introduction 



approximation 



multidimensionnelles 

Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 





Bords 


Calcul 





J. Houdayer 

Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Une approche trop simple 

Produit tensoriel global 

Si {ψjk}j,k∈Z est une base orthonormale de L 2 (R) alors 

{ψj1,k1 (t1)ψj2,k2 (t2)}j1,k1,j2,k2∈Z est une base de orthonormale 

de L 2 (R 2 ) 

Quelques problèmes 

◮ beaucoup d’indices : 2d 

◮ mélange d’échelle entre différentes dimensions 

◮ pas de bonnes propriétés (plus de niveaux) 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Multirésolution bidimensionnelle 

Produit tensoriel des espaces Vj 

V 2 

j = Vj ⊗ Vj 

φ 2 jk(t) = φjk1 (t1)φjk2 (t2), avec k = (k1, k2), t = (t1, t2) 

Espace W 2 

j 

{φ 2 jk} k∈Z 2 est une base orthonormale de V 2 

j 

V 2 

j+1 = Vj+1 ⊗ Vj+1 

= (Vj ⊕ Wj) ⊗ (Vj ⊕ Wj) 

= (Vj ⊗ Vj) 

⊕ (Vj ⊗ Wj) ⊕ (Wj ⊗ Vj) ⊕ (Wj ⊗ Wj) 

 

V 2 

j+1 = V 2 

j ⊕ W 2 

j 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Base d’ondelettes bidimensionnelles 

Base orthonormale de W 2 

j 

ψ 2,1 

jk (t) = φjk1 (t1)ψjk2 (t2) 

ψ 2,2 

jk (t) = ψjk1 (t1)φjk2 (t2) 

ψ 2,3 

jk (t) = ψjk1 (t1)ψjk2 (t2) 

Décomposition d’une fonction 

f = 

k∈Z 2 

cj0kφ 2 j0k + 

∞ 

j=j0 k∈Z2 3 

d 

r=1 

r j0kψ 2,r 

jk 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

En dimension d 


Bases 

φ d jk(t) = 

t = (t1, . . . , td), k = (k1, . . . , kd) 

V d 

d 

j = Vj, V d 

j+1 = V d 

j ⊕ W d 

j 

d 

i=1 

i=1 

φjki (ti), ψ d,r 

jk (t) = 

d 

i=1 

θ ri 

jki (ti) 

θ 0 = φ, θ 1 = ψ, r = r1r2 . . . rd en binaire 

f = 

k∈Z d 

cj0kφ d j0k + 

∞ 

 

2d 

j=j0 k∈Zd r=1 

d r j0kψ d,r 

jk 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Propriétés générales 

Convergence des coefficients (même conditions) 

◮ d r jk 

= O(2−j(nr m+ d 

2 ) ) où nr = ri 

◮ cjk = 1 

f 

2jd/2 k 

2 j 

 

d 

−j(m+ 

+ O(2 2 ) ) 


L’algorithme de Mallat se factorise, O(dLN) opérations 

Wjf = 1 

2 jd/2 

 

k∈Z d 

f 

 

k 

2j 

Convergence globale (mêmes conditions) 

◮ f − fj = O(2 −jm ) = O(N −m/d ) 

◮ f − Wjf = O(2 −jm ) = O(N −m/d ) 

◮ Approximation non linéaire εNLf = O(N −m/d ) 



J. Houdayer 

Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Plan du cours 

Introduction 





Bords 


Calcul 





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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Trois stratégies 

Repliement 

◮ Ondelettes périodiques 

◮ Ondelettes symétriques 

Adaptation 

On fabrique des ondelettes particulières qui s’adaptent aux 

bords et on décompose la fonction sur ces ondelettes. 

Extension 

On ne change pas les ondelettes et on considère des 

fonctions s’étendant au delà du bord et on se restreint à la 

zone intérieure. 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Ondelettes périodiques 

Extension périodique (comme Fourier) 

Pour représenter f ∈ L 2 ([0, 1]), on considère son extension 

périodique de période 1 (on identifie t et t + n pour n ∈ Z). 

Cela revient à identifier cjk, djk, φjk et ψjk avec c j(k+2 j n), 

d j(k+2 j n), φ j(k+2 j n) et ψ j(k+2 j n). 

Caractéristiques 

◮ Simplicité 

◮ Discontinuité en 0 et 1 

◮ Pas de conditions aux bords possibles 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Repliement des ondelettes périodiques 

Les ondelettes changent 

C’est équivalent à créer des ondelettes à support dans [0, 1] 

en repliant celles de L 2 (R) (en identifiant encore t et t + n). 

Les ondelettes qui croisent les points 0 et 1, se replient et ne 

vérifient plus les conditions de moments nuls. 

Les ondelettes repliées vérifient ˜φjk = 2 −j/2 pour j ≤ 0 et 

˜ψjk = 0 pour j < 0. Niveau de base naturel j0 = 0. 

Visualisation 

1.0 

0.5 

0.0 

0.5 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications









Visualisation 

1.0 

0.5 

0.0 

0.5 0.5 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

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Autres applications









Visualisation 

1.0 

0.5 

0.0 

0.5 0.5 0.5 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

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Autres applications









Visualisation 

1.0 

0.5 

0.0 

0.5 0.5 0.5 0.5 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications









Visualisation 

1.0 

0.5 

0.0 

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 



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Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Ondelettes symétriques 

Extension périodique symétrique (comme Fourier réel) 

f ∈ L 2 ([0, 1]) → extension paire périodique de période 2. 

