développement d'un code d'hydrodynamique radiative 2d - LUTh ...

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
DÉVELOPPEMENT D’UN CODE
D’HYDRODYNAMIQUE RADIATIVE 2D
H. C. NGUYEN
Mathématiques Appliquées
Directeurs de thèse: Laurent Di Menza et Claire Michaut
Université Paris-Sud 11 / Observatoire de Paris-Meudon
17 mars 2008
H. C. NGUYEN MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES DIRECTEURS DE THÈSE: LAURENT DÉVELOPPEMENT DI MENZA ET CLAIRE D’UN CODE MICHAUT D’HYDRODYNAMIQUE UNIVERSITÉ PARIS-SUD RADIATIVE 11 / OBSERVATO 2D

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
1 Introduction
Contexte
Résumé
2 Hydrodynamique
Méthode numérique
Parallélisation du code
3 Transfert radiatif
4 Couplage
Les modèles différents
Le modèle M1-mutigroupe
5 Conclusion
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Contexte
Hydrodynamique radiative
En 1D, le couplage CLAW1D [LeVeque, 2002] + modèle M1 par
L. Boireau (le choc radiatif).
En 2D, CLAW2D ne fonctionne pas correctement (dans notre cas
dont le nombre de Mach est grand).
Mon travail : méthodes numériques, le modèle du rayonnement,
développement du code d’hydrodynamique radiative 2D.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Contexte
Hydrodynamique radiative
En 1D, le couplage CLAW1D [LeVeque, 2002] + modèle M1 par
L. Boireau (le choc radiatif).
En 2D, CLAW2D ne fonctionne pas correctement (dans notre cas
dont le nombre de Mach est grand).
Mon travail : méthodes numériques, le modèle du rayonnement,
développement du code d’hydrodynamique radiative 2D.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Contexte
Hydrodynamique radiative
En 1D, le couplage CLAW1D [LeVeque, 2002] + modèle M1 par
L. Boireau (le choc radiatif).
En 2D, CLAW2D ne fonctionne pas correctement (dans notre cas
dont le nombre de Mach est grand).
Mon travail : méthodes numériques, le modèle du rayonnement,
développement du code d’hydrodynamique radiative 2D.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Contexte
Hydrodynamique radiative
En 1D, le couplage CLAW1D [LeVeque, 2002] + modèle M1 par
L. Boireau (le choc radiatif).
En 2D, CLAW2D ne fonctionne pas correctement (dans notre cas
dont le nombre de Mach est grand).
Mon travail : méthodes numériques, le modèle du rayonnement,
développement du code d’hydrodynamique radiative 2D.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Code d’hydrodynamique 2D : HYDRO-MUSCL [Nguyen, 2007].
Parallélisation du code HYDRO-MUSCL : en collaboration avec
F. ROY.
Choix du modèle pour le transfert radiatif : M1-mutigroupe
[Turpault, 2003].
Calcul des opacités : en collaboration avec C. Blancard
(CEA/DIF/DPTA, associé au LUTH).
Couplage entre hydrodynamique et rayonnement
[Lowrie et al., 1999].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Code d’hydrodynamique 2D : HYDRO-MUSCL [Nguyen, 2007].
