Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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98 Équation d’Einstein les géodésiques données par g et dont nous avons déjà vu le rôle si important en physique relativiste. Nous avons défini au § 2.6 les géodésiques comme les lignes qui rendent extrémale la distance métrique entre deux points. Une façon alternative, mais équivalente, de voir les géodésiques est de les considérer comme la généralisation des lignes droites de l’espace euclidien R3 à un espace muni d’une métrique quelconque. De ce point de vue, il est utile de remarquer qu’une droite de R3 peut être définie comme une courbe dont le vecteur tangent garde une direction constante. Autrement dit, le vecteur tangent d’une droite de l’espace euclidien est transporté parallèlement à lui-même le long de la droite. Nous souhaiterions donc que le transport parallèle donné par la connexion ∇ et défini par (4.21) soit tel que le champ de vecteur tangent à une géodésique soit transporté parallèlement à lui-même. Nous allons voir que cette demande détermine complètement la connexion ∇. Considérons en effet une géodésique L de (E , g) que, pour être spécifique, nous supposerons être du genre temps. Utilisons alors le temps propre τ comme paramètre le long de L. Le vecteur tangent à L associé à ce paramétrage n’est autre que la 4-vitesse u := c−1−→ dP /dτ. Étant donné un système de coordonnées (xα ) sur E , soit xα = Xα (τ) l’équation paramétrique de L. Les quatre fonctions Xα (τ) obéissent à l’équation des géodésiques (2.133), que l’on peut réécrire en terme de la 4-vitesse comme Il suffit en effet d’utiliser la relation [cf. Eq. (2.84)] 1 du c α dτ + Γα µνu µ u ν = 0. (4.49) u α = 1 c dXα . (4.50) dτ Dans (4.49), les coefficients Γ α µν sont les symboles de Christoffel de g par rapport aux coordonnées (x α ). Ils sont donnés par la formule (2.131) : Γ α µν := 1 2 gασ ∂gσν ∂x ∂x ∂gµσ ∂gµν + − µ ν ∂xσ . (4.51) Par ailleurs, si on demande que le vecteur tangent u soit transporté parallèlement à lui-même le long de L par la connexion ∇, on doit avoir, d’après (4.21) et (4.20), δu = ∇−→ dP u = 0, (4.52) où le déplacement −→ dP est relié à u par −→ dP = cdτ u. En utilisant (4.18) (propriété 3 d’une connexion), on constate que cette condition est équivalente à ∇u u = 0. (4.53) En composantes, cette équation s’exprime en combinant (4.28) et (4.32) : u ν α ∂u = 0. (4.54) ∂x ν + γα µνu µ
4.2 Dérivation covariante (connexion) 99 Remarquons que la dérivée partielle qui apparaît dans cette équation suppose que u est un champ vectoriel défini dans un voisinage ouvert autour de L. Or a priori, u n’est défini que sur L. En toute rigueur, il faudrait donc introduire une extension u∗ de u autour de L, c’est-à-dire un champ vectoriel défini sur un ouvert qui contient L et qui vérifie u α ∗ (X β (τ)) = u α (τ). (4.55) La contraction avec u ν dans (4.54) fait que le résultat est indépendant du choix de l’extension u∗. En effet, en dérivant (4.55) par rapport à τ, il vient c’est-à-dire, au vu de (4.50), En reportant dans (4.54), on obtient ∂u α ∗ ∂x ν dX ν dτ c u ν ∂uα ∗ duα = , (4.56) dτ duα = . (4.57) ∂xν dτ 1 du c α dτ + γα µνu µ u ν = 0. (4.58) En comparant les Eqs. (4.49) et (4.58), on conclut immédiatement que pour que la connexion ∇ assure le transport parallèle des vecteurs tangents aux géodésiques de (E , g), il faut, et il suffit, que les coefficients de connexion relatifs à n’importe quelle base naturelle soient égaux aux symboles de Christoffel de la métrique g par rapport aux coordonnées définissant ladite base naturelle : γ α µν = Γ α µν . (4.59) Puisque nous avons vu au § 4.2.2 que les coefficients de connexion γ α µν définissent entièrement ∇, la condition (4.59) fixe