Identification de t avec −t et t + 2n. Il faut φ pair et ψ 

symétrique autour de 1/2. 



◮ Continuité en 0 et 1, mais discontinuité de la dérivée 




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Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications










◮ Il n’existe pas d’ondelettes orthogonales symétriques 



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Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications










◮ Il n’existe pas d’ondelettes orthogonales symétriques 

◮ Possible avec les ondelettes biorthogonales 



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Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Ondelettes de bord 

Multirésolution sur R + 

Mêmes propriétés qu’une multirésolution sauf invariance par 

translation. Base orthonormale de V0 : intérieur 

{φ(t − n)}nL≤n, bord : {φL(t)}k=1...mL k . Équation d’échelle 

habituelle pour φ et mL équations d’échelle particulières 

pour les φL k . 

Passage à l’intervalle 

Pour j ≥ j0, on peut faire la même construction des deux 

côtés. On perd l’invariance d’échelle. Base d’un Vj : 

{φL (t)}k=1...mL jk à gauche, {φjk}nL,j≤k≤nR,j au milieu et 

{φR (t)}k=1...mR jk à droite. 



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Introduction 



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Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Ondelettes de bord de Daubechies 

Idées pour la construction : On translate φ pour avoir 

supp(φ) = [−p, p + 1] 

On note IL = {k ∈ Z|0 ∈ supp(φ0k)}, ce sont les ondelettes 

que l’on va transformer. Dans R, on écrit pour r ≤ p 

t r = 

qrkφ(t − k) 

k∈Z 

ur = 

qrkφ0k| R + 

k∈IL 

Les ur sont orthogonaux aux {φ0k} k /∈IL et sont linéairement 

indépendants. Orthonormalisation de Gram-Schmidt → φL k . 

Par construction, l’espace V0 engendré par les {φL}k∈IL k et 

les {φ0k} k /∈IL contient les polynômes de degré inférieur à p. 

Donc les ψ associés (qu’il reste à construire) ont leurs 

moments nuls jusqu’à l’ordre p. 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Conditions aux bords 

Dans la construction précédente, φL k (t) est un polynôme de 

degré k au voisinage de 0. Avec une rotation de la base des 

φ L k 

(t), on peut adapter les éléments de cette base à 

n’importe quel jeu de conditions linéaires entre les dérivées 

au bord. C’est-à-dire que fixer un jeux de conditions aux 

bords revient à fixer les premiers coefficients cj0k (tous les 

autres coefficients étant «orthogonaux» à ces conditions). 

Faire cette rotation nécessite un recalcul des ψ k L associés. 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Caractéristiques des ondelettes de bord 

◮ Difficile de les fabriquer (pas d’ondelettes de bord de 

Coifman à ma connaissance) 

◮ Difficile à utiliser, plus d’invariance par translation : 

tous les algorithmes doivent gérer explicitement les 

bords et leurs équations d’échelle spécifiques 

(algorithme de Mallat, dérivation(sic), . . . ) 

◮ Application possible de conditions aux bords 

quelconques (libres, valeur fixée, dérivée fixée, relation 

entre dérivées, . . . ) 



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Introduction 



approximation 




Bords 


Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Méthode d’extension 

Idée 

On ne touche plus aux ondelettes, mais à la fonction. La 

fonction est étendue à un domaine plus grand (R par 

exemple). Les conditions aux bords sont appliquées 

indirectement. 


◮ Simplicité : invariance par translation, les algorithmes 

ne s’occupent (presque pas) des bords 

◮ Flexibilité : possibilité de définir des domaines de forme 

quelconque 

◮ Conditions aux bords à appliquer avec des pénalités 

◮ Temps de calcul augmenté : il faut gérer la fonction sur 

un domaine plus grand 

◮ Comment étendre la fonction ? 



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Introduction 



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Calcul 

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Plan du cours 

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Bords 


Calcul 





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Bords 


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Peut-on représenter un pic delta ? 

Effet de la dérivation sur les djk 

On verra plus loin que 

djk = O(2 −jr ) ⇒ d ′ jk = O(2 −j(r−1) ) 

1 

−j(m+ cohérent avec djk = O(2 2 ) ) pour f de classe C m 

Pic delta 

donc 

δ = θ ′ , avec θ(t) = 0 si t ≤ 0 et 1 sinon 

djk(θ) = O(2 −j/2 ) ⇒ djk(δ) = O(2 j/2 ) 

δ /∈ L 2 (R), 

d 2 jk(δ) = ∞ 

j≥0 k∈Z 

Comment représenter δ avec des ondelettes ? 



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Espace de Sobolev 

Définition 

Espace de Sobolev : H s ⊂ L 2 (R), s ∈ N est donné par 

H 0 = L 2 (R) et f ∈ H s ⇔ f , f ′ ∈ H s−1 . 