Parallélisation du code HYDRO-MUSCL : en collaboration avec
F. ROY.
Choix du modèle pour le transfert radiatif : M1-mutigroupe
[Turpault, 2003].
Calcul des opacités : en collaboration avec C. Blancard
(CEA/DIF/DPTA, associé au LUTH).
Couplage entre hydrodynamique et rayonnement
[Lowrie et al., 1999].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Code d’hydrodynamique 2D : HYDRO-MUSCL [Nguyen, 2007].
Parallélisation du code HYDRO-MUSCL : en collaboration avec
F. ROY.
Choix du modèle pour le transfert radiatif : M1-mutigroupe
[Turpault, 2003].
Calcul des opacités : en collaboration avec C. Blancard
(CEA/DIF/DPTA, associé au LUTH).
Couplage entre hydrodynamique et rayonnement
[Lowrie et al., 1999].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Code d’hydrodynamique 2D : HYDRO-MUSCL [Nguyen, 2007].
Parallélisation du code HYDRO-MUSCL : en collaboration avec
F. ROY.
Choix du modèle pour le transfert radiatif : M1-mutigroupe
[Turpault, 2003].
Calcul des opacités : en collaboration avec C. Blancard
(CEA/DIF/DPTA, associé au LUTH).
Couplage entre hydrodynamique et rayonnement
[Lowrie et al., 1999].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Code d’hydrodynamique 2D : HYDRO-MUSCL [Nguyen, 2007].
Parallélisation du code HYDRO-MUSCL : en collaboration avec
F. ROY.
Choix du modèle pour le transfert radiatif : M1-mutigroupe
[Turpault, 2003].
Calcul des opacités : en collaboration avec C. Blancard
(CEA/DIF/DPTA, associé au LUTH).
Couplage entre hydrodynamique et rayonnement
[Lowrie et al., 1999].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Équations d’hydrodynamique
⎧
⎪⎨
∂tρ + ∇ · (ρV) = 0 ,
∂t(ρV) + ∇ · (ρV ⊗ V + pI) = 0 ,
⎪⎩ ∂tE + ∇ · [V(E + p)] = 0 ,
1
L’énergie totale : E = ρ
2 V2
+ e , V2 = V · V = u2 + v 2 + w 2 ,
Dans notre cas, le fluide est parfait, alors :
p = (γ − 1)ρe ,
avec γ l’indice polytropique du gaz parfait.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Schéma du type MUSCL-Hancock
Références : [Toro, 1999, Berthon, 2005]
On suppose que U ≡ Ui est linéaire sur Ii.
Ui(x) = U n x − xi
i +
∆x ∆i , x ∈ [0, ∆x] ,
où ∆i est un vecteur choisi après qui est dit la pente dans Ii.
Ui−1(x)
Ui(x)
Ii−1 Ii
Ii+1
Ui+1(x)
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Schéma du type MUSCL-Hancock
Reconstruction des données, valeurs aux extrémités :
Évolution de U L i et UR i
U K i = UK i
U L i = Ui(0) = U n i − 1
2 ∆i ,
U R i = Ui(∆x) = U n i + 1
2 ∆i .
par un temps 1
2 ∆t
∆t
−
2∆x [F(UR i ) − F(UL i )] , K = L, R .
Résolution du problème de Riemann PR( UR i , UL i+1 )
⎧
⎪⎨
Ut + F(U)x = 0 ,
⎧
⎨U
⎪⎩
U(x, 0) =
⎩
R i si x < 0
U L i+1 si x > 0
Schéma de Godunov
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Solveur de Riemann du type HLLC
xL
SL
TSL
UL
U∗L
t
T
0
S∗
U∗R
TS∗
UR
(voir [Toro, 1999])
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TSR
xR
SR
x

