Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

84 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
La résolution de cette équation du troisième degré fournit rper en fonction du paramètre
d’impact b et de la masse M du corps central (via RS).
La variation totale de l’angle ϕ lors du trajet du photon est obtenue en intégrant
l’Eq. (3.174) :
∆ϕ = −
c’est-à-dire
rper
+∞
1
r2
1 1
−
b2 r2
1 − RS
−1/2 +∞
1
dr +
r
rper r2
1 1
−
b2 r2
1 − RS
−1/2 dr,
r
(3.176)
+∞
1
∆ϕ = 2
r2
1 1
−
b2 r2
1 − RS
−1/2 dr . (3.177)
r
rper
Considérons le cas d’un corps non compact, comme le Soleil. Le paramètre d’impact
doit être supérieur au rayon de l’objet R : b > R. Comme R ≫ RS (objet non compact),
on a alors nécessairement b ≫ RS et on peut effectuer un développement de l’intégrant
dans (3.177) par rapport au petit paramètre RS/b. Le calcul, que nous ne détaillerons pas
ici, conduit au résultat suivant :
∆ϕ π + 2RS
. (3.178)
b
La déviation par rapport à un trajet en ligne droite, pour lequel ∆ϕ = π, est alors
δϕ = 2RS
b
= 4GM
c 2 b
Dans le cas du Soleil, la déviation est maximale pour b = R⊙ et vaut
. (3.179)
δϕ⊙ = 1.75 ′′ . (3.180)
Cette déviation a pu être mise en évidence en mesurant la position des étoiles au voisinage
du disque solaire lors de l’éclipse de 1919 par Arthur Eddington et son équipe. Après
l’avance du périhélie de Mercure, il s’agissait du second test passé avec succès par la relativité
générale. C’est cet événement qui a rendu Albert Einstein célèbre auprès du grand
public. Aujourd’hui, la déviation des rayons “lumineux” a pu être mesurée avec beaucoup
plus de précision en considérant les signaux radio émis par des sources extragalactiques
(quasars, AGN, etc...) : la prédiction de la relativité générale a été confirmée à mieux que
10 −3 près [34].
3.6.4 Mirages gravitationnels
La déviation des rayon lumineux est aujourd’hui très importante en cosmologie observationnelle,
puisqu’elle est a l’origine du phénomène de mirage gravitationnel, encore
appelé lentille gravitationnelle. Elle est alors utilisée non plus comme test de la gravitation,
mais pour mesurer la masse M (cf. par exemple le Chap. 6 de [8]).
Il est intéressant de remarquer que toute la théorie des mirages gravitationnels est basée
sur la formule (3.179), du moins pour un déflecteur ponctuel. C’est le seul ingrédient de
relativité générale utilisé dans le calcul des images.