Généralisation à s ∈ R par (L 2 (R) ⊂ H s pour s ≤ 0) 

propriétés 

f ∈ H s ⇔ 

+∞ 

−∞ 

(1 + ω 2 ) s | ˆ f (ω)| 2 dω < ∞ 

H s espace de Hilbert avec une certaine norme .H s 

H s ⊂ C m pour s > m + 1 

2 

δ ∈ H −1 



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Introduction 



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Calcul 

Zoologie des 


Autres applications

Représentation des espaces de Sobolev 

Une nouvelle norme 

f 2 s = 

c 2 ∞ 

j0k + (2 js djk(f )) 2 

k∈Z 

j=j0 k∈Z 

On peut montrer que cette norme est équivalente à la norme 

.Hs si s et ψ ∈ H|s| 

Conséquences 

f ∈ H s ⇔ f s < ∞ 

La représentation en ondelettes de f ∈ H s a du sens et 

converge pour cette norme. 

Les {2 −js ψjk}j,k∈Z forment une base orthonormale de H s 

pour la norme .s. 



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Plan du cours 

Introduction 




Calcul 

Dérivation 

Autres opérations 

Équations aux dérivées partielles 





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Dérivation 


Équations aux dérivées 

partielles 

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Introduction 




Calcul 

Dérivation 







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Dérivation 



partielles 

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Introduction 

Dérivation de la représentation 

f = 

∞ 


k∈Z 

j=j0 k∈Z 

f ′ = 

c 

k∈Z 

′ ∞ 

j0kφj0k + d 

j=j0 k∈Z 

′ jkψjk 

La dérivée est une opération linéaire, il suffit donc de 

calculer la décomposition en ondelettes de φ ′ jk et de ψ′ jk . 

Coefficients de connexion 

Pour cela, il faut calculer 

A il 

jk = 〈φjk, φ ′ +∞ 

il〉 = φjk(t)φ 

−∞ 

′ il(t)dt, 

B il 

jk = 〈ψjk, φ ′ il〉 = −〈φil, ψ ′ jk〉, C il 

jk = 〈ψjk, ψ ′ il〉. 



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Calcul 

Dérivation 



partielles 

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Autres applications

Calcul des A il 

jk 

◮ A il 

+∞ 

jk = φjk(t)φ 

−∞ 

′ il(t)dt 

◮ Intégration par partie : Ail jk = −Ajk 

il 

◮ Changement de variable : Ail jk = 2iA (j−i)(k−2j−i l) 

avec i ≤ j et Ajk = A00 jk 

◮ Pour j ≥ 0, A (−j)k = −2jAj(−2 jk) ◮ Éq. d’échelle pour φ ′ : A (j+1)k = √ 2 

n∈Z 

anA j(k−2 j n) 

◮ Par itération les Ak = A0k donnent tous les Ajk 

◮ Intégration par partie : A−k = −Ak 

◮ Support de φ : Ak = 0 pour k ≥ L 

◮ Tout se déduit de L − 1 nombres A1, A2, . . . , AL−1 



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Calcul 

Dérivation 



partielles 

Zoologie des 


Autres applications

Coefficients de connexion fondamentaux Ak 

+∞ 

◮ Ak = 

−∞ 

φ(t − k)φ ′ (t)dt 

◮ Équation d’échelle pour φ : 

Ak = 

γn−2kAn, avec γk = 

n∈Z 

n∈Z 

anan+k 

◮ L − 1 équations pour L − 1 inconnues, parfait ? Non ! 

Ces équations sont homogènes. Elles sont linéairement 

liées. Il faut une autre équation. 

◮ On suppose que ψ à un moment nul ( tψ(t) = 0), on 

écrit (avec M = tφ(t)dt) 

t = 

(k + M)φ0k = M + 

k∈Z 

 

kφ0k 

1 = 

k∈Z 

 

kφ 

k∈Z 

′ 0k 

 

kAk = −1 

k∈Z 



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Calcul 

Dérivation 



partielles 

Zoologie des 


Autres applications

Autres coefficients de connexion 

◮ Bjk = B 00 

jk , Cjk = C 00 

jk , Bk = B0k, Ck = C0k 

◮ ηk = 

anbn+k, µk = 

n∈Z 

 

bnbn+k 

n∈Z 

◮ Pour i ≤ j : Bil jk = 2iB (j−i)(k−2j−i l), 

C il jk 

jk = −Cil = 2iC (j−i)(k−2j−i l) 

◮ Pour j ≥ 0 : 

B (j+1)k = √ 2 

anBj(k−2 jn) n∈Z 

C (j+1)k = √ 2 

bnBj(k−2 jn) n∈Z 

◮ Bk = 

ηn−2kAn, Ck = 

n 

 

µn−2kAn 

n 



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Calcul 

Dérivation 



partielles 

Zoologie des 


Autres applications

La dérivée d’une décomposition en ondelettes 

avec 

et 

φ ′ j0l = 

k∈Z 

 

= 2 j0 

f ′ = 

cj0kφ ′ j0k + 

k∈Z 

A j0l 

j0k φj0k + 

k∈Z 

j=j0 k∈Z 

djkψ ′ jk 

∞ 

B 

j=j0 k∈Z 

j0l 

jk ψjk 

∞ 

B (j−j0)(k−2 

j=j0 k∈Z 

j−j0 l) ψjk 

Ak−lφj0k + 2 j0 

ψ ′ il = − 

B 

k∈Z 

j0k 

il φj0k 

∞ 

+ C 

j=j0 k∈Z 

il 

jkψjk 

= −2 j0 

 

B (i−j0)(l−2 

k∈Z 

i−j0 k) φj0k 

i−1 

 

j 

− 2 C (i−j)(l−2i−j k)ψjk 

j=j0 k∈Z 

 

i 

+ 2 C (j−i)(k−2j−i l)ψjk 

j≥i k∈Z 



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Dérivation 



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Zoologie des 


Autres applications

Comportement de Bjk et des Cjk 

Décroissance lente 

φ ′ = 

∞ 

Akφ0k + Bjkψjk 

k∈Z 

j=0 k∈Z 

ψ ′ = − 

∞ 

B−kφ0k + Cjkψjk 

k∈Z 

j=0 k∈Z 

Si φ est de classe C m 1 

−j(m− , Bjk ∼ Cjk = O(2 2 ) ). 

