Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.2 Dérivation covariante (connexion) 93
Tout opérateur ∇ agissant sur les paires de champs vectoriels (u, v) suivant les règles 1
à 4 ci-dessus est appelé une connexion affine (ou simplement connexion) sur la variété
E . On l’appelle également une dérivation covariante sur E On dit alors que ∇u v est la
dérivée covariante du champ vectoriel v le long du vecteur u. Le terme connexion vient
de ce que ∇ connecte des espaces vectoriels tangents infiniment voisin, TP (E ) et TP ′(E )
en définissant la variation du champ vectoriel v lorsque l’on passe de P à P ′ par
δv := ∇−→ dP v , (4.20)
où −→
dP désigne le vecteur déplacement infinitésimal de P à P ′ . On dit alors que v
est transporté parallèlement à lui-même pour la connexion ∇ lors du déplacement −→
dP
ssi
δv = 0. (4.21)
Les propriétés 1 à 4 ci-dessus ne garantissent aucunement l’unicité d’une connexion ∇
sur une variété E donnée. Au contraire, nous verrons plus bas qu’il existe une infinité de
connexions. Autrement dit, la structure de variété seule donne toute liberté pour choisir
la façon dont on connecte les différents espaces vectoriels tangents TP (E ). Par contre,
nous verrons au § 4.2.4 que la prise en compte du tenseur métrique g conduit à un choix
naturel unique pour ∇.
Pour l’instant considérons une connexion quelconque ∇. Si l’on fixe le champ vectoriel
v, en tout point P ∈ E , on peut considérer l’opérateur ∇v(P ) qui associe à toute forme
linéaire (élément de l’espace vectoriel dual TP (E ) ∗ ) et à tout vecteur (élément de l’espace
vectoriel tangent en P , TP (E )) un nombre réel suivant
∇v(P ) : TP (E ) ∗ × TP (E ) −→ R
(ω, u) ↦−→ 〈ω, ∇uc v(P )〉
, (4.22)
où uc est un champ vectoriel qui réalise une extension du vecteur u au voisinage de
P : uc(P ) = u. L’application (4.22) est bien définie car la propriété 3 de la connexion
énoncée ci-dessus assure que le vecteur ∇uc v(P ) ne dépend pas du choix de l’extension
uc. De plus, en vertu des propriétés 2 et 3 de la connexion, et de la linéarité des formes
linéaires, ∇v(P ) est une application linéaire par rapport à chacun de ses arguments. Elle
satisfait donc à la définition d’un tenseur au point P donnée au § 2.2.4. Étant donnés ses
arguments, il s’agit d’un tenseur de type 1
. En variant P , on obtient un champ tensoriel
1
∇v sur E . On l’appelle dérivée covariante de v par rapport à la connexion ∇.
Étant donnée une base vectorielle eα de TP (E ) et la base duale (e α ) associée (base de
TP (E ) ∗ ), une base de l’espace vectoriel formé par l’ensemble des tenseurs de type 1
est 1
constituée par les produits tensoriels eα ⊗ eβ . Ces derniers sont définis comme
eα ⊗ e β : TP (E ) ∗ × TP (E ) −→ R
(ω, u) ↦−→ 〈ω, eα〉〈e β , u〉
, (4.23)
où le produit de 〈ω, eα〉 par 〈e β , u〉 dans le membre de droite n’est autre que la multiplication
ordinaire dans R. On désigne alors par ∇βv α les composantes du tenseur ∇v dans
cette base :
∇v =: ∇βv α eα ⊗ e β . (4.24)