Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

More documents

Recommendations

Info

86 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) Comme en tout point du faisceau, RS ≪ r, on peut effectuer un développement limité à l’ordre un en RS/r et RS/r0 : dt ±1 1 + dr c RS 1 − r r2 0 r2 1 − RS −1/2 RS + r r0 ± 1 1 + c RS 1 − r r2 0 r2 −1/2 1 + (r0/r) 2 (RS/r − RS/r0) 1 − (r0/r) 2 −1/2 ± 1 1 + c RS 1 − r r2 0 r2 −1/2 1 − RS −1/2 r0 r r + r0 ± 1 1 + c RS 1 − r r2 0 r2 −1/2 1 + 1 RS r0 2 r r + r0 ± 1 1 − c r2 0 r2 −1/2 1 + RS 1 RS r0 + r 2 r r + r0 dt r ±1 1 + dr c r2 2 − r0 RS 1 RS r0 + . (3.185) r 2 r r + r0 Le temps d’aller-retour du faisceau radio est T = 2t(r⊕, r0) + 2t(r∗, r0), (3.186) où r⊕ est la coordonnée r de la Terre et r∗ celle de la sonde spatiale (cf. Fig. 3.9) et t(r⊕, r0) s’obtient en intégrant (3.185) : t(r⊕, r0) := 1 r⊕ r 1 + c r0 r2 2 − r0 RS 1 RS r0 + dr. (3.187) r 2 r r + r0 t(r∗, r0) est défini de la même manière que t(r⊕, r0), en remplaçant r⊕ par r∗. L’intégrale (3.187) se calcule facilement en développant l’intégrant : t(r⊕, r0) = 1 r⊕ r RS RSr0 + + c r0 r2 2 − r0 r2 2 − r 2(r − r0) 0 1/2 (r + r0) 3/2 dr, (3.188) avec les primitives suivantes : r dr = r r2 2 − r0 2 − r2 0 (3.189) dr r r r = argcosh = ln + r2 2 − r r0 r0 0 2 r2 − 1 (3.190) 0 r0 (r − r0) 1/2 r − r0 dr = . (3.191) (r + r0) 3/2 r + r0 On a donc, en remplaçant RS par 2GM/c 2 (M étant la masse du Soleil), t(r⊕, r0) = 1 c r2 ⊕ − r2 0 + 2GM c2 ln r⊕ r0 + r2 ⊕ r2 − 1 0 + GM c 2 r⊕ − r0 r⊕ + r0 . (3.192)
3.6 Trajectoires des photons 87 Le premier terme dans cette expression est celui que donnerait la théorie newtonienne (cf. Fig. 3.9). Écrivons la durée d’aller-retour du faisceau radio comme où T = Tnewt + ∆T, (3.193) Tnewt = 2 r c 2 ⊕ − r2 0 + r2 ∗ − r2 0 est la durée que prédirait la physique newtonienne. D’après (3.186) et (3.192), ∆T = 2GM c 3 2 ln On constate que l’on a toujours (r⊕ + r2 ⊕ − r2 0)(r∗ + r2 ∗ − r2 0) r2 r⊕ − r0 + + 0 r⊕ + r0 r∗ − r0 r∗ + r0 (3.194) . (3.195) ∆T > 0. (3.196) Il s’agit donc d’un retard par rapport à la prédiction newtonienne, appelé retard de la lumière, ou encore retard Shapiro, du nom de l’astrophysicien américain Irwin Shapiro qui a proposé de mesurer cet effet en 1964. En pratique, on a r0 ≪ r⊕ et r0 ≪ r∗, si bien que la formule ci-dessus se réduit à ∆T 4GM c 3 4r⊕r∗ ln r 2 0 + 1 . (3.197) Pour une sonde sur Mars, ce retard est au maximum d’environ 0.24 ms. Grâce à la sonde Cassini, on a pu montrer en 2003 que le retard de la lumière est en accord avec la relativité générale (c’est-à-dire avec la formule (3.197)) à 2 × 10 −5 près [21, 40]. Remarque : Dans ce chapitre, nous avons calculé de nombreuses géodésiques (géodésiques lumière radiales et non radiales, géodésiques du genre temps) sans jamais utiliser l’équation des géodésiques dérivée au Chap. 2 [Eq. (2.133) ou (2.140)]. Nous avons en effet tiré parti des symétries de l’espace-temps de Schwarzschild qui fournissent des intégrales premières de l’équation des géodésiques en nombre suffisant pour résoudre complètement le problème.
Page 1:
Observatoire de Paris, Universités
Page 4 and 5:
4 TABLE DES MATIÈRES 2.6.2 Équati
Page 6 and 7:
6 TABLE DES MATIÈRES 6.4.1 Équati
Page 8 and 9:
8 TABLE DES MATIÈRES
Page 10 and 11:
10 Introduction purement newtonienn
Page 12 and 13:
12 Introduction
Page 14 and 15:
14 Cadre géométrique Fig. 2.1 - V
Page 16 and 17:
16 Cadre géométrique 2.2.3 Courbe
Page 18 and 19:
18 Cadre géométrique Fig. 2.4 - E
Page 20 and 21:
20 Cadre géométrique x e x z e z
Page 22 and 23:
22 Cadre géométrique Remarque : L
Page 24 and 25:
24 Cadre géométrique • de signa
Page 26 and 27:
26 Cadre géométrique 2.3.3 Bases
Page 28 and 29:
28 Cadre géométrique Fig. 2.6 - 4
Page 30 and 31:
30 Cadre géométrique que l’on d
Page 32 and 33:
32 Cadre géométrique de signature
Page 34 and 35:
34 Cadre géométrique Fig. 2.10 -
Page 36 and 37: 36 Cadre géométrique Rappelons qu
Page 38 and 39: 38 Cadre géométrique Fig. 2.12 -
Page 40 and 41: 40 Cadre géométrique t 2 t’ 2 t
Page 46 and 47: 46 Cadre géométrique Les lignes d
Page 48 and 49: 48 Cadre géométrique où x0 0, x1
Page 50 and 51: 50 Cadre géométrique
Page 52 and 53: 52 Champ gravitationnel à symétri
Page 90 and 91: 90 Équation d’Einstein 4.2 Déri
Page 92 and 93: 92 Équation d’Einstein 4.2.2 Dé
Page 94 and 95: 94 Équation d’Einstein Remarque
Page 96 and 97: 96 Équation d’Einstein formes li
Page 98 and 99: 98 Équation d’Einstein les géod
Page 100 and 101: 100 Équation d’Einstein On dit a
Page 102 and 103: 102 Équation d’Einstein Si on ut
Page 104 and 105: 104 Équation d’Einstein Fig. 4.2
Page 106 and 107: 106 Équation d’Einstein 4.3.2 Pr
Page 108 and 109: 108 Équation d’Einstein • La c
Page 110 and 111: 110 Équation d’Einstein On retro
Page 112 and 113: 112 Équation d’Einstein On peut
Page 114 and 115: 114 Équation d’Einstein où K es
Page 116 and 117: 116 Équation d’Einstein l’Eq.
Page 118 and 119: 118 Équation d’Einstein
Page 120 and 121: 120 Trous noirs Laplace à la fin d
Page 122 and 123: 122 Trous noirs Fig. 5.1 - Espace-t
Page 124 and 125: 124 Trous noirs La première soluti
Page 126 and 127: 126 Trous noirs Fig. 5.3 - Diagramm
Page 128 and 129: 128 Trous noirs 5.5.2 Théorème d
Page 130 and 131: 130 Trous noirs Fig. 5.4. Il est à
Page 132 and 133: 132 Trous noirs Fig. 5.5 - Satellit
Page 134 and 135: 134 Trous noirs On retombe donc dan
Page 136 and 137:
136 Trous noirs
Page 138 and 139:
138 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 140 and 141:
140 Ondes gravitationnelles Ainsi,
Page 142 and 143:
142 Ondes gravitationnelles où l
Page 144 and 145:
144 Ondes gravitationnelles On peut
Page 146 and 147:
146 Ondes gravitationnelles Chercho
Page 148 and 149:
148 Ondes gravitationnelles coordon
Page 150 and 151:
150 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 152 and 153:
152 Ondes gravitationnelles Remarqu
Page 154 and 155:
154 Ondes gravitationnelles Puisque
Page 156 and 157:
156 Ondes gravitationnelles On reco
Page 158 and 159:
158 Ondes gravitationnelles Si M es
Page 160 and 161:
160 Ondes gravitationnelles
Page 162 and 163:
162 Solutions cosmologiques 7.2 Sol
Page 164 and 165:
164 Solutions cosmologiques dans l
Page 166 and 167:
166 Relativité et GPS Fig. A.1 - C
Page 168 and 169:
168 Relativité et GPS donné par g
Page 170 and 171:
170 Relativité et GPS où la const
Page 172 and 173:
172 Relativité et GPS Il vient alo
Page 174 and 175:
174 Relativité et GPS
Page 176 and 177:
176 Problèmes l’ordre de grandeu
Page 178 and 179:
178 Problèmes avec v 2 1 := v1 ·
Page 180 and 181:
180 Problèmes B.4 Observateur acc
Page 182 and 183:
182 Problèmes sorte que l’inters
Page 184 and 185:
184 Problèmes 3.8 Calculer les sym
Page 186 and 187:
186 Problèmes B.6 Quadriaccéléra
Page 188 and 189:
188 Problèmes
Page 190 and 191:
190 Solutions des problèmes C.4 Ob
Page 192 and 193:
192 Solutions des problèmes a c t
Page 194 and 195:
194 Solutions des problèmes sont c
Page 196 and 197:
196 Solutions des problèmes − co
Page 198 and 199:
198 Solutions des problèmes d’o
Page 200 and 201:
200 Solutions des problèmes Au vu
Page 202 and 203:
202 Solutions des problèmes qui co
Page 204 and 205:
204 Solutions des problèmes La dé
Page 206 and 207:
206 BIBLIOGRAPHIE [13] N. Straumann
Page 208 and 209:
Index (GCRS), 168 (TAI), 170 (TT),
Page 210:
210 INDEX paramètres affines, 49 p
show all

Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?