Typiquement, beaucoup plus lent que les djk de f ′ . 

Compensations 

Beaucoup de termes se compensent, par exemple, si q ≤ p 

 

k q Bjk = 0, pour j ≥ 0 

k∈Z 

 

k∈Z 

k q Cjk = 0, pour j ≥ 1 



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Zoologie des 


Autres applications

Liens avec la dérivée discrète 

(Wjf ) ′ = 2 

(Wjf ) ′ j = 2 

= 2 

−j/2 

k∈Z 

 

−j/2 

k∈Z 

⎡ 

 

−j/2 ⎣2 j 

k∈Z 

 

φ ′ jk 

 

k 

f 

2j 

k 

f 

2j 

2 

 

−L

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Dérivation 







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Coefficients de connexion généralisés 

Multiplication 

Pour déterminer la décomposition en ondelettes d’un produit 

il faut calculer des coefficients (similaires aux Ail jk ) de la 

forme +∞ 

φjk(t)φil(t)φpm(t)dt 

−∞ 

ainsi que ceux avec φ ↔ ψ (similaires aux B il 

jk 

Dérivée seconde 

Généralisation fg ′ h (3) 

+∞ 

−∞ 

+∞ 

−∞ 

φjk(t)φ ′′ 

il(t)dt 

φjk(t)φil(t)φ ′ pm(t)φ (3) 

rs (t)dt 

et C il 

jk ). 



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Zoologie des 


Autres applications

Principe du calcul 

◮ Coefficients fondamentaux : Ail jk , Bil jk , C il 

jk se ramènent 

au calcul des Ak. On se ramène au calcul de 

+∞ 

−∞ 

φ(t)φ (d1) 

0k1 (t)φ(d2) 0k2 

(t) . . . dt 

◮ Équations d’échelles : En appliquant l’équation d’échelle 

on obtient un jeu d’équations linéaires homogènes avec 

des coefs de la forme ar0ar1 ar2 . . . 

◮ Équations de moments : On écrit tq = 

n cq n φ0n(t) 

pour q ≤ p, on dérive, on intègre et on obtient d’autres 

équations linéaires (dont certaines inhomogènes) avec 

des coefficients dépendants des c q n 

◮ il n’y a plus qu’à résoudre le système linéaire obtenu 

◮ et à en déduire la formule de multiplication / dérivation 



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Zoologie des 


Autres applications

Application d’une fonction 

C’est facile et rapide 

Si on veut calculer exp(f ) : 

◮ transformée en ondelettes inverse 

◮ application de la fonction exp aux valeurs ponctuelles 

◮ retransformation en ondelettes 

Tout cela en temps O(LN) 

C’est aussi possible avec des fonctions à plusieurs variables 

f × g, f /g . . . 

Plus compliqué avec l’approximation non linéaire 



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partielles 

Zoologie des 


Autres applications


Produit scalaire 

〈f , g〉 = 

∞ 

cj0k(f )cj0k(g) + dj0k(f )dj0k(g) 

Intégration 

b 

a 

k∈Z 

f (t)dt = 

+∞ 

−∞ 

+∞ 

−∞ 

j=j0 k∈Z 

f (t)dt = 

k∈Z 

cj0k 

f (t) × 1 [a,b](t)dt = 〈f , 1 [a,b]〉 

Convolution : coefficients de connexion particuliers 

+∞ +∞ 

−∞ 

−∞ 

φ(u − n)φ(u − t)φ(t)dtdu 



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Un cas simple 

Conditions aux bords périodiques 

−∆u + u = f 

sur un cube Ω = [0, 1] d avec des conditions périodiques. 

Pour f ∈ H −1 (Ω), il existe une unique solution dans H 1 (Ω). 

On peut réécrire cette équation sous la forme 

Au = f 

où A = −∆ + Id est un opérateur symétrique défini positif. 

Résolution dans Vj 

Écrivons {en} la base d’ondelettes de Vj, et 

Anm = 〈en, Aem〉, un = 〈u, en〉 et fn = 〈en, f 〉. Il suffit alors 

de résoudre le système linéaire suivant 

 

Anmum = fn 

m 



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Autres applications

Quid de l’approximation non linéaire ? 

Pas de matrice 

Dans l’approximation non linéaire, on ne connaît pas à 

l’avance les éléments de la base que l’on conserve, on ne 

peut alors pas écrire de matrice. On connaît seulement 

l’action de l’opérateur sur un vecteur donné. La matrice de 

l’opérateur A est généralement très creuse. 

Processus itératif 

Il nous faut donc un processus itératif, pour résoudre 

approximativement cette équation en dimension infinie. 

