Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

La relation (cf. § 2.4.1)
3.6 Trajectoires des photons 81
p · p = 0 (3.156)
permet alors d’obtenir la quatrième composante, puisqu’elle conduit à 5
g00(p 0 ) 2 + grr(p r ) 2 + gθθ(p θ ) 2 + gϕϕ(p ϕ ) 2 = 0. (3.157)
En utilisant les valeurs (3.6) de gαβ et les expressions (3.153)-(3.155), on obtient
(p r ) 2
+ 1 − RS
2 ℓ ε2
= . (3.158)
r r2 c2 Introduisons un paramètre affine λ le long de la géodésique lumière tel que
p = ℓ
−→
dP
, (3.159)
dλ
où −→
dP est le vecteur déplacement élémentaire introduit au § 2.2.3. Puisque ℓ est constant
le long de la géodésique, sa présence dans (3.159) revient à choisir le paramètre affine λ
(cf. § 2.6.3). La formule (3.158) peut alors être réécrite comme
avec
et
2 dr
+ Ueff(r) = b
dλ
−2 , (3.160)
Ueff(r) = 1
r2
1 − RS
. (3.161)
r
b 2 := c2 ℓ 2
ε 2 . (3.162)
Ainsi, tout comme pour les particules matérielles, la partie radiale de la trajectoire du
photon obéit à une équation de mouvement unidimensionnel dans un potentiel effectif.
La différence est que le potentiel effectif Ueff(r) est unique : il ne dépend pas de ℓ. Les
trajectoires des photons sont donc entièrement déterminées par le paramètre b. Ce dernier
a la dimension d’une longueur et s’interprète comme le paramètre d’impact pour les
photons arrivant depuis l’infini. En effet, considérons un photon émis en un point de
coordonnées θ = π/2, x = rem cos ϕem, y = yem = rem sin ϕem avec une impulsion dans la
direction de l’axe x. Supposons rem ≫ RS et ϕem petit. La trajectoire du photon est alors
initialement à y constant : y = yem et yem constitue le paramètre d’impact du photon
vis-à-vis du corps central. On a, en début de trajectoire, y = yem = r sin ϕ rϕ (puisque
ϕ est petit), d’où
ϕ yem
. (3.163)
r
5 on utilise le fait que les composantes gαβ de g par rapport aux coordonnées de Schwarzschild sont
diagonales