Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

Chapitre 4
Équation d’Einstein
Sommaire
version 2007-2008
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Dérivation covariante (connexion) . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Tenseur énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5 Équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . 111
4.1 Introduction
L’équation d’Einstein est l’équation fondamentale de la relativité générale : c’est elle
qui détermine le tenseur métrique g en fonction du contenu en énergie-impulsion de
l’espace-temps. A la limite newtonienne, elle se réduit à l’équation de Poisson ∆Φ = 4πGρ,
reliant le potentiel gravitationnel Φ à la densité de masse ρ. Avant de l’aborder, il nous
faut quelques compléments de géométrie par rapport à ce qui a été introduit au Chap. 2, à
savoir la notion de dérivation covariante et de courbure. Il nous faudra également quelques
compléments de physique, pour aller au delà de la description de la matière par des “particules
matérielles” utilisée dans les Chap. 2 et 3. Nous allons en effet introduire une
description continue de la matière, basée sur un champ tensoriel que l’on appelle le tenseur
énergie-impulsion. Ce traitement permet notamment de prendre en compte le cas
astrophysiquement très important d’un fluide. Avec ces deux outils, courbure d’une part,
et tenseur énergie-impulsion d’autre part, nous serons alors en mesure d’écrire l’équation
d’Einstein.