L’idée est d’approximer un processus qui converge dans cet 

espace de dimension infinie. La méthode de choix est celle 

dite des gradients conjugués (conjugate gradient method). 



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Zoologie des 


Autres applications

La méthode des gradients conjugués 

Pour A symétrique, défini, positif : ui → A −1 f 

d0 = r0 = f − Au0 

αi = 〈ri, ri〉 

〈di, Adi〉 

ui+1 = ui + αidi 

ri+1 = f − Aui+1 = ri − αiAdi 

di+1 = ri+1 + 〈ri+1, ri+1〉 

di 

〈ri, ri〉 

Cet algorithme converge en n pas en dimension n. L’erreur 

est en O(e 

− 2M 

√ κ ) avec M : nombre d’itérations et 

κ = λmax/λmin : conditionnement de A. 

En général avec les ondelettes, on peut préconditionner A 

pour que κ reste borné quand le nombre de coefficients 

augmente. 



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Zoologie des 


Autres applications

Et si A n’est pas symétrique défini positif ? 

Il existe beaucoup de variantes de la méthode des gradients 

conjugués, pour différentes situations. Dans tous les cas on 

peut passer à la formulation suivante 

u = min 

v Av − f 2 

en annulant la dérivée on obtient 

A T Au = A T f 

et A T A est symétrique défini positif. 

En revanche κ(A T A) = κ 2 (A). 



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Conditions aux bords 

Exemple 

Au = f , sur Ω 

Bu = g, sur ∂Ω 

où Ω ⊂ R d (suffisamment régulier) et B linéaire de Ω → ∂Ω 

par exemple Bu = u|∂Ω ou Bu = ∂u 

∂n |∂Ω. 

Résolution dans Vj avec une base adaptée sur Ω 

Comme avant, on écrit 

 

Anmum = fn 

m 

et on ajoute des conditions aux bords grâce à l’adaptation de 

la base d’ondelettes à ces conditions aux bords. On peut 

alors écrire un système inversible. 

Et l’approximation non linéaire ? 



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Autres applications

Méthode d’extension 

On étend le problème sur un cube (à bords libres) contenant 

Ω 

Ãũ = ˜f , sur le cube 

˜Bũ = g, sur ∂Ω 

A = Ã|Ω . . . et la solution u du précédent système est ũ|Ω. 

Différentes méthodes de résolution 

◮ Méthode des pénalités 

◮ Multiplicateur de Lagrange 

◮ Intégrale de bord 



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Autres applications

Méthode des pénalités 

On écrit le système suivant 

et ũε → ũ quand ε → 0 

Ãũ + 1 

ε ˜Bũ = ˜f + 1 

ε g 

Problème de conditionnement 

et 

1 

κ( Ã + 

ε ˜ B) = O( 1 

ε ) 

ε = O(2 −j ) 

Représentation des fonctions sur ∂Ω 

g et les valeurs de l’opérateur B sont représentées comme 

des distributions sur le cube concentrées sur ∂Ω. Il faut 

déterminer B 



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Zoologie des 


Autres applications

Résolution du problème à bords libres 

Deux possibilités 

◮ Pour résoudre le problème à bords libres, il suffit d’avoir 

une base d’ondelettes adaptées au cube et de résoudre 

comme dans le cas périodique 

◮ On étend (une deuxième fois) le problème, mais on 

restreint tous les calculs sur le cube de départ. En 

particulier, on restreint les opérations de dérivation près 

des bords libres par des coefficients de connexion 

tronqués du type 

∞ 

φjk(t)φ ′ il(t)dt 

0 



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Multiplicateur de Lagrange 

On introduit une fonction auxiliaire λ définie sur ∂Ω et on 

doit résoudre le système suivant sur le cube à bords libres 

 

A BT 

u f 

= 

B 0 λ g 


◮ On résout pour deux fonctions 

◮ La matrice n’est pas définie 

◮ On peut préconditionner la matrice 

◮ Représentation de λ et g dans le cube ou directement 

sur ∂Ω. 

◮ Il faut déterminer B et B T 



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approximation 


Calcul 

Dérivation 



partielles 

Zoologie des 


Autres applications

Intégrale de bords 

Quand c’est possible on résout d’abord 

Ãũp = ˜ f 

sur le cube avec des conditions aux bords périodiques. Reste 

Ãũ0 = 0, sur le cube à bords libres 

˜Bũ0 = g − ũp|∂Ω, sur ∂Ω 

avec ũ = ũp + ũ0. On peut alors ce ramener à la résolution 

sur ∂Ω d’une équation du type 

 

K(x, y)u(y)dy = h(x) 

∂Ω 

qui est un problème sans bord de dimension inférieure que 

l’on peut en théorie résoudre comme précédemment. 

Difficultés 

◮ Il faut créer des ondelettes sur ∂Ω 

◮ La matrice de l’opérateur intégral est pleine 



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Introduction 



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Calcul 

Dérivation 



partielles 

Zoologie des 


Autres applications

Comment calculer B et B T 

◮ On représente les fonctions sur ∂Ω comme des 

distributions de l’espace piquées sur ∂Ω. 

◮ On représente le domaine Ω par sa fonction 

caractéristique 1Ω qui vaut 1 sur Ω et 0 ailleurs. 

◮ ∇1Ω est une distribution de vecteurs piqués sur ∂Ω 

pointant vers l’intérieur de Ω. 

