Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
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84 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) La résolution de cette équation du troisième degré fournit rper en fonction du paramètre d’impact b et de la masse M du corps central (via RS). La variation totale de l’angle ϕ lors du trajet du photon est obtenue en intégrant l’Eq. (3.174) : ∆ϕ = − c’est-à-dire rper +∞ 1 r2 1 1 − b2 r2 1 − RS −1/2 +∞ 1 dr + r rper r2 1 1 − b2 r2 1 − RS −1/2 dr, r (3.176) +∞ 1 ∆ϕ = 2 r2 1 1 − b2 r2 1 − RS −1/2 dr . (3.177) r rper Considérons le cas d’un corps non compact, comme le Soleil. Le paramètre d’impact doit être supérieur au rayon de l’objet R : b > R. Comme R ≫ RS (objet non compact), on a alors nécessairement b ≫ RS et on peut effectuer un développement de l’intégrant dans (3.177) par rapport au petit paramètre RS/b. Le calcul, que nous ne détaillerons pas ici, conduit au résultat suivant : ∆ϕ π + 2RS . (3.178) b La déviation par rapport à un trajet en ligne droite, pour lequel ∆ϕ = π, est alors δϕ = 2RS b = 4GM c 2 b Dans le cas du Soleil, la déviation est maximale pour b = R⊙ et vaut . (3.179) δϕ⊙ = 1.75 ′′ . (3.180) Cette déviation a pu être mise en évidence en mesurant la position des étoiles au voisinage du disque solaire lors de l’éclipse de 1919 par Arthur Eddington et son équipe. Après l’avance du périhélie de Mercure, il s’agissait du second test passé avec succès par la relativité générale. C’est cet événement qui a rendu Albert Einstein célèbre auprès du grand public. Aujourd’hui, la déviation des rayons “lumineux” a pu être mesurée avec beaucoup plus de précision en considérant les signaux radio émis par des sources extragalactiques (quasars, AGN, etc...) : la prédiction de la relativité générale a été confirmée à mieux que 10 −3 près [34]. 3.6.4 Mirages gravitationnels La déviation des rayon lumineux est aujourd’hui très importante en cosmologie observationnelle, puisqu’elle est a l’origine du phénomène de mirage gravitationnel, encore appelé lentille gravitationnelle. Elle est alors utilisée non plus comme test de la gravitation, mais pour mesurer la masse M (cf. par exemple le Chap. 6 de [8]). Il est intéressant de remarquer que toute la théorie des mirages gravitationnels est basée sur la formule (3.179), du moins pour un déflecteur ponctuel. C’est le seul ingrédient de relativité générale utilisé dans le calcul des images.
3.6 Trajectoires des photons 85 Fig. 3.9 – Aller-retour d’un faisceau radio entre la Terre et une sonde spatiale (retard Shapiro). 3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro) Calculons le temps d’aller-retour d’un faisceau radio entre la Terre et une sonde spatiale lorsque le faisceau passe près du Soleil (cf. Fig. 3.9). En combinant (3.165) et (3.172), on obtient, le long de la géodésique lumière empruntée par le faisceau radio, dt dr dt dλ = × dλ dr soit, en remplaçant Ueff(r) par (3.161), dt dr 1 = ± 1 − cb RS −1 b−2 − Ueff(r) r −1/2 , (3.181) = ±1 1 − c RS −1 1 − r b2 r2 1 − RS −1/2 . (3.182) r On peut relier b à la distance minimale r0 du faisceau au Soleil : en effet, pour r = r0, dr/dt = 0, ce qui, au vu de (3.182), conduit à 1 − b2 r2 1 − 0 RS = 0 =⇒ b r0 2 = r 2 0 1 − RS −1 . (3.183) r0 En reportant cette valeur dans (3.182), il vient dt dr = ±1 1 − c RS −1 1 − r r2 0 r2 −1/2 1 − RS/r . (3.184) 1 − RS/r0
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- Page 48 and 49: 48 Cadre géométrique où x0 0, x1
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3.6 Trajectoires <strong>de</strong>s photons 85<br />
Fig. 3.9 – Aller-retour d’un faisceau radio entre la Terre et une son<strong>de</strong> spatiale (retard Shapiro).<br />
3.6.5 Retard <strong>de</strong> la lumière (effet Shapiro)<br />
Calculons le temps d’aller-retour d’un faisceau radio entre la Terre et une son<strong>de</strong> spatiale<br />
lorsque le faisceau passe près du Soleil (cf. Fig. 3.9). En combinant (3.165) et (3.172), on<br />
obtient, le long <strong>de</strong> la géodésique lumière empruntée par le faisceau radio,<br />
dt<br />
dr<br />
dt dλ<br />
= ×<br />
dλ dr<br />
soit, en remplaçant Ueff(r) par (3.161),<br />
dt<br />
dr<br />
<br />
1<br />
= ± 1 −<br />
cb<br />
RS<br />
−1 b−2 − Ueff(r)<br />
r<br />
−1/2 , (3.181)<br />
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= ±1 1 −<br />
c<br />
RS<br />
−1 <br />
1 −<br />
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b2<br />
r2 <br />
1 − RS<br />
−1/2 . (3.182)<br />
r<br />
On peut relier b à la distance minimale r0 du faisceau au Soleil : en effet, pour r = r0,<br />
dr/dt = 0, ce qui, au vu <strong>de</strong> (3.182), conduit à<br />
1 − b2<br />
r2 <br />
1 −<br />
0<br />
RS<br />
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= 0 =⇒ b<br />
r0<br />
2 = r 2 <br />
0 1 − RS<br />
−1 . (3.183)<br />
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En reportant cette valeur dans (3.182), il vient<br />
dt<br />
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<br />
= ±1 1 −<br />
c<br />
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−1 <br />
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