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Solveur de Riemann du type HLLC
En utilisant les conditions de Rankine-Hugoniot, nous avons :
U∗K =
⎡
⎤
ρK
⎢
⎥
SK − uK
⎢
ρK u∗
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
SK − u∗
⎢
ρK vK
⎥ ,
⎢
⎣
u∗ − uK
⎥
⎦
EK + ρK u∗(u∗ − uK) +
pK
SK − uK
F hllc
i+ 1
⎧
FL
si 0 SL
⎪⎨ F∗L
=
2
⎪⎩
= FL + SL(U∗L − UL) si SL 0 S∗
F∗R = FR + SR(U∗R − UR) si S∗ 0 SR
si 0 SR .
FR
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Cas-test : Problème de Sedov
FIG.: Supernova Kepler c○NASA-HST
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Cas-test : Problème de Sedov
10
5
0
y
ρout
uout
vout
pout
ρin
uin
vin
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5
pin
10
x

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Cas-test : Problème de Sedov
FIG.: Profil de densité au temps final t = 3.0 avec un maillage 400 × 400
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Cas-test : Problème de Sedov
FIG.: Découpage de la densité par le plan xOz (y = 5.0)
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Cas-test : Problème de Sedov
FIG.: Profil de densité au temps final t = 0.35, Ein = 10 5 (400 × 400)
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Problème de Sedov
FIG.: Profil 3D de densité au temps final t = 0.35, Ein = 10 5 (400 × 400)
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Évolution du rayon de choc
Le rayon du choc
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Courbe theorique
Courbe numerique
0.5 1 1.5
Le temps t
2 2.5 3
FIG.: Courbe de rayon du choc de Sedov en fonction du temps
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Jet d’étoile jeune
FIG.: Jet astrophysique c○NASA-HST
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Jet d’étoiles jeunes
0.36
uin
0
r
ρin
pin
vin
ρout
uout
vout
pout
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1
z

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Simulation du jet
y
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
q(1) at time 0.0100
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
x
0.6 0.7 0.8 0.9 1
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1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Parallélisation du code : pourquoi ?
Diminuer le temps de calcul.
Permettre de calculer avec un maillage fin : Etude des instabilités
comme Vishniac (Cécile en parlera).
Le calcul du couplage hydro rad est coûteux : réduire le temps
de calcul.
=⇒Quelques possibilités de parallélisation.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Parallélisation du code : pourquoi ?
Diminuer le temps de calcul.
Permettre de calculer avec un maillage fin : Etude des instabilités
comme Vishniac (Cécile en parlera).
Le calcul du couplage hydro rad est coûteux : réduire le temps
de calcul.
=⇒Quelques possibilités de parallélisation.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Parallélisation du code : pourquoi ?
Diminuer le temps de calcul.
Permettre de calculer avec un maillage fin : Etude des instabilités
comme Vishniac (Cécile en parlera).
Le calcul du couplage hydro rad est coûteux : réduire le temps
de calcul.
=⇒Quelques possibilités de parallélisation.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Parallélisation du code : pourquoi ?
Diminuer le temps de calcul.
Permettre de calculer avec un maillage fin : Etude des instabilités
comme Vishniac (Cécile en parlera).
Le calcul du couplage hydro rad est coûteux : réduire le temps
de calcul.
=⇒Quelques possibilités de parallélisation.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Modèles différents pour le transfert radiatif
Modèle P1 (équilibre radiatif),
Modèle cinétique [Turpault, 2002],
Modèle M1-gris [Dubroca, 2000],
Modèle M1-multigroupe [Turpault, 2002],
Modèle demi-M1 gris [Dubroca and Klar, 2002],
Modèle demi-M1 multigroupe [Turpault et al., 2003].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Modèles différents pour le transfert radiatif
Modèle P1 (équilibre radiatif),
Modèle cinétique [Turpault, 2002],
Modèle M1-gris [Dubroca, 2000],
Modèle M1-multigroupe [Turpault, 2002],
Modèle demi-M1 gris [Dubroca and Klar, 2002],
Modèle demi-M1 multigroupe [Turpault et al., 2003].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Modèles différents pour le transfert radiatif
Modèle P1 (équilibre radiatif),
Modèle cinétique [Turpault, 2002],
Modèle M1-gris [Dubroca, 2000],
Modèle M1-multigroupe [Turpault, 2002],
Modèle demi-M1 gris [Dubroca and Klar, 2002],
Modèle demi-M1 multigroupe [Turpault et al., 2003].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Modèles différents pour le transfert radiatif
Modèle P1 (équilibre radiatif),
Modèle cinétique [Turpault, 2002],
Modèle M1-gris [Dubroca, 2000],
Modèle M1-multigroupe [Turpault, 2002],
Modèle demi-M1 gris [Dubroca and Klar, 2002],
Modèle demi-M1 multigroupe [Turpault et al., 2003].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Modèles différents pour le transfert radiatif
Modèle P1 (équilibre radiatif),
Modèle cinétique [Turpault, 2002],
Modèle M1-gris [Dubroca, 2000],
Modèle M1-multigroupe [Turpault, 2002],
Modèle demi-M1 gris [Dubroca and Klar, 2002],
Modèle demi-M1 multigroupe [Turpault et al., 2003].
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Modèles différents pour le transfert radiatif
Modèle P1 (équilibre radiatif),
Modèle cinétique [Turpault, 2002],
Modèle M1-gris [Dubroca, 2000],
Modèle M1-multigroupe [Turpault, 2002],
Modèle demi-M1 gris [Dubroca and Klar, 2002],
Modèle demi-M1 multigroupe [Turpault et al., 2003].
H. C. NGUYEN MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES DIRECTEURS DE THÈSE: LAURENT DÉVELOPPEMENT DI MENZA ET CLAIRE D’UN CODE MICHAUT D’HYDRODYNAMIQUE UNIVERSITÉ PARIS-SUD RADIATIVE 11 / OBSERVATO 2D