◮ ∇1Ω représente ∂Ω, par exemple 

∂Ω f = Rd f ∇1Ω 

◮ On le calcule par ∇1Ω = −∇1Ω · n où n est la 

normale sortante de ∂Ω. 

◮ Pour B donné par Bu = u|Ω, on a Bu = u∇1Ω et B T 

est l’identité sur les distributions localisées sur ∂Ω. 

◮ Pour B donné par Bu = ∂u 

∂n |Ω, on a Bu = −∇u · ∇1Ω et 

B T u = − ∂u 

∂n . 



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Introduction 



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Calcul 

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Plan du cours 

Introduction 




Calcul 


Ondelettes biorthogonales 

Paquets d’ondelettes 

Ondelettes d’interpolation 

Ondelettes multiples 



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Plan du cours 

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Calcul 








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Calcul 

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Bases biorthogonales 

Dans un espace de Hilbert, deux bases {ei} et {˜ei} sont 

biorthogonales si 

〈ei, ˜ej〉 = δĳ 

et un vecteur v se décompose en 

v = 

〈v, ei〉˜ei = 

〈v, ˜ei〉ei 

i 

{ei} et {˜ei} ne sont orthonormales que si ei = ˜ei. 

Ondelettes non orthogonales 

On ne suppose plus que {φ(t − n)}n∈Z est une base 

orthonormale, mais simplement une base (de Riesz) de V0. 

On peut alors en déduire un φortho qui engendre une base 

orthonormale de V0 et une multirésolution. 

i 



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Introduction 



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Calcul 

Zoologie des 






Autres applications


◮ Deux multirésolutions Vj et ˜ Vj et deux fonctions 

d’échelle φ et ˜φ, deux équations d’échelles : an, ãn 

◮ Deux systèmes d’ondelettes {φjk, ψjk} et { ˜φjk, ˜ψjk} 

biorthogonales 

〈φjk, ˜φjl〉 = δkl, 〈ψjk, ˜ψil〉 = δjiδkl 

◮ Deux décompositions en ondelettes 

f = 

〈f , ˜ ∞ 

φj0k〉φj0k + 〈f , ˜ ψjk〉ψjk 

k∈Z 

f = 

〈f , φj0k〉 ˜φj0k + 

k∈Z 

j=j0 k∈Z 

∞ 

j=j0 k∈Z 

〈f , ψjk〉 ˜ψjk 

◮ Équivalence de norme f φ ∼ f ˜φ ∼ f L 2 

f 2 φ = 

k∈Z 

〈f , φj0k〉 2 + 

∞ 

〈f , ψjk〉 2 

j=j0 k∈Z 



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Introduction 



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Calcul 

Zoologie des 






Autres applications

Relations entre les deux bases 

◮ Supports, régularités et nombre de moments nuls 

indépendants (à priori) 

◮ Relations de biorthogonalité 

â ∗ (ω)ˆã(ω) + â ∗ (ω + π)ˆã(ω + π) = 4 

â ∗ (0)ˆã(0) = 4 

ˆb(ω) = e −iωˆã ∗ (ω + π), 

ˆ˜b(ω) = e −iω â ∗ (ω + π) 

bn = (−1) 1−n ã1−n, ˜bn = (−1) 1−n a1−n 

Algorithme de Mallat et transformée en ondelettes 

L’algorithme est inchangé sauf qu’on utilise une base dans 

un sens et l’autre dans l’autre : une base d’analyse et une 

base de synthèse. 



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Calcul 

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Autres applications

Intérêt des ondelettes biorthogonales 

◮ plus de liberté de construction 

◮ ondelettes symétriques 

◮ différentes régularités / nombre de moments nuls à 

l’analyse et à la synthèse 

Quelques exemples (tous symétriques) 

◮ ondelettes CDF (Cohen, Daubechies, Feauveau) : 

équivalent des ondelettes orthogonales de Daubechies 

◮ ondelettes de Coifman biorthogonales 

◮ ondelettes splines : φ est connue analytiquement 



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Décomposition de Wj 

Théorème de décomposition 

Si on a les an et les bn d’un système d’ondelettes et si 

{χ(t − n)}n∈Z est une base orthonormale d’un espace R alors 

χ S (t) = 1 

√ 2 

 

n∈Z 

R = S ⊕ T 

anχ(t − 2n), χ T (t) = 1 

√ 2 

 

bnχ(t − 2n) 

n∈Z 

{χ S (t − 2n)}n∈Z base orthonormale de S 

{χ T (t − 2n)}n∈Z base orthonormale de T 

Décomposition de Wj 

Comme on a écrit Vj+1 = Vj ⊕ Wj, on peut écrire 

Wj = Wj,1,0 ⊕ Wj,1,1 et ainsi de suite 

Wj,1,0 = Wj,2,0 ⊕ Wj,2,1, Wj,1,1 = Wj,2,2 ⊕ Wj,2,3 



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Intérêt des paquets d’ondelettes 

Forme des nouvelles ondelettes 

Les ondelettes ainsi créées ont un support plus grand et un 

plus grand nombre d’oscillations, elles peuvent permettre de 

représenter plus facilement un signal oscillant rapidement. 

Adaptation de la base 

Les paquets d’ondelettes permettent de fabriquer facilement 

un grand nombre de bases différentes. On peut alors 

optimiser la base choisie, par exemple pour compresser un 

signal. C’est l’étape naturelle suivante après l’approximation 

non linéaire. 



