Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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96 Équation d’Einstein formes linéaires par p vecteurs. Ainsi, pour tout champ tensoriel T de type p (p ≥ 0, q q ≥ 0) 3 , la dérivée covariante de T par rapport à la connexion ∇ est un champ tensoriel ∇T de type p q+1 composantes T α1...αp β1...βq et les composantes ∇ρT α1...αp β1...βq . Étant donnée une base vectorielle (eα) et sa base duale (e α ), les du tenseur T sont définies par T = T α1...αp β1...βq eα1 ⊗ . . . ⊗ eαp ⊗ e β1 ⊗ . . . ⊗ e βq , (4.36) de ∇T par ∇T = ∇ρ T α1...αp β1...βq eα1 ⊗ . . . ⊗ eαp ⊗ e β1 ⊗ . . . ⊗ e βq ⊗ e ρ . (4.37) En utilisant la règle de Leibniz et (4.29), il est facile de voir que les composantes de ∇T s’expriment en fonction de celles de T à l’aide des coefficients de connexion, suivant ∇ρ T α1...αp β1...βq α1...αp = eρ(T ) + β1...βq p r=1 γ αr σρ T α1... r ↓ σ ...αp β1...βq − q r=1 γ σ βrρ T α1...αp β1... σ ...βq ↑r . (4.38) Si (eα) est une base naturelle, associée à des coordonnées (x α ), alors eρ = ∂ρ et l’équation ci-dessus s’écrit ∇ρ T α1...αp β1...βq ∂ α1...αp = T ∂xρ β1...βq + p r=1 γ αr σρ T α1... r ↓ σ ...αp β1...βq − q r=1 γ σ βrρ T α1...αp β1... σ ...βq ↑r . (4.39) En particulier, pour un vecteur (p = 1, q = 0), on retrouve (4.32) et pour une forme linéaire (p = 0, q = 1), on obtient ∇βωα = ∂ωα ∂x β − γσ αβ ωσ . (4.40) Remarque : Notons le signe − dans (4.40), par opposition au signe + dans (4.32). C’est, avec la position de l’indice de dérivation β dans γσ αβ , la seule chose à retenir, car il n’y a ensuite pas d’ambiguïté pour placer les autres indices. 4.2.4 Connexion compatible avec la métrique Une première tentative... Pour rejoindre le champ de la physique, il s’agit maintenant de fixer une unique connexion sur la variété d’espace-temps E . Une première idée serait de choisir pour ∇ tout simplement la dérivée partielle des composantes par rapport à un système de coordonnées (x α ) donné : ∇ρ T α1...αp β1...βq ∂ α1...αp = T . (4.41) ∂xρ β1...βq 3 rappelons que par convention, les champs scalaires sont des champs tensoriels de type 0 0
4.2 Dérivation covariante (connexion) 97 Cela définit bien une connexion sur E : au vu de (4.39), il s’agit de la connexion dont tous les coefficients γ µ αβ par rapport à la base naturelle ( ∂α) sont identiquement nuls. Il est difficile de faire plus simple ! Cependant la connexion ainsi définie souffre de deux inconvénients majeurs : • elle dépend clairement du choix des coordonnées (xα ) ; • elle peut avoir un comportement non satisfaisant, comme le montre l’exemple cidessous. Exemple : Prenons E = R 4 et un système de coordonnées sphériques (x α ) = (ct, r, θ, ϕ). Considérons le champ vectoriel suivant v := ∂x, (4.42) où ∂x est le vecteur de la base naturelle des coordonnées cartésiennes (ct, x, y, z) liées aux coordonnées sphériques via les formules habituelles [cf. (2.21) et Fig. 2.5]. Les composantes cartésiennes de v sont (0, 1, 0, 0) et v est un champ vectoriel sur R 4 que l’on a envie de qualifier de constant. Les composantes sphériques de v s’obtiennent en inversant le système (2.25), (2.28) et (2.29) ; il vient : ∂x = sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin ϕ ∂r + ∂θ − r r sin θ ∂ϕ (4.43) ∂y = sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ ∂r + ∂θ + r r sin θ ∂ϕ (4.44) ∂z = cos θ sin θ ∂r − ∂θ. r (4.45) Les composantes de v par rapport aux coordonnées sphériques (xα ) = (ct, r, θ, ϕ) se lisent sur (4.43) : v α cos θ cos ϕ sin ϕ = 0, sin θ cos ϕ, , − . (4.46) r r sin θ On a donc, en particulier, ∂vα = 0 pour α = 1, 2, 3 et β = 2, 3. (4.47) ∂xβ On en conclut que pour la connexion définie par (4.41), ∇v = 0, (4.48) ce qui ne correspond pas du tout au comportement que l’on attend pour un champ vectoriel constant ! La solution La “bonne” définition de la connexion pour la physique passe par la prise en compte du tenseur métrique g, que nous n’avons pas encore utilisé. Pour ce faire, considérons
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