Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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82 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild) 2 U eff R S 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 2 4 6 8 10 12 14 r / R S Fig. 3.8 – Potentiel effectif Ueff(r) défini par l’Eq. (3.97) et donnant la partie radiale du mouvement d’un photon dans l’espace-temps de Schwarzschild. Les lignes horizontales correspondent à deux valeurs du membre de droite b −2 de l’Eq. (3.160) : la première vérifie b < bcrit (ligne du haut) et la deuxième b > bcrit (ligne du bas). En dérivant par rapport à la coordonnée t, il vient dϕ dt −yem r 2 dr dt c yem r 2 , (3.164) où l’on a utilisé dr/dt −c. Par ailleurs, (3.159), (3.153) et (3.155) conduisent à dt dλ dϕ dλ d’où, en écrivant dϕ/dt = dϕ/dλ × dλ/dt, dϕ dt 1 = 1 − c b RS −1 r (3.165) 1 = , (3.166) r2 = c b r 2 1 − RS . (3.167) r Dans la région asymptotique, on peut négliger le terme en RS/r. L’identification avec (3.164) conduit alors à b = yem, (3.168) ce qui montre que b est le paramètre d’impact du photon qui arrive depuis l’infini.
3.6.2 Allure des trajectoires des photons 3.6 Trajectoires des photons 83 Le potentiel effectif Ueff est représenté sur la Fig. 3.8. Il n’a pas de minimum et un unique maximum en rcrit = 3 2 RS = 3GM c2 , (3.169) qui vaut max Ueff = Ueff(rcrit) = 4 27 R 2 S = c4 27 G2 . (3.170) M 2 Cet extremum correspond à une position d’équilibre pour r : il s’agit donc d’une orbite circulaire pour les photons. Mais comme il s’agit d’un maximum et non d’un minimum de Ueff, cette orbite est instable. D’après la forme de l’Eq. (3.160), on voit que les photons en provenance de l’infini avec un paramètre d’impact b tel que b −2 < max Ueff vont “rebondir” sur la barrière de potentiel constituée par Ueff (cf. Fig. 3.8) : ils vont donc repartir vers l’infini. Par contre, les photons pour lesquels b −2 > max Ueff (petit paramètre d’impact) “passent au dessus” de la barrière de potentiel (ligne du haut sur la Fig. 3.8). Si le corps central est un trou noir, ils sont alors irrémédiablement piégés. La valeur critique du paramètre d’impact, qui vérifie b −2 = max Ueff est, d’après (3.170), 3.6.3 Déviation des rayons lumineux bcrit = 3√ 3 2 RS . (3.171) On tire de (3.160) dr dλ = ± b −2 − Ueff(r) 1/2 . (3.172) En combinant avec (3.166), on élimine λ pour obtenir dϕ dr 1 = ± r2 −2 b − Ueff(r) −1/2 . (3.173) En remplaçant Ueff(r) par sa valeur (3.161), on obtient l’équation différentielle qui régit la trajectoire des photons dans le plan θ = π/2 : dϕ dr 1 = ± r2 1 1 − b2 r2 1 − RS −1/2 . (3.174) r Un photon qui arrive depuis l’infini avec un paramètre d’impact b > bcrit voit sa valeur de r diminuer jusqu’au point rper où il “butte” sur la barrière de potentiel Ueff. Sa valeur de r augmente ensuite lorsque le photon repart vers l’infini. Le minimum de r, rper (périastre), est obtenu en faisant dr/dλ = 0 dans l’Eq. (3.172) ; il vient 1 b 2 r3 per − rper + RS = 0. (3.175)
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