Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

3.6.2 Allure des trajectoires des photons
3.6 Trajectoires des photons 83
Le potentiel effectif Ueff est représenté sur la Fig. 3.8. Il n’a pas de minimum et un
unique maximum en
rcrit = 3
2 RS = 3GM
c2 , (3.169)
qui vaut
max Ueff = Ueff(rcrit) = 4
27 R 2 S
=
c4 27 G2 . (3.170)
M 2
Cet extremum correspond à une position d’équilibre pour r : il s’agit donc d’une orbite
circulaire pour les photons. Mais comme il s’agit d’un maximum et non d’un minimum
de Ueff, cette orbite est instable.
D’après la forme de l’Eq. (3.160), on voit que les photons en provenance de l’infini
avec un paramètre d’impact b tel que b −2 < max Ueff vont “rebondir” sur la barrière de
potentiel constituée par Ueff (cf. Fig. 3.8) : ils vont donc repartir vers l’infini. Par contre,
les photons pour lesquels b −2 > max Ueff (petit paramètre d’impact) “passent au dessus”
de la barrière de potentiel (ligne du haut sur la Fig. 3.8). Si le corps central est un trou
noir, ils sont alors irrémédiablement piégés. La valeur critique du paramètre d’impact, qui
vérifie b −2 = max Ueff est, d’après (3.170),
3.6.3 Déviation des rayons lumineux
bcrit = 3√ 3
2 RS . (3.171)
On tire de (3.160)
dr
dλ = ± b −2 − Ueff(r) 1/2 . (3.172)
En combinant avec (3.166), on élimine λ pour obtenir
dϕ
dr
1
= ±
r2 −2
b − Ueff(r) −1/2 . (3.173)
En remplaçant Ueff(r) par sa valeur (3.161), on obtient l’équation différentielle qui régit
la trajectoire des photons dans le plan θ = π/2 :
dϕ
dr
1
= ±
r2
1 1
−
b2 r2
1 − RS
−1/2 . (3.174)
r
Un photon qui arrive depuis l’infini avec un paramètre d’impact b > bcrit voit sa
valeur de r diminuer jusqu’au point rper où il “butte” sur la barrière de potentiel Ueff. Sa
valeur de r augmente ensuite lorsque le photon repart vers l’infini. Le minimum de r, rper
(périastre), est obtenu en faisant dr/dλ = 0 dans l’Eq. (3.172) ; il vient
1
b 2 r3 per − rper + RS = 0. (3.175)