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Fonction d’interpolation 

Définition 

φ ∈ L 2 est une fonction d’interpolation si {φ(t − n)}n∈Z est 

une base (de Riesz) de l’espace U qu’elle engendre et si 

φ(0) = 1 et φ(n) = 0 pour n ∈ Z ∗ 

On a alors f (t) = 

f (k)φ(t − k) pour f ∈ U 

k∈Z 


Si φ 0 est une fonction d’échelle 

φ(t) = 

+∞ 

−∞ 

est une fonction d’interpolation et 

φ(t/2) = 

n∈Z 

φ 0 (u)φ 0 (u − t)du 

anφ(t − n), avec an = 1 

2 

 

a 

k∈Z 

0 ka 0 k+n 



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Calcul 

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Autres applications

fonction d’interpolation de Deslaurier-Dubuc 

Si φ 0 est une fonction d’échelle de Daubechies d’ordre p 

alors le φ est la fonction d’interpolation de Deslaurier-Dubuc 

d’ordre p. Elle est symétrique, son support est 

[−2p − 1, 2p + 1], elle interpole exactement des polynômes 

de degré 2p + 1 et 

a2n = δ0n 

a2n+1 = (−1)p−n+1 2p+1 k=0 (k − p − 1/2) 

(n + 1/2)(p − n)!(p + n + 1)! 

Exemple pour Haar (p = 0) : supp φ = [−1, 1] et 

φ(t) = φ(−t) = 1 − t et a0 = 1, a−1 = a1 = 1 

2 

Note : φ n’engendre pas une base orthonormale 

pour − p − 1 ≤ n ≤ p 



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Calcul 

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Multirésolution d’interpolation 

◮ φjk(t) = φ(2 j t − k) 

Attention pas de facteur 2 j/2 : φjk∞ = 1 

◮ Espaces Vj ⊂ L 2 (R) : 

f ∈ Vj ⇔ f = 

k∈Z 

f 

 

k 

2j 

φjk 

avec croissance de f au plus polynomiale à l’infini. 

◮ Pour Deslaurier-Dubuc d’ordre p, les polynômes de 

degré 2p + 1 sont dans Vj 

◮ Pour f /∈ Vj, projecteur (non orthogonal) sur Vj 

PVj 

 

f = f 

k∈Z 

 

k 

2j 

φjk 

◮ Si f uniformément continue alors f − PVj f ∞ → 0 



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Système d’ondelettes d’interpolation 

◮ ψjk(t) = φ (j+1)(2k+1)(t) = ψ(2 j t − k) 

◮ ψ(t) = φ(2t − 1) 

◮ Wj = {g ∈ Vj+1|g = 

k gkψjk} 

◮ Vj+1 = Vj ⊕ Wj (complémentaire non orthogonal) 

◮ Décomposition de f ∈ Vj+1 

 

f = PVj f + 

k∈Z 

djkψjk 

 

k + 1/2 

djk = f 

2j 

− PVj f 

 

k + 1/2 

2j 

 

k + 1/2 

2j 

= 

 

k − n 

f 

2j 

PVj f 

n∈Z 

a2n+1 



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Convergence 

Si f est uniformément continue (convergence avec .∞) 

f = 

 

k 

f 

2 

k∈Z 

j0 

∞ 

φj0k + djkψjk 

j=j0 k∈Z 

Si φ 0 a ses moments nuls jusqu’à l’ordre p et si f est 

uniformément continue, de classe C m , m ≤ 2p + 2, f (m) 

bornée 

|djk| = O(2 −jm ) 

et si f est à support compact 

f − PVj f ∞ = O(2 −j(m−1) ) 



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Calcul 








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Un φ, plusieurs ψ 

On considère une multirésolution avec une fonction d’échelle 

mais avec un facteur de dilatation m ∈ N (habituellement 

m = 2). Il faut alors m − 1 ondelettes ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ m−1 et 

on écrit Vj+1 = Vj ⊕ W 1 

j 

⊕ W 2 

j 

⊕ · · · ⊕ W m−1 

j 

Plusieurs φ, plusieurs ψ 

Multirésolution avec plusieurs fonctions d’échelle φ i , avec 

{φ 1 (t − n1), . . . , φ m (t − nm)} une base orthonormale de V0 

et autant de ψ i associés engendrant W0. 

Cela donne plus de liberté pour fabriquer des ondelettes : 

symétrie, support plus petit . . . 



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Analyse de signal 

Débruitage 

Compression de données 



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Compression de données

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Transformée en ondelettes continue 


Dans ce cadre, on appelle ondelette une fonction ψ avec 

ψ(t)dt = 0 et on note 

Transformée continue 

ψu,s = 1 

t − u 

√ ψ 

s s 

Wf (u, s) = 〈f , ψu,s〉 = 

et si ψ décroît assez vite à l’infini 

f (t) = Cψ 

∞ 

0 

+∞ 

−∞ 

f (t)ψu,s(t)dt 

ds 

s2 +∞ 

Wf (u, s)ψu,s(t)du 

−∞ 



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Régularité de Lipschitz 

Définition 

Une fonction f est Lipschitz α ≥ 0 au point t0 si ∃K > 0 et 

un polynôme p de degré m = ⌊α⌋ 

Propriétés 

∀t ∈ R, |f (t) − p(t)| ≤ K|t − t0| α 

◮ f m fois différentiable en t0 ⇔ f Lipschitz ≥ m en t0 

◮ f uniformément Lipschitz > m ⇒ f de classe C m 

◮ Si ψ a ses moments nuls jusqu’à l’ordre p et si f 

uniformément Lipschitz α ≤ p + 1 sur [a, b] alors 

∀u ∈ [a, b], Wf (u, s) = O(s α+1/2 ) 