entièrement la connexion ∇. C’est l’unique connexion sur l’espace-temps (E , g) que nous utiliserons désormais. Elle est parfois appelée connexion riemannienne ou encore connexion de Levi-Civita, ou connexion de Christoffel. Une propriété importante de la connexion riemannienne est que les coefficients de connexion sont symétriques dans les deux indices du bas, puisque les symboles de Christoffel le sont, ainsi qu’il est clair sur l’expression (4.51). Une conséquence importante est la suivante. Considérons la dérivée covariante du gradient d’un champ scalaire f ; elle s’obtient via la formule (4.40) : ∇β∇αf = ∂ ∂x β ∇αf − Γ σ αβ ∇σf = ∂2 f ∂x β x α − Γσ αβ Ainsi, puisque les dérivées partielles commutent et que Γ σ αβ ∂f . (4.60) ∂xσ est symétrique en αβ, il vient ∇β∇αf = ∇α∇βf . (4.61)
- Page 48 and 49: 48 Cadre géométrique où x0 0, x1
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- Page 134 and 135: 134 Trous noirs On retombe donc dan
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4.2 Dérivation covariante (connexion) 99<br />
Remarquons que la dérivée partielle qui apparaît dans cette équation suppose que u est<br />
un champ vectoriel défini dans un voisinage ouvert autour <strong>de</strong> L. Or a priori, u n’est défini<br />
que sur L. En toute rigueur, il faudrait donc introduire une extension u∗ <strong>de</strong> u autour <strong>de</strong><br />
L, c’est-à-dire un champ vectoriel défini sur un ouvert qui contient L et qui vérifie<br />
u α ∗ (X β (τ)) = u α (τ). (4.55)<br />
La contraction avec u ν dans (4.54) fait que le résultat est indépendant du choix <strong>de</strong> l’extension<br />
u∗. En effet, en dérivant (4.55) par rapport à τ, il vient<br />
c’est-à-dire, au vu <strong>de</strong> (4.50),<br />
En reportant dans (4.54), on obtient<br />
∂u α ∗<br />
∂x ν<br />
dX ν<br />
dτ<br />
c u ν ∂uα ∗<br />
duα<br />
= , (4.56)<br />
dτ<br />
duα<br />
= . (4.57)<br />
∂xν dτ<br />
1 du<br />
c<br />
α<br />
dτ + γα µνu µ u ν = 0. (4.58)<br />
En comparant les Eqs. (4.49) et (4.58), on conclut immédiatement que pour que la<br />
connexion ∇ assure le transport parallèle <strong>de</strong>s vecteurs tangents aux géodésiques <strong>de</strong> (E , g),<br />
il faut, et il suffit, que les coefficients <strong>de</strong> connexion relatifs à n’importe quelle base naturelle<br />
soient égaux aux symboles <strong>de</strong> Christoffel <strong>de</strong> la métrique g par rapport aux coordonnées<br />
définissant ladite base naturelle :<br />
γ α µν = Γ α µν . (4.59)<br />
Puisque nous avons vu au § 4.2.2 que les coefficients <strong>de</strong> connexion γ α µν définissent entièrement<br />
∇, la condition (4.59) fixe entièrement la connexion ∇. C’est l’unique connexion sur<br />
l’espace-temps (E , g) que nous utiliserons désormais. Elle est parfois appelée<br />
connexion riemannienne ou encore connexion <strong>de</strong> Levi-Civita, ou connexion <strong>de</strong> Christoffel.<br />
Une propriété importante <strong>de</strong> la connexion riemannienne est que les coefficients <strong>de</strong><br />
connexion sont symétriques dans les <strong>de</strong>ux indices du bas, puisque les symboles <strong>de</strong> Christoffel<br />
le sont, ainsi qu’il est clair sur l’expression (4.51). Une conséquence importante est<br />
la suivante. Considérons la dérivée covariante du gradient d’un champ scalaire f ; elle<br />
s’obtient via la formule (4.40) :<br />
∇β∇αf = ∂<br />
∂x β ∇αf − Γ σ αβ ∇σf<br />
= ∂2 f<br />
∂x β x α − Γσ αβ<br />
Ainsi, puisque les dérivées partielles commutent et que Γ σ αβ<br />
∂f<br />
. (4.60)<br />
∂xσ est symétrique en αβ, il vient<br />
∇β∇αf = ∇α∇βf . (4.61)
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