Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
94 Équation d’Einstein<br />
Remarque : Il convient <strong>de</strong> faire attention à l’ordre <strong>de</strong>s indices dans la formule ci-<strong>de</strong>ssus.<br />
Pour un tenseur <strong>de</strong> type 1<br />
α quelconque, T , les composantes T 1<br />
β dans la base eα⊗e β<br />
sont définies par<br />
T = T α β eα ⊗ e β . (4.25)<br />
On a donc, pour T = ∇v, (∇v) α β = ∇βv α . L’ordre <strong>de</strong>s indices α et β dans l’écriture<br />
∇βv α est donc inversé par rapport à l’ordre naturel d’écriture <strong>de</strong>s composantes. De<br />
ce point <strong>de</strong> vue, la notation “point-virgule”<br />
v α ;β := ∇βv α<br />
utilisée par <strong>de</strong> nombreux auteurs est plus adaptée.<br />
(4.26)<br />
Les composantes du vecteur ∇u v dans la base (eα) se déduisent facilement <strong>de</strong> celle<br />
du tenseur ∇v, puisque l’on a<br />
(∇u v) α = 〈e α , ∇u v〉 = ∇v(e α , u) = u β ∇v(e α , eβ) = u β ∇βv α . (4.27)<br />
La première égalité découle <strong>de</strong> la définition <strong>de</strong> (e α ) comme base duale <strong>de</strong> (eα) [cf. (4.7)],<br />
la <strong>de</strong>uxième <strong>de</strong> la définition (4.22) <strong>de</strong> ∇v, la troisième <strong>de</strong> la linéarité du tenseur ∇v par<br />
rapport à son <strong>de</strong>uxième argument et la quatrième <strong>de</strong> la définition (4.24) <strong>de</strong>s composantes<br />
<strong>de</strong> ∇v. On a donc<br />
∇u v = u β ∇βv α eα . (4.28)<br />
Considérons un champ <strong>de</strong> bases vectorielles (eα) sur E , c’est-à-dire la donnée d’une<br />
base vectorielle (eα(P )) <strong>de</strong> l’espace tangent TP (E ) en chaque point P ∈ E . Le champ (eα)<br />
est également appelé tétra<strong>de</strong> ou repère mobile. Par définition <strong>de</strong> la connexion, pour toute<br />
paire (α, β), ∇eβ eα est un champ vectoriel sur E [cf. (4.15)]. On peut donc le décomposer<br />
sur la base (eµ) :<br />
∇eβ eα =: γ µ<br />
αβ eµ . (4.29)<br />
Les coefficients γ µ<br />
αβ constituent un ensemble <strong>de</strong> 43 = 64 champs scalaires sur E . Ils<br />
sont appelés coefficients <strong>de</strong> la connexion ∇ par rapport à la base (eα). Montrons qu’ils<br />
déterminent complètement ∇ : on a<br />
∇uv = ∇u(v α eα)<br />
= 〈∇v α , u〉eα + v α ∇u eα<br />
= u β 〈∇v α , eβ〉eα + v α u β ∇eβ eα<br />
= u β 〈∇v α , eβ〉eα + v α u β γ µ<br />
αβ eµ<br />
= u β eβ(v α ) + γ α µβ v µ eα, (4.30)<br />
où pour obtenir la secon<strong>de</strong> ligne, on a utilisé la propriété 4 <strong>de</strong> la connexion (considérant<br />
chaque composante v α comme un champ scalaire sur E ), pour la troisième ligne, on a<br />
utilisé la propriété 3, pour la quatrième ligne la décomposition (4.29), et pour la <strong>de</strong>rnière<br />
ligne l’Eq. (4.4) pour écrire 〈∇v α , eβ〉 = eβ(v α ), ce <strong>de</strong>rnier terme représentant l’action du