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Equation du transfert radiatif
On note ∇ ≡ ∇x.
( 1
c ∂t+Ω·∇)I(ν, Ω) = κ(ν)B(ν, T)−χ(ν)I(ν)+ σ(ν)
4π S2 pν(Ω ′ ·Ω)I(ν, Ω ′ )dΩ ′
Les 3 moments de l’intensité I(ν, Ω) :
E(ν) = 1
c S2 I(ν, Ω)dΩ
F(ν) = 1
c S2 cΩI(ν, Ω)dΩ
P(ν) = 1
c S2 (Ω ⊗ Ω)I(ν, Ω)dΩ
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Équations aux moments
où
1
∂tE(ν) + ∇ · F(ν) = κ(ν) 4πB(ν, T) − cE(ν)
c ∂tF(ν) + c∇ · P(ν) = − κ(ν) + σ(ν)(1 − g(ν)) F(ν)
Ω ′ g(ν) = 1
4π S2 Ωpν(Ω ′ · Ω)dΩ.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Modèle M1-multigroupe
Fréquence :
ν 1 q− tels que ν 1 = 0 et ν 1
2 q=1,...,Q+1 2
Q+ = +∞.
2
Définition
νq+ 1
2
Eq =
ν
q− 1
2
νq+ 1
2
Fq =
ν
q− 1
2
νq+ 1
2
Pq =
ν
q− 1
2
E(ν)dν, ∀q
F(ν)dν, ∀q
P(ν)dν, ∀q
⎧
⎪⎨ ∂tEq + ∇ · Fq = c
⎪⎩
σe qaθ4 (T) − σa
qEq , ∀q
1
c ∂tFq + c∇ · Pq = − σf q + σd q (1 − ˜gq) Fq, ∀q
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Quelques propriétés
Le système n’est pas fermé =⇒ Choix de la fermeture :
minimiser l’entropie radiative.
Existence et unicité de la fermeture.
La fermeture est isotrope dans les directions orthogonales au
flux =⇒ favoriser le calcul.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Quelques propriétés
Le système n’est pas fermé =⇒ Choix de la fermeture :
minimiser l’entropie radiative.
Existence et unicité de la fermeture.
La fermeture est isotrope dans les directions orthogonales au
flux =⇒ favoriser le calcul.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Quelques propriétés
Le système n’est pas fermé =⇒ Choix de la fermeture :
minimiser l’entropie radiative.
Existence et unicité de la fermeture.
La fermeture est isotrope dans les directions orthogonales au
flux =⇒ favoriser le calcul.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Opacités
σ e q =
< · >q= 1
c S2 νq+ 1
2
·dνdΩ
ν
q− 1
2
< κB(T) >q
, σ a q = < κI >q
, σ f q = < κΩI >q
.
aθ 4 q
En collaboration avec C. Blancard (CEA/DIF/DPTA, associé au
LUTH).
La base de données qui s’appelle Alamos et qui est dispo :
tableaux des opacités de Rosseland et de Planck, dépendent de
la densité et de la température.
Choix de la méthode d’interpolation raisonnable des opacités.
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Eq
Fq

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Opacités
σ e q =
< · >q= 1
c S2 νq+ 1
2
·dνdΩ
ν
q− 1
2
< κB(T) >q
, σ a q = < κI >q
, σ f q = < κΩI >q
.
aθ 4 q
En collaboration avec C. Blancard (CEA/DIF/DPTA, associé au
LUTH).
La base de données qui s’appelle Alamos et qui est dispo :
tableaux des opacités de Rosseland et de Planck, dépendent de
la densité et de la température.
Choix de la méthode d’interpolation raisonnable des opacités.
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Eq
Fq

