Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

4.2 Dérivation covariante (connexion) 91
Remarque : On prendra soin de remarquer que le gradient d’un champ scalaire est une
forme linéaire et non un vecteur. En physique non relativiste, on considère le gradient
comme un vecteur parce que l’on fait implicitement correspondre à toute forme
linéaire ω un unique vecteur ω via le produit scalaire de l’espace euclidien R 3 suivant
si bien que l’on écrit (4.3) comme
∀v ∈ R 3 , 〈ω, v〉 = ω · v, (4.5)
δf = ∇f ·
dP . (4.6)
Mais fondamentalement, le gradient est une forme linéaire.
Étant donnée une base vectorielle (eα) de TP (E ), il existe une unique base de l’espace
des formes linéaires TP (E ) ∗ (espace dual), que nous noterons (e α ), qui vérifie
〈e α , eβ〉 = δ α β. (4.7)
On l’appelle la base duale à la base vectorielle (eα). Le gradient ∇f d’un champ scalaire
f étant un élément de TP (E ) ∗ , on désigne par ∇αf ses composantes par rapport à la base
duale :
∇f =: ∇αf e α . (4.8)
Dans le cas où la base vectorielle est une base naturelle, c’est-à-dire liée à un système de
coordonnées (x α ) : eα = ∂α, la base duale est constituée par les gradients des coordonnées,
que nous noterons avec le symbole d :
dx α := ∇x α . (4.9)
En effet, en utilisant successivement la définition (4.4) et (2.14), il vient 〈dx α , ∂β〉 =
∂β(x α ) = ∂x α /∂x β , d’où
On a alors dans ce cas
〈dx α , ∂β〉 = δ α β . (4.10)
〈∇f, ∂α〉 = 〈∇βf dx β , ∂α〉 = ∇βf〈dx β , ∂α〉 = ∇βfδ α β = ∇αf. (4.11)
Par ailleurs, d’après (4.4) et (2.14),
〈∇f, ∂α〉 = ∂α(f) = ∂f
. (4.12)
∂xα On en conclut que les composantes du gradient dans la base duale (dx α ) sont tout simplement
les dérivées partielles par rapport aux coordonnées (x α ) :
∇αf = ∂f
. (4.13)
∂xα