Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.2 Dérivation covariante (connexion) 95
vecteur eβ sur le champ scalaire v α (définition des vecteurs). En utilisant l’Eq. (4.28), on
conclut que
∇βv α = eβ(v α ) + γ α µβ v µ . (4.31)
Dans le cas où (eα) est une base naturelle, associée à des coordonnées (x α ), alors eβ = ∂β
et l’équation ci-dessus s’écrit
∇βv α = ∂vα
∂x β + γα µβ v µ . (4.32)
L’Eq. (4.31) ou (4.32) montre que, comme annoncé, la donnée des 64 coefficients γ µ
αβ
détermine complètement la connexion ∇. Cela montre aussi qu’il existe sur E une infinité
de connexions possibles : une pour chaque choix de 64 champs scalaires (différentiables)
γ µ
αβ . Nous verrons comment fixer cette ambiguïté en faisant intervenir le tenseur métrique
g au § 4.2.4.
Remarque : Les 64 coefficients de connexion γ µ
tenseur de type 1
. 2
4.2.3 Extension à tous les tenseurs
αβ
ne sont pas les composantes d’un
On peut étendre facilement l’action d’une connexion aux champs de formes linéaires,
en demandant que ∇ satisfasse à la règle de Leibniz si on l’applique à 〈ω, v〉 considéré
comme la somme des produits ωαv α (où ω et v sont respectivement un champ de formes
linéaires et un champ vectoriel). Autrement dit, on demande que
c’est-à-dire
∇β(ωαv α ) = ∇βωα v α + ωα∇βv α , (4.33)
∇βωα v α = ∇β(ωαv α ) − ωα∇βv α . (4.34)
On définit donc ∇ω comme le tenseur de type 0
(c’est-à-dire une forme bilinéaire) qui
2
agit sur les couples de vecteurs (v, u) de la manière suivante :
∇ω(v, u) := 〈∇〈ω, v〉, u〉 − ∇v(ω, u). (4.35)
Il est à noter que toutes les expressions qui interviennent dans le membre de droite ont été
définies précédemment : ∇〈ω, v〉 est le gradient du champ scalaire 〈ω, v〉 et ∇v(ω, u)
désigne l’action du tenseur ∇v de type 1
sur le couple (ω, u), telle que définie par
1
l’Eq. (4.22).
Par ailleurs, on définit l’action de n’importe quelle connexion sur un champ scalaire
comme se réduisant au gradient. Cela explique pourquoi nous avons utilisé la même notation
∇ pour le gradient des champs scalaires et pour les connexions.
Plus généralement on définit l’action d’une connexion sur les tenseurs de type quelconque
en appliquant la règle de Leibniz aux produits tensoriels [cf. (4.23)], car on peut
toujours décomposer un tenseur de type en une somme de produits tensoriels de q
p
q