Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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90 Équation d’Einstein<br />
4.2 Dérivation covariante (connexion)<br />
Nous avons vu au Chap. 2 que sur la variété d’espace-temps E , il y a autant d’espaces<br />
vectoriels tangents TP (E ) que <strong>de</strong> points P dans E (cf. Fig. 2.4). La question se pose alors<br />
<strong>de</strong> comparer <strong>de</strong>s vecteurs définis en <strong>de</strong>s points différents. Par exemple, étant donné un<br />
champ vectoriel v sur E , c’est-à-dire la donnée d’un vecteur v(P ) ∈ TP (E ) en tout point<br />
P <strong>de</strong> E , nous aimerions définir son “gradient” en évaluant v(P ′ )−v(P ) pour <strong>de</strong>s points P<br />
et P ′ infiniment voisins. Or v(P ′ ) et v(P ) appartenant à <strong>de</strong>s espaces vectoriels différents<br />
— les espaces tangents TP ′(E ) et TP (E ) respectivement — la soustraction v(P ′ ) − v(P )<br />
n’est pas bien définie a priori. La situation est plus simple pour un champ scalaire f :<br />
E → R, puisque la différence f(P ′ ) − f(P ) entre les <strong>de</strong>ux nombres réels f(P ′ ) et f(P ) est<br />
évi<strong>de</strong>mment bien définie. Commençons donc par examiner ce cas pour trouver l’inspiration<br />
pour le cas vectoriel.<br />
4.2.1 Gradient d’un champ scalaire<br />
Considérons un champ scalaire f : E → R. Nous avons vu au § 2.2.3 que l’on pouvait<br />
définir le vecteur déplacement élémentaire −→<br />
dP entre <strong>de</strong>ux points <strong>de</strong> E P et P ′ infiniment<br />
proches. Ce vecteur est un élément <strong>de</strong> TP (E ) qui vérifie [cf. Eq. (2.35)]<br />
δf := f(P ′ ) − f(P ) = −→<br />
dP (f). (4.1)<br />
Plutôt que <strong>de</strong> considérer δf comme le résultat du vecteur −→<br />
dP agissant sur le champ<br />
scalaire f, voyons-le comme le résultat d’un opérateur lié à f, que nous noterons ∇f,<br />
agissant sur le vecteur −→<br />
dP . Autrement dit posons<br />
<strong>de</strong> sorte que (4.1) s’écrit<br />
〈∇f, −→<br />
dP 〉 := −→<br />
dP (f) , (4.2)<br />
δf = 〈∇f, −→<br />
dP 〉 (4.3)<br />
On peut étendre la définition <strong>de</strong> ∇f aux vecteurs non-infinitésimaux en posant, pour tout<br />
champ vectoriel v ( 1 )<br />
〈∇f, v〉 := v(f). (4.4)<br />
Il est clair que, <strong>de</strong> par sa définition, ∇f est un opérateur linéaire. Le résultat 〈∇f, v〉<br />
étant en tout point P un nombre réel, nous en déduisons que ∇f est un champ <strong>de</strong> formes<br />
linéaires, ou encore un champ tensoriel 1-fois covariant, ou encore un champ tensoriel<br />
<strong>de</strong> type 0<br />
(cf. § 2.2.4). Cela justifie la notation bra-ket, car elle est conforme à celle<br />
1<br />
que nous avons introduite au § 2.2.4 pour les formes linéaires. La forme linéaire ∇f est<br />
appelée gradient <strong>de</strong> f.<br />
1 Rappelons que le membre <strong>de</strong> droite <strong>de</strong> la formule (4.4) n’est autre que l’expression <strong>de</strong> la définition<br />
première <strong>de</strong>s vecteurs sur une variété comme <strong>de</strong>s opérateurs <strong>de</strong> dérivation directionnelle agissant sur les<br />
champs scalaires (cf. § 2.2.3).