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Opacités
σ e q =
< · >q= 1
c S2 νq+ 1
2
·dνdΩ
ν
q− 1
2
< κB(T) >q
, σ a q = < κI >q
, σ f q = < κΩI >q
.
aθ 4 q
En collaboration avec C. Blancard (CEA/DIF/DPTA, associé au
LUTH).
La base de données qui s’appelle Alamos et qui est dispo :
tableaux des opacités de Rosseland et de Planck, dépendent de
la densité et de la température.
Choix de la méthode d’interpolation raisonnable des opacités.
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Eq
Fq

INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Méthode numérique pour le rayonnement
La méthode HLLE (Harten-Lax-van Leer-Eidicht) [Audit et al., 2002]
avec
U =
Eq
Fq
U n+1
i
∆t
, F =
− Un i
Fq
+
c 2 Pq
et le flux numérique donné par :
Fn i+ 1 − F
2
n
i− 1
2 = C(U
∆x
n i )
, C =
cσ a q(aθ 4 q − Eq)
−c(σ f q + (1 − gqσ d q )Fq
F n
i+ 1 =
2
b+ Fn i − b−Fn i+1
b + − b− + b+ b− b + − b−(Un i+1 − U n i ).
La condition CFL : c ∆t
∆x + c∆t(σa q + (1 − gqσ d q) 1.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Couplage entre hydrodynamique et rayonnement
Ici :
⎧
∂tρ + ∇ · (ρV) = 0 ,
∂t(ρV) + ∇ · (ρV ⊗ V + pI) = −SF ,
⎪⎨
∂tE + ∇ · [V(E + p)] = −SE ,
∂tEq + ∇ · Fq = c
⎪⎩
σe qaθ4 (T) − σa
qEq , ∀q
1
c ∂tFq + c∇ · Pq = − σf q + σd q (1 − ˜gq) Fq, ∀q
SE = c
SF = − 1
c
q
e
σqaθ 4 (T) − σ a qEq
f
σq + σ d q (1 − ˜gq) Fq
q
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Conclusion
Code HYDRO-MUSCL et sa version de parallélisation.
Choix du modèle M1-multigroupe pour le transfert radiatif.
Choix de la méthode numérique pour M1-multigroupe.
Développement du code de rayonnement.
Couplage des deux codes.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Audit, E., Charrier, P., Chièze, J. ., and Dubroca, B. (2002).
A radiation-hydrodynamics scheme valid from the transport to the
diffusion limit.
ArXiv Astrophysics e-prints.
Berthon, C. (2005).
Stability of the muscl schemes for the euler equations.
COMM. MATH. SCI, 3(2) :133–157.
Dubroca, B. (2000).
Modèle m1-gris.
Dubroca, B. and Klar, A. (2002).
Half-Moment Closure for Radiative Transfer Equations.
Journal of Computational Physics, 180 :584–596.
LeVeque, R. J. (2002).
Finite Volume Methods for Hyperbolic Systems.
Cambridge University Press.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Lowrie, R. B., Morel, J. E., and Hittinger, J. A. (1999).
The coupling of radiation and hydrodynamics.
The Astrophysical Journal, 521(1) :432–450.
Nguyen, H. C. (2007).
Implémentation d’un schéma du type muscl et d’un solveur hllc
pour le code claw.
Master’s thesis, Université Paris-Sud 11.
Toro, E. F. (1999).
Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics : A
Practical Introduction.
Springer.
Turpault, R. (2002).
Construction d’un modèle m1-multigroupe pour les équations du
transfert radiatif.
C. R. Acad. Sci. Paris, 334 :1–6.
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INTRODUCTION HYDRODYNAMIQUE TRANSFERT RADIATIF COUPLAGE CONCLUSION
Turpault, R. (2003).
Modélisation, approximation numérique et applications du
transfert radiatif en déséquilibre spectral couplé avec
l’hydrodynamqie.
PhD thesis, Université de Nantes.
Turpault, R., Dubroca, B., Frank, M., and Klar, A. (2003).
Multigroup half space moment approximations to the radiative
heat transfer equations.
J. Comp. Phys.
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