Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

92 Équation d’Einstein
4.2.2 Dérivation covariante d’un vecteur
Revenons à présent au cas d’un champ vectoriel v sur E . Nous aimerions faire correspondre
au vecteur déplacement élémentaire −→
dP la variation de v entre P et P ′ par une
formule similaire à la formule (4.3) utilisée pour un champ scalaire
δv = ∇v( −→
dP ), (4.14)
où ∇v serait un opérateur agissant sur −→
dP . La différence majeure est que, comme remarqué
plus haut, la quantité δv ne peut pas être définie comme v(P ′ ) − v(P ) puisque
les vecteurs v(P ′ ) et v(P ) n’appartiennent pas au même espace vectoriel : v(P ′ ) ∈ TP ′(E )
et v(P ) ∈ TP (E ). Au contraire, pour un champ scalaire f, la quantité δf est bien définie
comme la différence entre deux nombres réels : f(P ′ ) et f(P ).
La solution à ce problème consiste à inverser le point de vue et à considérer l’écriture
(4.14) comme la définition de δv en tant que vecteur de TP (E ) résultant de l’application
d’un opérateur donné ∇v agissant sur −→
dP ∈ TP (E ). Plus précisément, en élargissant
aux vecteurs non-infinitésimaux u ∈ TP (E ) et en utilisant la notation ∇u v plutôt que
∇v(u), on suppose que l’on dispose d’un opérateur
∇ : T (E ) × T (E ) −→ T (E )
(u, v) ↦−→ ∇u v
(4.15)
(T (E ) désignant l’ensemble des champs vectoriels sur E ) qui possède les propriétés que
l’on est en droit d’attendre pour un opérateur de dérivation :
1. La dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
∀(u, v, w) ∈ T (E ) 3 , ∇u (v + w) = ∇u v + ∇u w. (4.16)
2. La dérivée le long d’un vecteur somme de deux autres est égale à la somme des deux
dérivées :
∀(a, b, v) ∈ T (E ) 3 , ∇ a+ b v = ∇a v + ∇ b v. (4.17)
3. En un point P ∈ E donné, la valeur du vecteur ∇u v(P ) ne dépend que de la
valeur de u en ce point et non de comment varie le champ u au voisinage de P . On
assure cette propriété en demandant que pour tout champ scalaire f et tous champs
vectoriels u et v,
∇f u v = f∇u v. (4.18)
En effet, si (eα) est un champ de bases vectorielles au voisinage de P , tout champ
vectoriel u ′ qui coïncide avec u en P peut s’écrire u ′ = u + f α eα où les f α sont
quatre champs scalaires tels que f α (P ) = 0. L’application des règles (4.17) et (4.18)
conduit alors à ∇ u ′ v = ∇u v + f α ∇eα v, d’où ∇ u ′ v(P ) = ∇u v(P ).
4. Pour tout champ scalaire f et tous champs vectoriels u et v, on a la règle de Leibniz 2
∇u (fv) = 〈∇f, u〉 v + f∇u v. (4.19)
2 le premier terme du membre de droite est le gradient du champ scalaire f agissant sur le vecteur u,
tel que défini plus haut ; on utilise la même notation ∇ que pour l’opérateur vectoriel discuté ici