◮ Réciproque vraie : si α 

uniformément Lipschitz α sur [a + ε, b − ε] ∀ε > 0 



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Maxima locaux de |Wf (u, s)| 

On prend ψ = (−1) p dp 

dtp exp(−t 2 ) et on regarde les maxima 

locaux de |Wf (u, s)| à s fixé. 

◮ ψ a ses moments nuls jusqu’à l’ordre p − 1 

◮ Si |Wf (u, s)| n’a pas de maximum local sur [a, b] pour 

s < s0 alors f est Lipschitz p sur [a + ε, b − ε]. 

◮ Tout maximum local de |Wf (u, s)| se prolonge en une 

ligne de maxima locaux quand s décroît vers 0 

◮ Une ligne de maxima peut converger vers un point où f 

est régulière 

◮ On mesure la régularité de f au point de convergence 

de la ligne par la décroissance de |Wf (u, s)| le long de 

la ligne 

◮ Analyse de régularité, spectre multifractal, détection de 

bord, étude de bruit, de turbulence . . . 



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Signal bruité, estimateur, risque 

Signal bruité 

On considère un signal f (issu d’un certain ensemble F ) 

défini sur N points auquel un bruit b a été ajouté 

fb = f + b 

Estimateur 

Un estimateur est un opérateur D qui essaye d’enlever le 

bruit 

˜f = Dfb 

Risque 

On cherche D pour minimiser le risque (approche 

«minimax») 

r(D) = sup〈˜f 

− f 

f ∈F 

2 〉b 



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Estimateur à seuil 

Seuil dur 

On calcule les coefficients ˜djk de ˜f à partir des djk de fb par 

Seuil mou 

˜djk = 

⎧ 

⎪⎨ 

˜djk = 

⎪⎩ 

djk si |djk| > T 

0 si |djk| ≤ T 

djk − T si djk ≥ T 

djk + T si djk ≤ −T 

0 si |djk| ≤ T 

Choix du seuil 

Pour un bruit blanc gaussien de variance donnée par 

〈b(n)b(k)〉b = σ 2 δnk, le meilleur choix est T = σ √ 2 log N 

Avec ce choix, les estimateurs à seuil sont quasi-optimaux 



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Quelques détails 

Évaluation de σ à partir des djk 

On peut supposer que les N/2 coefficients du niveau le plus 

profond sont essentiellement dus au bruit. On évalue alors la 

médiane M des |djk| sur ce niveau et 

σ M 

0.6745 

Invariance par translation 

On peut améliorer un peu, en rendant l’estimateur invariant 

par translation 

avec f k (n) = f (n − k) 

˜finv(n) = 1 

N 

N−1 

 

k=0 

˜f k (n + k) 



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On s’intéresse ici à la compression non conservative qui 

diminue la quantité d’information. C’est d’un usage courant, 

en particulier pour optimiser le stockage et la transmission 

des photos, du son et de la vidéo. L’idée est de minimiser 

l’impact sensoriel de la perte d’information. C’est subjectif. 

Une mesure simple et honorable de la différence est la 

méthode des moindres carrées (∼ norme L 2 ) 

Principes de base 

◮ acquisition/encodage du signal (sans perte si possible) 

◮ transformée du signal sur une base de fonctions, par 

exemple des ondelettes (sans perte) 

◮ quantification des coefficients, élimination des petits 

coefficients (avec perte) 

◮ encodage des coefficients (et de leur position), codage 

entropique, code correcteur d’erreur . . . (sans perte) 



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Compression par ondelettes 

Les ondelettes sont bien adaptées à la représentation des 

signaux sensoriels car elles représentent bien les variations 

brusques comme par exemple les frontières d’objets sur une 

photo. 

Optimisation de la base 

◮ Le principe de base de la compression utilise 

l’approximation non linéaire mais on peut aussi adapter 

la base pour minimiser le nombre de coefs significatifs 

◮ Utilisation des paquets d’ondelettes : il existe un 

algorithme rapide pour choisir le meilleur paquet 

◮ pour aller encore plus loin, on peut abandonner 

l’invariance par translation de la base ainsi que son 

orthogonalité et adapter localement (dans l’espace ou le 

temps suivant le cas) la base au signal 

◮ il faut alors bien sûr également encoder le choix de la 

base dans le signal compressé 



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Calcul 

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Quelques références 

◮ A wavelet tour of signal processing, S. Mallat, 

Academic Press (London) 1999 

◮ Wavelet analysis, H. Resnikoff R. Wells, Springer (New 

York) 1998 

◮ Ondelettes et opérateurs, Y. Meyer, Hermann (Paris) 

1990 

◮ Wavelet and multiscale methods for operator equations, 

W. Dahmen, Acta Numerica 1997, p. 55 



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Ondelettes et analyse numérique - LUTH

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