Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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4.2 Dérivation covariante (connexion) 97<br />
Cela définit bien une connexion sur E : au vu <strong>de</strong> (4.39), il s’agit <strong>de</strong> la connexion dont<br />
tous les coefficients γ µ<br />
αβ par rapport à la base naturelle ( ∂α) sont i<strong>de</strong>ntiquement nuls. Il<br />
est difficile <strong>de</strong> faire plus simple !<br />
Cependant la connexion ainsi définie souffre <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux inconvénients majeurs :<br />
• elle dépend clairement du choix <strong>de</strong>s coordonnées (xα ) ;<br />
• elle peut avoir un comportement non satisfaisant, comme le montre l’exemple ci<strong>de</strong>ssous.<br />
Exemple : Prenons E = R 4 et un système <strong>de</strong> coordonnées sphériques (x α ) = (ct, r, θ, ϕ).<br />
Considérons le champ vectoriel suivant<br />
v := ∂x, (4.42)<br />
où ∂x est le vecteur <strong>de</strong> la base naturelle <strong>de</strong>s coordonnées cartésiennes (ct, x, y, z) liées<br />
aux coordonnées sphériques via les formules habituelles [cf. (2.21) et Fig. 2.5]. Les<br />
composantes cartésiennes <strong>de</strong> v sont (0, 1, 0, 0) et v est un champ vectoriel sur R 4 que<br />
l’on a envie <strong>de</strong> qualifier <strong>de</strong> constant. Les composantes sphériques <strong>de</strong> v s’obtiennent<br />
en inversant le système (2.25), (2.28) et (2.29) ; il vient :<br />
∂x = sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin ϕ<br />
∂r + ∂θ −<br />
r r sin θ ∂ϕ (4.43)<br />
∂y = sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ<br />
∂r + ∂θ +<br />
r r sin θ ∂ϕ (4.44)<br />
∂z = cos θ sin θ<br />
∂r − ∂θ.<br />
r<br />
(4.45)<br />
Les composantes <strong>de</strong> v par rapport aux coordonnées sphériques (xα ) = (ct, r, θ, ϕ) se<br />
lisent sur (4.43) :<br />
v α <br />
<br />
cos θ cos ϕ sin ϕ<br />
= 0, sin θ cos ϕ, , − . (4.46)<br />
r r sin θ<br />
On a donc, en particulier,<br />
∂vα = 0 pour α = 1, 2, 3 et β = 2, 3. (4.47)<br />
∂xβ On en conclut que pour la connexion définie par (4.41),<br />
∇v = 0, (4.48)<br />
ce qui ne correspond pas du tout au comportement que l’on attend pour un champ<br />
vectoriel constant !<br />
La solution<br />
La “bonne” définition <strong>de</strong> la connexion pour la physique passe par la prise en compte<br />
du tenseur métrique g, que nous n’avons pas encore utilisé. Pour ce faire, considérons